Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
91
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
463.87 Кб
Скачать

Уравнения в частных производных первого порядка Лекция №1-2

Тема: Уравнения в частных производных первого порядка.

Вопросы:

1. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения в частных производных. Примеры уравнений.

2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений в частных производных: уравнение в частных производных, порядок уравнения, решение уравнения, задача и условия Коши. Теорема Ковалевской.

3. Геометрическая интерпретация решения уравнения в частных производных и условий Коши.

4. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Свойства их решений.

5. Общее решение линейного однородного уравнения. Специальные решения, их геометрическая интерпретация.

До сих пор мы рассматривали только обыкновенные дифференциальные уравнения, т.е. дифференциальные уравнения, в которых искомая функция зависит только от одного аргумента. Но функции, которые встречаются в приложениях теории дифференциальных уравнений, обычно зависят от многих переменных.

Например, отклонение и точки колеблющейся струны от положения равновесия является функцией двух переменных – координаты х этой точки и момента времени t, . Если выбрать начало координат в левом конце струны и обозначить длину струны черезl, то при условии, что струна закреплена на концах, функция должна удовлетворять условиям. Эти условия называютсякраевыми, или, так как условия налагаются не в одной точке, а на концах промежутка, граничными условиями. Скорость колебания точки в момент времениt равна частной производной , так как координатах не меняется, а скорость равна производной отклонения и по времени. Процесс колебаний струны однозначно определяется начальным отклонением от положения равновесия и начальной скоростью точек струны, т.е. функциями и. Заданные функциииназывают начальными данными.

Для описания этого и многих других процессов и явлений нужно уметь по заданным начальным и краевым условиям находить функции, описывающие данные процессы (в приведенном примере функцию ). Это оказывается возможным, так как такие функции удовлетворяют определенным дифференциальным уравнениям. Поскольку функции зависят от нескольких переменных, то эти дифференциальные уравнения содержат не обыкновенные производные, а частные, и поэтому их называютдифференциальными уравнениями в частных производных. При этом в задачах математической физики чаще всего встречаются дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. Поэтому принято называть дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка уравнениями математической физики.

Например, уравнением колебания струны является

,

где ,Т – натяжение струны,  - линейная плотность струны.

Уравнение

описывает распространение световых лучей в неоднородной среде с показателем преломления .

Таким образом, дифференциальным уравнением в частных производных называется уравнение вида

, (1.1)

здесь - неотрицательные целые числа,.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок входящих в уравнение частных производных.

Обозначим через - множество функций, непрерывных в областиD вместе со всеми производными до порядка m включительно.

Определение 1.1. Решением дифференциального уравнения (1.1) в некоторой области D изменения независимых переменных называется всякая функциятакая, что подстановка этой функции и ее производных в уравнение (1) обращает это уравнение в тождество пов областиD.

Рассмотрим теперь некоторые примеры интегрирования простых дифференциальных уравнений в частных производных.

Пример 1. Найти решение уравнения.

Интегрируя по х, получим

,

где - произвольная функция оту. Это общее решение исходного уравнения.

Пример 2. Найти решение уравненияили.

Интегрируя по х, получаем , где- произвольная функция оту.

Интегрируя теперь по у, получим

,

где - произвольная функция отх. Или обозначив , окончательно получим

,

где , в силу произвольности функции, также является произвольной функцией оту. Мы получили общее решение исходного уравнения, так как всякое другое решение данного уравнения может быть получено из этого подходящим выбором функций .

Как видно из этих примеров, общее решение дифференциального уравнения в частных производных первого порядка зависит от одной произвольной функции, общее решение уравнения второго порядка зависит от двух произвольных функций, а общее решение уравнения р-го порядка, вероятно, зависит от р произвольных функций.

Эти предположения оказываются справедливыми, но при некоторых условиях. Для их уточнения сформулируем теорему С.В. Ковалевской о существовании и единственности решения уравнения в частных производных.

Теорема 1.1. (теорема Ковалевской). Существует единственное аналитическое, т.е. имеющее производную в окрестности точки , решение уравнения, разрешенного относительно одной из производных максимального порядка

, (1.2)

удовлетворяющее условиям

при ,,, …,

, (1.3)

если функции ,, …,являются аналитическими функциями в окрестности начальной точки, аf является аналитической функцией в окрестности начальных значений своих аргументов ,,, …,.

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений критерием общности решения была возможность получить из него все частные решения, по крайней мере в некоторой области. При этом частное решение было определено, как решение, удовлетворяющее начальным данным Коши. Естественно и для уравнений в частных производных ввести такие добавочные данные, которые определяли бы однозначно частное решение. Для уравнения m-го порядка, разрешенного относительно одной из старших производных, вида (1.2) начальные условия имеют вид (1.3), где ,, …,- заданные функции. Нахождение решения уравнения (1.2), удовлетворяющего условиям (1.3), есть задача Коши. Таким образом, теорема Ковалевской является теоремой существования и единственности решения задачи Коши для уравнения (1.2).

Для уравнения первого порядка, предполагая его разрешенным относительно одной из частных производных, например, :

, (1.4)

задача Коши ставится так: найти решение уравнения (1.4), которое при данном начальном значенииобращается в заданную функцию остальных независимых переменных:

при ,. (1.5)

Это решение можно построить при помощи систем обыкновенных дифференциальных уравнений (покажем это немного позже).

Дадим геометрическую интерпретацию решения уравнения в частных производных, а также условия Коши. Рассмотрим сначала уравнение первого порядка

, (1.6)

или разрешенное относительно одной из частных производных

. (1.7)

Найти решение уравнения (1.6) или (1.7) – значит найти функцию

, (1.8)

которая в пространстве представляет собой поверхность, назовем ееинтегральной поверхностью уравнения (1.6) или (1.7). Т.е. задача нахождения решений уравнения в частных производных является задачей нахождения интегральных поверхностей. Если рассматривать уравнение (1.8), как определяющее поверхность, то касательная плоскость к ней в точке выражается уравнением

,

где - текущие координаты,- угловые коэффициенты касательной плоскости. Таким образом, данное дифференциальное уравнение в частных производных (1.6) выражает соотношение между координатамиточки искомой интегральной поверхности и угловыми коэффициентамикасательной плоскости к этой поверхности в этой точке. Данные Коши для уравнения (1.7):

, . (1.9)

Уравнения (1.9) определяют кривую в пространстве. Т.е. задача Коши состоит в нахождении интегральной поверхности, проходящей через кривую (1.9).

Причем кривая (1.9) – это плоская кривая, лежащая в плоскости , параллельнойУОZ. Такое неравноправие переменных происходит от того, что в исходном уравнении (1.7) независимая переменная х играло особую роль. Если уравнение дано в более симметричной форме (1.6), то и задачу Коши можно сформулировать так, чтобы ни одну координату не ставить в исключительное положение. Эта обобщенная задача Коши звучит так: найти интегральную поверхность уравнения (1.6), проходящую через заданную кривую

, ,. (1.10)

При такой постановке задача Коши становится неопределенной для некоторых кривых (1.10) – через некоторые кривые проходит бесконечное множество интегральных поверхностей. Эти исключительные кривые называются характеристиками и играют важную роль в теории уравнений в частных производных первого порядка.

По аналогии для уравнений с п переменными, совокупность числовых значений будем называть точкой (п+1)-мерного пространства, решение уравнения (1.1) или (1.4) вида

является интегральной гиперповерхностью (или просто поверхностью) п измерений в этом пространстве. Данные Коши (1.5) представляют собой гиперповерхность п-1 измерений, через которую должна проходить искомая интегральная поверхность.

Уравнения в частных производных первого порядка с одной неизвестной функцией обладают двумя свойствами. Во-первых, они обладают общим решением, зависящим от произвольной функции. Во-вторых, задача интегрирования уравнения в частных производных первого порядка сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Тема 2: Линейные дифференциальные уравнения в частных

производных. Свойства их решений.

Уравнение в частных производных называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и всех ее производных, входящих в уравнение, в противном случае уравнение называется нелинейным.

Например, - линейное уравнение,- нелинейное.

Линейным неоднородным уравнением или квазилинейным уравнением первого порядка в частных производных называется уравнение вида

Если правая часть тождественно равна нулю, а коэффициенты не зависят отz, то уравнение (2.1) называется линейным однородным.

Для наглядности геометрической интерпретации рассмотрим сначала квазилинейное уравнение с двумя независимыми переменными:

Функции P, Q, R – непрерывны в рассматриваемой области изменения переменных и не обращаются в нуль одновременно.

Напомним некоторые необходимые нам понятия из векторного анализа.

Определение 2.1. Если в каждой точке пространства определена векторная величина

то говорят, что задано векторное поле F.

Примером векторного поля может служить силовое поле или поле скоростей.

Для геометрической характеристики векторного поля служат векторные линии.

Определение 2.2. Векторной линией векторного поля F называется кривая, касательная к которой в любой точке M имеет то же направление, что и вектор поля F в этой точке.

В силовом поле векторные линии называются силовыми линиями, в поле скоростей движения жидкости векторные линии называются линиями тока.

Рассмотрим непрерывное векторное поле

где i, j, k – единичные векторы, направленные по осям координат.

Векторные линии этого поля, т.е. линии, касательная к которым в каждой точке имеет направление, совпадающее с направлением вектора F в той же точке, определяются из условия коллинеарности вектора

направленного по касательной к искомым линиям, и вектора F:

.

Поверхности, составленные из векторных линий, т.е. поверхности целиком содержащие векторные линии, имеющие хотя бы одну общую точку с поверхностью, называются векторными поверхностями.

Векторная поверхность характеризуется тем, что вектор N, направленный по нормали к поверхности, в любой точке поверхности ортогонален вектору поля F:

. (2.2)

Если векторная поверхность определяется уравнением , то вектор

и условие ортогональности (2.2) примет вид

. (2.3)

Если векторная поверхность задается уравнением и, следовательно, вектор

,

то условие (2.2) приобретает вид

. (2.4)

Следовательно, для нахождения векторных поверхностей нужно проинтегрировать квазилинейное уравнение (2.3) или линейное однородное уравнение (2.4) в зависимости от того в каком виде мы ищем уравнения искомых поверхностей, в явном или в неявном.

Так как векторные поверхности могут быть составлены из векторных линий, то интегрирование уравнения (2.3) или (2.4) сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений векторных линий.

Составим систему дифференциальных уравнений векторных линий

. (2.5)

Пусть ,- два независимых первых интеграла системы (2.5). Семейство векторных линий,называетсяхарактеристиками уравнения (2.3) и (2.4). Выделим из этого двухпараметрического семейства однопараметрическое семейство, установив какую-нибудь непрерывную зависимость между параметрамии. Затем, исключая из системы

, ,

параметры и, получим искомое уравнение векторных поверхностей:

, (2.6)

где Ф – произвольная функция. Таким образом, мы нашли интеграл квазилинейного уравнения (2.3), зависящий от произвольной функции.

Если требуется найти не произвольную векторную поверхность поля

а поверхность, проходящую через заданную линию, определяемую уравнениями

, ,

то функция Ф в (2.6) уже будет не произвольной, а определиться путем исключения переменных х, у и z из системы уравнений

, ,

, .

Если заданная линия ,является характеристикой, то задача становится неопределенной, так как в этом случае эту линию можно включить в различные однопараметрические семейства характеристик и, следовательно, получить различные интегральные поверхности, проходящие через эту линию.

Если уравнение кривой, через которую требуется провести интегральную поверхность уравнения (2.3) задано в параметрической форме:

, ,, (2.7)

то решение удобно искать в параметрической форме:

, ,.

Для этого в систему (2.5), определяющую характеристики, вводится параметр t:

.

Чтобы характеристики проходили через заданную кривую, нужно найти решение этой системы, удовлетворяющее при (или) начальным условиям:

, ,.

При таких начальных условиях при фиксированном s получим характеристику, проходящую через фиксированную точку заданной кривой (2.7). При переменном s получим семейство характеристик

, ,,

проходящих через точки заданной кривой (2.7). Множество точек, лежащих на этом семействе характеристик и образуют искомую интегральную поверхность.

Пример. . Найти интегральную поверхность, проходящую через кривую,,.

Система уравнений, определяющая характеристики, имеет вид

.

Общее решение этой системы

, ,.

Пользуясь начальными условиями, определим произвольные постоянные:

, ,,

поэтому искомая поверхность имеет вид

, ,.

Рассмотрим теперь случай п независимых переменных. Исследуем сначала однородное линейное уравнение

, (2.8)

здесь - непрерывные функции, необращающиеся одновременно в нуль и имеющие ограниченные частные производные в рассматриваемой области.

Составим систему, удовлетворяющую при данных ограничениях на функции теореме существования и единственности,

. (2.9)

Найдем п – 1 независимый первый интеграл системы

,

,

……………………………,

.

В пространстве с координатами эта система интегралов определяет (п - 1)-параметрическое семейство линий, называемых характеристиками уравнения (2.8). Докажем, что левая часть любого первого интеграла системы (2.9) является решением исходного линейного однородного уравнения (2.8). Т.е., что при подстановке в исходное уравнение функциимы получаем верное тождество.

Так как

(2.10)

интеграл системы (2.9), то вдоль любой интегральной кривой системы (2.9) функция . Поэтому вдоль любой интегральной кривой

Соседние файлы в папке лекции