Лекция №№4,5

Тема: Дифференциальные уравнения высших порядков

Вопросы:

1. Понятие дифференциального уравнения п-го порядка.

2. Задача Коши. Геометрический и механический смысл задачи Коши. Теорема Пикара.

3. Типы дифференциальных уравнений п-го порядка. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка: не содержащие искомую функцию, не содержащие искомую функцию и ее производные до некоторого порядка, не содержащие явно независимую переменную.

4. Линейные дифференциальные уравнения п-го порядка. Однородные и неоднородные уравнения.

5. Линейный дифференциальный оператор п-го порядка, его свойства.

6. Свойства решений линейного однородного уравнения.

7. Фундаментальная система решений, определитель Вронского. Необходимое условие линейной зависимости функций, необходимое условие линейной независимости функций. Свойства Определителя Вронского.

8. Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.

9. Структура общего решения неоднородного линейного уравнения п-го порядка.

10. Интегрирование линейного неоднородного дифференциального уравнения методом вариации постоянных.

Напомним, что уравнением п-го порядка называется уравнение вида:

, (1)

или в нормальной форме

. (2)

Для уравнения (2) может быть сформулирована задача Коши:

найти решение , удовлетворяющее начальным условиям (условиям Коши),, …,при, где,,, …,- заданные числа (начальные данные).

В частности, для уравнения второго порядка

(3)

начальные условия примут вид ,при.

Геометрически речь идет о нахождении интегральной кривой , проходящей через заданную точкуи имеющей в этой точке касательную, которая образует с положительным направлением осиОХ заданный угол :.

Пример. Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям,при.

Решение. Искомая кривая пересекает ось ОУ в точке , причем касательная к ней в этой точке параллельна осиОХ, поскольку .

Так как , то из исходного дифференциального уравнения находим

.

Интегрируя это дифференциальное уравнение, имеем

. (*)

Это семейство кубических парабол содержит в себе все решения исходного дифференциального уравнения. Поэтому, если решение поставленной задачи Коши существует, оно должно получиться из семейства решений (*) при выборе соответствующих числовых значений произвольных постоянных и.

Получим ,и,. Подставляя эти значения в семейство решений (*), найдем. Это и есть искомое решение.

Дадим механическое истолкование задачи Коши для уравнения второго порядка. Пусть материальная точка массой m движется по прямой, которую примем за ось ОХ, под действием силы , зависящей от времениt, положения х и скорости в момент времениt. Тогда согласно второму закону Ньютона имеем

,

где есть ускорение точки в момент времениt. Перепишем это уравнение в виде

, (4)

где . Задача Коши для уравнения (4) ставится так: найти движение, удовлетворяющее начальным условиям,при, т.е. в начальный момент времени точка должна занимать заданное положениеи иметь заданную скорость.

Наряду с задачей Коши большое значение имеет задача, в которой условия на искомую функцию (и ее производные) налагаются не в одной точке, а на концах некоторого промежутка. Такая задача называется краевой задачей, а налагаемые условия – краевыми условиями.

Пример. Решением уравнения , удовлетворяющее краевым условиям,будет.

Для уравнения (2), как и в случае уравнения первого порядка, имеет место следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши:

Теорема Пикара. Если правая часть уравнения (2) непрерывна в некоторой окрестности начальной точки и имеет непрерывные в этой окрестности частные производные по, то оно имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям,, …,при.

Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений п-го порядка.

Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

Уравнение вида

, (5)

где - известная непрерывная функция, может быть легко решено путем интегрирования. Действительно, учитывая, что, и интегрируя пох левую и правую части уравнения, получаем

,

т.е. приходим к уравнению такого же типа, что и исходное. Далее находим

.

Через п шагов получим общее решение уравнения (5);

.

Пример. Найти общее решение уравнения .

Решение. Последовательно интегрируя дважды, получаем искомое общее решение

, .

Если уравнение не содержит искомой функции и ее производной до порядка включительно, т.е. имеет вид

, (6)

то порядок уравнения может быть снижен до порядка заменой. После такой замены уравнение примет вид

.

Предположим, что удалось проинтегрировать полученное уравнение:

.

Замечая, что , приходим к уравнению типа (5)

,

из которого находитсяk-кратным интегрированием.

Пример. Найти общее решение уравнения .

Решение. Положим , тогдаи данное уравнение примет вид.

Разделяя переменные в последнем уравнении, найдем или, откуда получаем общее решение исходного уравнения:

.

Пусть дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной х, т.е. имеет вид

. (7)

Порядок этого уравнения можно понизить на единицу подстановкой , гдерассматривается как новая неизвестная функция, ау принимается за независимую переменную. В этом случае все производные ,надо выразить через производные от функциир по у (здесь учитываем, что сложная функция отх):

, ,

и т.д.

Мы видим, что любая производная ,, выражается через производные отр по у порядка не выше , что приводит к понижению порядка уравнения на единицу. Таким образом, мы приходим к уравнению

Если есть общий интеграл этого уравнения, то из уравнениянайдем общий интеграл данного уравнения (7) в виде,.

Пример. Проинтегрировать уравнение . (8)

Решение. Положим , тогдаи данное уравнение принимает вид

.

Сокращая на р, , и разделяя переменные, найдем

,

,

или ,

откуда

, , или.

Случай дает решение, которое содержится в полученном общем решении.

Всегда следует посмотреть, не является ли левая часть данного уравнения полным дифференциалом некоторого выражения. Так, исходное уравнение (8) можно переписать в виде , откуда, откуда, следовательно,.