Госы 5к Надя / уравнения математической физики / Модуль 2 / лекции / 6-7
.docМетод Фурье для уравнения колебаний струны Лекция №6-7
Тема: Метод Фурье.
Вопросы:
1. Задача о вынужденных колебаниях однородной струны. Сведение ее к задаче о колебаниях однородной струны с закрепленными концами.
2. Применение метода Фурье к решению задачи о свободных колебаниях однородной струны. Задача Штурма-Лиувиля, собственные значения и собственные функции.
3. Обоснование метода Фурье в случае неоднородного уравнения.
4. Колебания защепленной струны.
Метод Фурье или метод разделения переменных – один из наиболее распространенных методов решения уравнений в частных производных. Рассмотрим применение этого метода на примере задачи о вынужденных колебаниях однородной струны.
Задача о вынужденных колебаниях струны длины l с подвижными концами сводится к интегрированию уравнения
, , , (5.1)
при граничных условиях
, , (5.2)
и начальных условиях
, , . (5.3)
При движении концов сила натяжения однородной струны () не должна меняться, так как .
Введением новой неизвестной функции
,
перейдем от задачи (5.1) – (5.3) к задаче с однородными граничными условиями:
, .
Подставляя
в уравнение, получим новое уравнение относительно функции
,
причем
,
.
Таким образом, без нарушения общности можно считать условия (5.2) однородными, т.е. концы струны закреплены. Эту задачу можно свести к двум:
,
, (5.4)
, ,
,
, , (5.5)
, .
В дальнейшем и снова обозначим через и.
Задача (5.4) решается методом разделения переменных (методом Фурье), согласно которому решение ищется в виде
, (5.6)
Подставим это решение в исходное уравнение (5.4), получим
, ,
или, разделяя переменные,
.
Это равенство возможно только в том случае, когда его обе части не зависят ни от х, ни от t, т.е. равны одной и той же постоянной, обозначим ее через , тогда
.
Получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения
,
.
Знак «минус» перед ставится только для удобства дальнейшей записи. Это не означает, что константа отрицательна.
Воспользуемся теперь граничными условиями, откуда
, ,
и так как , то функция Х (х) должна удовлетворять граничным условиям
, .
Поэтому для того, чтобы найти нетривиальные решения вида (5.6), удовлетворяющие граничным условиям задачи (5.4), нужно найти нетривиальные решения уравнения
, (5.7)
удовлетворяющие граничным условиям
, . (5.8)
Таким образом, нам нужно найти значения параметра , при которых существуют нетривиальные решения задачи (5.7) – (5.8), а также сами эти решения.
Такие значения параметра называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения – собственными функциями задачи (5.7) – (5.8). Задачу нахождения таких значений называют задачей Штурма – Лиувилля.
Найдем собственные значения и собственные функции задачи (5.7) – (5.8). Рассмотрим все возможные случаи:
1. , тогда общее решение уравнения (5.7) имеет вид
.
Используя граничные условия (5.8), будем иметь
Так как определитель , то и, следовательно, , т.е. в этом случае нетривиальных решений нет.
2. , , , . Отсюда и .
3. При корни характеристического уравнения и .
Используя граничные условия, получим
,
, или .
Так как при мы опять получим , то положим
, , .
Отсюда получаем , - собственные значения и соответствующие им - собственные функции.
Ни при каких других значениях краевая задача (5.7) – (5.8) не имеет нетривиальных решений. При уравнение
имеет решение
.
Используя и , получим решение
==
задачи (5.4), удовлетворяющее граничным условиям.
Постоянные в этом выражении произвольные, а значения k нужно брать только положительные, так как при отрицательных значениях получаются решения того же вида.
В силу линейности и однородности уравнения в (5.4) любая конечная сумма решений будет также решением. Это справедливо и для бесконечной суммы
== (5.9)
при любых значениях коэффициентов , если этот ряд равномерно сходится и его можно почленно дифференцировать дважды по х и по t. Так как члены ряда (5.9) удовлетворяют граничным условиям (5.2), то этим условиям будет удовлетворять и сумма ряда, т.е. функция =. Эти коэффициенты надо подобрать так, чтобы эта сумма удовлетворяла также начальным условиям. Таким образом, для определения получаем
, , (5.10)
которые представляют собой разложения функций и в ряды Фурье по синусам в интервале . Умножая обе части первого из равенств (5.10) на и интегрируя на интервале , учитывая, что
получим
.
Аналогично из второго равенства находим
.
Таким образом, задача (5.4) решена.
Теорема 1. (о единственности решения смешанной краевой задачи для струны). Если уравнение (5.1) имеет решение, удовлетворяющее начальным условиям (5.3) и граничным условиям (5.2), то оно единственно.
Обоснование метода Фурье в случае неоднородного уравнения.
Решение задачи (5.5) будем искать в виде
==. (5.11)
Очевидно, что оно удовлетворяет однородным граничным условиям задачи (5.5). Используя разложение функции в интервале (0, l) в ряд Фурье по синусам (собственным функциям)
,
где
,
и подставляя (5.11) в уравнение задачи (5.5), получим равенство
,
из которого следует
. (5.12)
Используя однородные начальные условия из (5.5), получим
=,
следовательно,
,
==0,
следовательно
.
Таким образом, мы получили задачу Коши:
, (5.13)
.
Общим решением соответствующего однородного уравнения является
. (5.14)
Для нахождения частного решения неоднородного уравнения построим функцию Коши так, что
1. как функция от t при любом фиксированном s является решением однородного уравнения;
2. , .
Для построения функции Коши подчиним условиям
, ,
что в результате дает решение
.
Заменив далее t на t – s, получим функцию Коши
,
которая при любом фиксированном значении s является решением однородного уравнения из (5.13). Теперь частное решение неоднородного уравнения получим по формуле
.
Таким образом, общее решение уравнения из задачи (5.13)
.
Используя начальные условия, получим
,
,
следовательно,
.
Таким образом, и
,
==.
Сумма решений , задач (5.4) и (5.5) дает решение смешанной краевой задачи для неоднородного уравнения с неоднородными начальными и однородными граничными условиями.
Пример. Однородная струна, закрепленная на концах , , имеет в начальный момент времени форму параболы, симметричной относительно перпендикуляра, проведенного через точку . Определить смещение точек струны от прямолинейного положения равновесия, предполагая, что начальные скорости отсутствуют.
Решение. Необходимо решить следующую задачу о свободных колебаниях струны:
, , ,
, , ,
, , .
Решение будем искать в виде (5.9)
,
где
.
.
Так образом, решением исходной задачи является функция
.
Колебания защепленной струны.
Пусть струна закреплена на концах. Оттянем ее вверх, защепив в точке , и затем отпустим, предоставив ей совершать свободные колебания. В этом случае начальные условия будут иметь вид
, .
Применяя формулы (5.9) и
, ,
получим
, .
Следовательно, отклонение защепленной струны выражается равенством
.