Госы 5к Надя / уравнения математической физики / Модуль 2 / лекции / 9
.docКолебания мембраны Лекция №9
Тема: Колебания мембраны.
Вопросы:
1. Задача об осесимметричных колебаниях круглой мембраны.
2. Решение задачи о колебаниях мембраны методом Фурье. Уравнение и функции Бесселя.
Мембраной будем называть свободно изгибающуюся натянутую пленку.
Пусть в положении равновесия мембрана совпадает с некоторой ограниченной областью плоскости хОу с кусочно-гладкой границей Г. Тогда функция , определяющая эти колебания, должна удовлетворять уравнению
, (7.1)
начальным условиям
, (7.2)
при . Здесь первое условие определяет начальное отклонение, а второе – начальную скорость. На границе же области функция должна удовлетворять каким-нибудь граничным условиям. В простейшем случае полагаем
, при . (7.3)
Применяя метод разделения переменных, положим
.
Аналогично одномерному случаю, получим следующие уравнения для функций и (проверить самостоятельно!):
, (7.4)
. (7.5)
Рассмотрим частный случай – колебания круглой мембраны. Пусть круглая мембрана радиуса с центом в начале координат, закреплена по окружности круга. Введем на плоскости полярные координаты и произведем замену переменных по формулам
, , .
Таким образом,
, , .
Тогда
,
.
Аналогично,
.
Таким образом,
и уравнение свободных колебаний мембраны в полярных координатах примет вид
. (7.6)
Начальные и граничные условия примут вид
, (7.7)
,
. (7.8)
Ограничимся важным частным случаем, осесимметричных колебаний, когда начальные функции и не зависят от . Таким образом, все точки окружности радиуса с центром в начале координат в начальный момент времени имеют скорости и отклонения, не зависящие от угла . Тогда уравнение (7.6) упрощается:
, (7.9)
при граничном условии
(7.10)
и начальных условиях
, (7.11)
.
Решения уравнения (7.9) будем искать методом Фурье в виде
,
тогда
,
или
.
Отсюда получаем уравнения
, (7.12)
, (7.13)
, . (7.14)
Условие выражает требование ограниченности решения в центре мембраны, т.е. при . Задача (7.13), (7.14) имеет очевидное тривиальное решение, которое нас не устраивает. Таким образом, нам нужно найти собственные значения параметра , при которых задача имеет нетривиальные решения.
Уравнение (7.12) имеет решение
,
где - положительная постоянная.
Приведем уравнение (7.13) к стандартному виду, введя новую независимую переменную и положив
.
Тогда
,
и, следовательно, для функции мы получаем уравнение
,
или
. (7.15)
Уравнение (7.15) является уравнением Бесселя.
Решение уравнения (7.15) будем искать в виде
.
С учетом того, что
,
из (7.15) получаем
,
или
.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х получим, что
, , (7.16)
,
Из первых двух равенств (7.16) следует, что
, ,
а из третьего
,
Все коэффициенты , а
.
Следовательно,
,
таким образом,
.
При решение уравнения Бесселя обозначается через и называется функцией Бесселя нулевого порядка. Более подробно о функциях Бесселя можно прочитать в книге В.С. Владимирова «Уравнения математической физики».
Таким образом,
.
Поэтому
Используя граничные условия, получим
,
следовательно, число должно быть одним из нулей функции Бесселя, т.е.
,
где - нуль функции . Известно, что функция имеет бесконечное множество положительных нулей
,
откуда получаем собственные значения
, ,
и собственные функции
,
задачи (7.13), (7.14).
При общее решение уравнения (7.12) имеет вид
.
Функция
будет решением уравнения (7.9), удовлетворяющим граничному условию (7.10).
Решение исходной задачи будет иметь вид
,
если конечно числа достаточно быстро стремятся к нулю, чтобы ряды можно было дважды почленно дифференцировать. Коэффициенты определим из начальных условий
, (7.17)
.
Функции Бесселя обладают свойствами, сходными со свойствами тригонометрических функций. Если функция кусочно-гладкая на , то она разлагается в ряд (7.17).
Тригонометрические функции ортогональны на , функции Бесселя также ортогональны на , но с весом r:
, .
Умножим ряд (7.17) на и, так как его равномерная сходимость от этого не нарушается, проинтегрируем почленно по , тогда
, ,
следовательно,
.
Аналогично,
.