Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Госы 5к Надя / ЛекцииТФДП / Мера Лебега

.doc
Скачиваний:
9
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
403.97 Кб
Скачать

§23. Измеримые множества. Мера Лебега.

Определение 1. Множество Е задано на . Множество Е называется измеримым по Лебегу, если . Это общее значение называетсямерой множества Е и обозначается m(E).

Свойство 1. Если Е - измеримо, то - измеримо.

Доказательство:

Е – измеримо, следовательно (по определению) . Докажем, что измеримо, то есть что

.

Действительно,

=1-=1-,

1-=1-.

Следовательно, - измеримо.

Лемма 1. Пусть . МножествоЕ измеримо тогда и только тогда, когда =. (1)

Доказательство:

1. Необходимость.

Пусть Еизмеримо. Докажем (1).

Так как Еизмеримо, то по определению. Тогда по обобщению определения внутренней меры на промежуток

()- ,

=.

2. Достаточность.

Пусть верно (1). Докажем, что Еизмеримо. Из (1) следует, что

()- .

По определению

()- .

Тогда . По определению множествоЕизмеримо.

§24. Основные теоремы об измеримых множествах.

Теорема 1. Пустьизмеримые множества. Тогда:

а) множество измеримо и;

б)если,, то.

Теорема 2. а)ПустьF,E- измеримые множества,. Тогда- измеримое множество.

б) - последовательность измеримых множеств, . Тогда множествоизмеримо.

Доказательство теоремы 1(б):

Пусть , ,. Докажем, чтоЕизмеримо, то есть что.

Так как ,, то по свойству 3 внутренней меры. Так как множестваизмеримы, то

. (1)

Кроме того,

. (2)

По свойству 3 внешней меры

. (3)

Из (1)-(3) следует, что .

Доказательство теоремы 2(а):

1. Пусть - измеримое множество, произвольное измеримое множество.

а) Обозначим . Докажем, чтоизмеримо.

Рассмотрим множество ,. Пустьоткрытое множество.

Обозначим ,,(1)

б) Докажем, что .

По определению внешней меры множество Оможно выбрать так, чтобы

(*).

Кроме того,

Складываем неравенства (**):

.

Вычитаем из всех трёх частей:

.

Переходим к пределу при .

в) где.

Можно доказать (аналогично предыдущему пункту), что . (2)

г) Е- измеримо

. (3)

д) .

Действительно,

1)

;

2) .

Итак, . По свойству 3 внешней меры, то есть

. (4)

е)

Действительно, пусть две возможности:

или

Тогда по свойству 3 внешней меры

,

.

. (5)

Из (3), (4) и (5) или

2. Пусть далее F-открытое множество

,.

.

E– измеримомножестваизмеримы. Тогда множество,, измеримо по теореме 1б).

Итак, измеримо и.

3. Пусть, наконец, F- произвольное измеримое множество

F- измеримо

(по определениюinf)

Так как

, то. (6)

Кроме того,

Действительно, пусть

Включение доказано, отсюда следует, что

, так как. Тогда

Fизмеримо.

Переходим к пределу при то есть

. (7)

Кроме того,

. (8)

Тогда из (7), (8) следует, что измеримо.

Следствие из теоремы 2а). Пусть- измеримые множества,. ТогдаЕизмеримо и.

Доказательство:

1. Докажем, что Еизмеримо. Пусть,

Докажем, что .

(1)

(2)

(1)(2)

измеримо по условию,измеримо по свойству 1, отсюда следует, чтоЕизмеримо по теореме 2а).

2.

Доказательство теоремы 1а):

Докажем, что Еизмеримо.

измеримы.

1 шаг

Пусть

Докажем, что:

а);

б) ,(для определённости можно считать, чтоm>k).

б) По построению

Пусть .

Пусть .

а) Обозначим . Докажем, чтоЕ=А.

Пусть

или

Итак, .

Докажем, что .

Пусть ,

Возможны 2 случая:

1)

2)

Но .

Итак, . Таким образом,А=Е.

2 шаг

Докажем, что измеримы. По условиюизмеримы,.

измеримоизмеримо иизмеримо по условиюизмеримо и.

Далее по индукции: измеримоизмеримо иизмеримы по условию измеримо по теореме 2а). По индукцииизмеримыи не пересекаются. Тогда по теореме 1б) множествоЕизмеримо иДалее:

то есть.

Доказательство теоремы 2б):

Пусть ,.

Докажем, что .

а) Пусть

б) Пусть

измеримыизмеримыизмеримоЕизмеримо.

Следствие. Если множество замкнуто, то оно измеримо.

Доказательство:

Пусть F- любое ограниченное замкнутое множество,. Обозначим.

Fзамкнуто.

Рассмотрим - открытое множество, так как

  1. если - открытое множество;

  2. F- любое множество, не совпадающее с:

не может быть предельной точкой множестваF(так какF- замкнутое множество), в которой нет точек изF любая точка изG- внутренняя, отсюда следует, чтоGоткрыто, следовательно,Gизмеримо. НоFизмеримо по свойству 1.

5

Соседние файлы в папке ЛекцииТФДП