Скачиваний:
132
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
463.87 Кб
Скачать

интеграл системы (2.9), то вдоль любой интегральной кривой системы (2.9) функция . Поэтому вдоль любой интегральной кривой

.

Но вдоль интегральной кривой системы (2.9) дифференциалы пропорциональны функциям , следовательно, вдоль интегральных кривых системы (2.9)

. (2.11)

Полученное тождество справедливо во всей рассматриваемой области, так как оно не меняется при переходе от одной интегральной кривой в силу того, что правая часть этого тождества не зависит от постоянных , , …, , а интегральные кривые системы (2.9) проходят через каждую точку рассматриваемой области. Следовательно, функция является решением уравнения (2.8).

, где Ф – произвольная функция, является первым интегралом системы (2.9), так как вдоль интегральной кривой системы (2.9) все функции обращаются в постоянные и, следовательно, вдоль интегральной кривой системы (2.9). Поэтому функция , где Ф – произвольная дифференцируемая функция, является решением линейного однородного уравнения (2.8).

Докажем, что функция

(2.12)

является общим решением уравнения (2.8).

Теорема 2.1. является общим решением уравнения (2.8).

Доказательство. Нужно доказать, что любое решение данного уравнения можно получить из (2.12). Допустим, что является некоторым решением уравнения (2.8) и докажем, что существует функция Ф такая, что .

Так как и являются решениями уравнения (2.8), то

Мы получили линейную однородную систему п уравнений относительно , . Так как в каждой точке рассматриваемой области функции , не обращаются одновременно в нуль, то эта система имеет нетривиальное решение, и поэтому в рассматриваемой области

.

Поэтому между функциями , существует функциональная зависимость (так как якобиан этих функций тождественно равен нулю):

.

В силу независимости первых интегралов , системы (2.9) по крайней мере один из миноров п – 1-го порядка якобиана

вида

отличен от нуля. Следовательно, уравнение можно представить в виде

.

Теорема доказана.

Рассмотрим теперь неоднородное линейное уравнение

, (2.13)

где , - непрерывно дифференцируемые функции, необращающиеся одновременно в нуль в рассматриваемой области.

Это уравнение интегрируется путем сведения его к соответствующему линейному однородному уравнению. Для этого достаточно искать его решение z в неявном виде

, (2.14)

где .

Покажем, что это действительно так. Считая, что функция удовлетворяет уравнению (2.14) и дифференцируя тождество

по , получим

,

откуда

.

Подставляя найденные выражения для в исходное уравнение (2.13), получим

,

. (2.15)

Таким образом, мы получили линейное однородное уравнение, которому должна удовлетворять функция и, в том случае, если функция удовлетворяет уравнению (2.14).

Т.е. нужно найти функции и, обращающие линейное однородное уравнение (2.15) в тождество в силу уравнения (2.14).

Найдем сначала функции и, обращающие уравнение (2.15) в тождество при независимо изменяющихся переменных . Этими функциями будут решение однородного уравнения (2.14), которые могут быть найдены из системы, определяющей характеристики

.

Найдем п независимых первых интегралов этой системы:

,

,

………………………,

,

тогда общее решение уравнения (2.15) будет иметь вид

,

где Ф – произвольная функция.

Решение линейного неоднородного уравнения (2.13), зависящее от произвольной функции, определяется из уравнения

или .

Однако, кроме найденных таким образом решений, могут быть решения, которые определяются из уравнений , где функция и не является решением уравнения (2.13), а обращает это уравнение в тождество лишь в силу уравнения . Такие решение называются специальными.

Дадим геометрическую трактовку специального решения. Так как уравнение (2.13) обращается в тождество в силу уравнения , это значит, что оно обращается в тождество в точках поверхности , но может не обращаться в тождество в других точках пространства .

12

Соседние файлы в папке лекции