Потенциалы простого и двойного слоя.

Задачу Дирихле можно решить и способом сведения ее к интегральному уравнению. Для этой цели применяется теория потенциала.

Как известно, напряженность электростатического поля заряда q, помещенного в точке пространства, в некоторой точкеопределяется силой, с которой это поле действует на единичный заряде, помещенный в точке . По закону Кулона это сила

,

,

или в проекциях

, ,.

Последние функции равны с противоположным знаком, производным от :

,

,

.

Функция называетсяпотенциалом электростатического поля заряда q. Так чтобы , то произвольная, стоящая в правой части, полагается равной нулю. Кроме того, полагаем. Таким образом, будем считать, что точечный заряд величиныq создает потенциал

.

Очевидно, что в плоском случае .

Так как при наличии нескольких точечных зарядов потенциалы, создаваемые ими, складываются, то потенциалы, создаваемые непрерывно распределенным зарядом, находятся в виде предела суммы, т.е. в виде интеграла.

В частности, если заряд распределен непрерывно на поверхности S, с поверхностной плотностью , где, то разбивая поверхностьS на п частей равной плотностив точке, находим приближенное выражение

.

Переходя к пределу, получим

. (11)

Если заряд распределен по объему V, то аналогично

. (12)

Интегралы (11) и (12) называются потенциалом простого слоя и объемным потенциалом соответственно. Покажите, что эти потенциалы являются гармоническими функциями.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда два заряда q и , находясь по осина расстоянии, стремятся к средней точкеО между этими зарядами, причем направление от q к все время совпадает с направлением оси. При любом положении этих зарядов

.

Чем меньше h, тем эта разность ближе к нулю, так как поле создается двумя равными по величине и противоположными по знаку зарядами, находящимися на одинаковых расстояниях от точки Q.

Пусть в процессе приближения q меняется так, что . В этом случае потенциал

.

Предельное положение зарядов в физике называется диполем, величина Р – моментом, а ось l – осью диполя.

Пусть теперь дана ориентированная поверхность S. Пусть на S распределен диполь с плотностью момента ,, причем в каждой точкеА направление диполя совпадает с направлением внешней нормали к S в точке А. Тогда потенциал, создаваемый этим диполем, равен

. (13)

Этот интеграл называется потенциалом двойного слоя, так как рассматриваемое распределение диполя может быть приближенно осуществлено, как два наложенных на S распределения зарядов с плотностью ина расстоянииh друг от друга, если h достаточно мало.

Потенциал двойного слоя получен равномерным предельным переходом с помощью гармонических функций, поэтому также является гармонической функцией, кроме точки О.

В плоском случае потенциал двойного слоя получаем как предел

,

, (14)

где - вектор, направленный по нормали кL в точке А. Линия L считается ориентированной, а нормаль внешней. Потенциал простого слоя в плоском случае представляется интегралом

.

61