Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье.
Рассмотрим случай единичного круга. Тогда заданная на окружности круга непрерывная функцияf должна быть периодической в силу ее непрерывности, причем ее можно рассматривать как функцию длины дуги S: . Требуется построить гармоническую внутри круга функцию, непрерывную вплоть до границы и принимающую на окружности круга заданные значения. Пусть начало координат совпадает с центром круга. Введем полярные координаты
, .
Как видно, . Задача Дирихле ставится следующим образом: найти решение уравнения Лапласа в полярных координатах внутри единичного круга
, , (2)
удовлетворяющее граничному условию на окружности
, . (3)
Предполагается непрерывность функции ,,.
Решение будем искать в виде произведения двух функций
.
Подставляя в уравнение, получим
или, деля обе части на ,
,
.
Откуда
,
.
В силу периодичности функции функциядолжна быть тоже периодической функцией с периодом, так как. Так какможет принимать только действительные значения, то
1. . Тогда- непериодическая функции. поэтому этот случай отпадает.
2. . Тогда, вообще говоря, непериодическая функция. Поэтому этот случай дает только функцию.
3. . В этом случае. Условие периодичностипозволяет определить коэффициент.
Уравнение допускает периодические решения только при, причем в этом случае решение будет периодической функцией с периодом. Поэтому, чтобы период укладывался целое число раз в, надо, чтобы.
Таким образом, и получаемое при этом уравнение относительно функции:
имеет решения
и .
Так как второе решение имеет особенность в точке , то в качестве решения выбираем первое, тогда
.
Кроме того, при получается решение, которое мы обозначим через. Тогда решение будем искать в виде
. (4)
Этот ряд при любых ограниченных исходится в любой внутренней точке круга, так как прион мажорируется сходящимся рядом
, ,. (5)
Так как в полярных координатах выражение оператора Лапласа теряет смысл при , то чтобы показать гармоничность функции (4) при, запишем ряд (4) с помощью координатх и у:
. (6)
Данный ряд и ряды, полученные из него почленным дифференцированием по х и у любое число раз, сходятся равномерно при , так как эти ряды мажорируются рядом (5) и рядами, полученными из (5) почленным дифференцированием по. Так как каждый член ряда (4) является гармонической функцией (по построению), то (6) – гармоническая функция, т.е.
.
Используя граничное условие, получим равенство
,
представляющее собой разложение функции в ряд Фурье, следовательно,
,
, (7)
.
Случай круга произвольного радиуса. Интеграл Пуассона.
Функция , определяемая равенством (4) с коэффициентами (7) формально является решением задачи Дирихле (2), (3), так как решение получено в виде бесконечного ряда. Чтобы сумма этого ряда была решением задачи Дирихле, функциядолжна быть непрерывной вплоть до границы. Для этого достаточно, чтобы сходился ряд
.
При подстановке в уравнение функцию надо дифференцировать поr и по , что приведет к появлению под знаком суммы множителя. Поэтому надо выяснить при каких условиях сходится ряд
. (8)
Сходимость будем обеспечивать за счет коэффициентов и, т.е. за счет функции. Имеем
,
где - коэффициент Фурье функции, а.
Аналогично при условии , получим
,
где - коэффициент Фурье функции.
Таким образом, при условии существования и выполнения равенствряд (8) примет вид
.
Потребуем теперь существование третьей кусочно-непрерывной производной от функции , снова проинтегрировав по частям, получим ряд
.
Так как и для кусочно-непрерывной нафункцииимеет место уравнение замкнутости
,
то отсюда следует сходимость ряда (8). Таким образом, мы доказали и непрерывность решения вплоть до границы.
Подставим в ряд (4) значения коэффициентов и, получим
. (9)
Интеграл (9) называется интегралом Пуассона. В случае круга произвольного радиуса R имеем
,
поэтому заменяя в (4) r на и взяв в качестве переменной интегрированиявместо, получим интеграл Пуассона для круга произвольного радиуса
. (10)
Формула (10) называется интегральной формулой Пуассона.
Это же решение модно получить с помощью функции Грина
,
где ,- гармоническая в рассматриваемой области функция, имеющая ограниченные производные первого и второго порядков и совпадающая на границе области с функцией.
Для круга радиуса R с центром в точке О функция Грина имеет вид
,
где ,,,М, М0 – точки с координатами ,соответственно,- точка на продолжении радиуса, для которой.