Скачиваний:
51
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
160.26 Кб
Скачать

Уравнения параболического типа. Уравнение теплопроводности Лекция№10

Тема: Уравнение теплопроводности

Вопросы:

1. Задачи, приводящие к уравнениям параболического типа. Постановка краевых задач. Задача Коши для уравнения теплопроводности. Физический смысл задачи.

2. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности методом разделения переменных. Интеграл Пуассона, фундаментальное решение.

Уравнения параболического типа получаются при исследовании таких физических явлений, как теплопроводность, диффузия, распространение электромагнитных полей в проводящих средах, движение вязкой жидкости, движение грунтовых вод и т.д.

К уравнениям параболического типа могут привести не только задачи с явлениями переноса, например, задача о поперечных колебаниях упругого стержня приводит к параболическому уравнению четвертого порядка, в то время как продольные колебания приводят к гиперболическому уравнению второго порядка.

Поставить краевую задачу, соответствующую данной физической задаче, - значит выбрать функцию, характеризующую физический процесс, а затем:

  1. вывести дифференциальное уравнение для этой функции;

  2. установить для нее граничные условия;

  3. сформулировать начальные условия.

Мы с вами рассмотрим однородное уравнение теплопроводности с одной пространственной переменной.

(8.1)

Этим уравнением описывается процесс распространения тепла в линейных телах, например, в стержне при отсутствии источников тепла.

Задача Коши для уравнения теплопроводности ставится так:

найти функцию в области, удовлетворяющую уравнению теплопроводности (1) и начальному условию

, , (8.2)

где - непрерывная и ограниченная функция.

Физический смысл задачи состоит в определении температуры однородного бесконечного стержня в любой момент времени по его известной температурев момент времени. Считается, что боковая поверхность стержня теплоизолирована, так что через нее тепло из стержня не уходит.

Решим задачу Коши методом разделения переменных.

,

получим уравнение , или.

Откуда

, ,

эти уравнения имеют решения

, ,

где постоянные А и В зависят от параметра . Так как граничные условия отсутствуют, тоостается произвольным. Поэтому частные решения

проинтегрируем по . Таким образом, получаем решения

, (8.3)

если этот интеграл равномерно сходится и допускает дифференцирование под знаком интеграла один раз по t и дважды по х. Используя теперь заданные начальные условия, получим

.

Сравним этот интеграл с интегралом Фурье для функции :

,

получим

, .

Подставим значения коэффициентов в (8.3):

.

Изменив порядок интегрирования, получим

.

Лемма 8.1. .

Доказательство. Положим и продифференцируем под знаком интеграла по, получим:

.

Проинтегрируем по частям

.

Таким образом, , или, откуда

.

Найдем значение константы С:

, ,

так как . Поэтому

,

и, следовательно,

.

Лемма доказана.

Далее, используя лемму с ,, получим

,

,

т.е.

. (8.4)

Полученная формула дает решение исходной задачи и называется интегралом Пуассона.

Легко проверить, что функция

как функция от является решением уравнения теплопроводности. Эту функцию называютфундаментальным решением (она не определена в точке ).

Поэтому функция , определяемая интегралом (8.4), будет решением уравнения теплопроводности

,

если оператор можно ввести под знак интеграла в (8.4).

Это можно сделать при условии равномерной сходимости интеграла (8.4) и полученных из него интегралов формальным дифференцированием под знаком интеграла по х и по t требуемое число раз. Можно показать, что это действительно так.

Теорема 8.1. В классе ограниченных функций

решение задачи Коши (8.1), (8.2) единственно и непрерывно зависит от начальной функции.

Пример 8.1. Найти решение задачи Коши

, ,,

, .

Решение. Воспользуемся формулой Пуассона (8.4):

.

Преобразуем интеграл в правой части. Имеем

.

Сделаем замену переменной

.

Тогда

.

Таким образом, решение поставленной задачи определяется формулой

, .

51

Соседние файлы в папке лекции