Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Госы 5к Надя / ЛекцииТФДП / измеримые функции

.doc
Скачиваний:
18
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
632.32 Кб
Скачать

§26. Измеримые функции

Пусть Е- измеримое множество,ЕR и задана функцияf, область определения которой содержитЕ.

Определение.Функцияназываетсяизмеримойна, еслимножествоизмеримо.

Теорема 1. Пусть Е измеримо, f задана на Е. Функция f измерима тогда и только тогда, когда  АR одно из множеств 1-3 измеримо:

1. Е(fA);

2. E(fA);

3. E(f < A).

Доказательство:

1. fизмеримаE(fA) измеримо.

) fизмеримапо определениюE(f > A) измеримо АR. E(fA)=E\E(f>A). По следствию из теоремы 2(а) множествоE(fA) измеримо как дополнение измеримого множества доЕ.

)Пусть E(fA) измеримоE(f>A) =E\E(fA) измеримо, следовательно, по определениюfизмерима.

2. fизмеримаE(fA) измеримо.

) fизмерима. Докажем, чтоE(fA) измеримо.

Покажем методом встречных включений, что .

а) xoE(fA) f(xo)≥AnN nN .

b) nN nN. Переходя к пределу приn, получим, чтоf(xo)≥A xo E(fA).

Так как fизмерима, то измеримоnN.Следовательно, по теореме 2(б)измеримо.

) E(fA) измеримо. Докажем, чтоfизмерима.

Рассмотрим множество E(f > A). Покажем, что .

a) Пусть xoE(f>A) f(xo) >A. Очевидно, чтоnoN: xo.

b) xo , no N f(xo)>A xoE(f>A).

По условию измеримоnN и по теореме 1(а) множествоE(f>A) измеримо fпо определению измерима.

3. Провести доказательство самостоятельно.

§27. Арифметические действия над измеримыми функциями

Теорема 2. Пустьfиg- измеримые функции. Тогда множествоE(f>g) = {xE:f(x)>g(x)} измеримо.

Доказательство:

Занумеруем рациональные числа . Покажем методом встречных включений, что.

а) Пусть xoE(f>g) f(xo) >g(xo).

Q:f(xo)>>g(xo)f(xo)>иg(xo)<xoE(f>) иxoE(g<)xoE(f>)E(g<)xo.

б) Пусть xonoN:xoE(f>) иxoE(g<)f(xo)>иg(xo)<f(xo)>g(xo)xoE(f>g).

Так как fизмерима, тоE(f>) измеримоnN. Так какgизмерима, тоE(g<) измеримоnN. Следовательно, по теореме 2 множествоE(f>)E(g<) измеримоnN, следовательно, по теореме1(а) множествоE(f >g) измеримо.

Теорема 3.Пусть функцииfиg определены на измеримом множествеЕ.

1) Если fизмерима,k,rR,то функцииkfиf +rизмеримы наЕ.

2) Если fи g измеримы наЕ, тоf±gизмерима наЕиfgизмерима наЕ.

3) Если f(х)≠0хЕ, то 1/f,g/f– измеримые функции наЕ.

Доказательство:

1. а) Докажем, что функция kf измерима наЕ, то есть что множествоЕ(kf>A) измеримоАR.

Рассмотрим неравенство kf>A.

Пусть k=0. Имеем 0>AE(0>A)={xE: 0>A}- измеримо, так какЕи- измеримые множества. Следовательно, функцияkf измерима приk=0.

Пусть k≠0, тогда

- измеримо, так какfизмеримаkfизмерима.

б) Докажем, что f+rизмерима наЕ.

f+r– измерима наЕмножествоE(f+r>A) измеримо, ноE(f+r>A)=E(f>A-r) измеримо (так какfизмерима,).

2. а) Докажем, что f±gизмерима наЕ.

f±g– измеримая функциямножествоЕ(f±g>A)ARизмеримо.

Е(f±g>A)=Е(f>Ag), но функция (–g) измерима по пункту 1) данной теоремы, функцияАgизмерима по тем же соображениямпо теореме 2 множествоЕ(f>Ag) измеримоf±gизмерима.

б) Докажем, что fgизмерима наЕ.

Пусть . Докажем, чтоf 2измерима наЕ, то есть множествоЕ(f 2>A) измеримоАR.

E(f2>A) .

Очевидно, что иЕ- измеримые множества, то есть множествоЕ(f 2>A) измеримоАR.

Пусть далее . Заметимfg=. Так какf±g– измеримые функции, то функции (f±g)2также измеримы- измеримая функция, то естьfg– измеримая функция.

3. а) Докажем, что - измеримая функция наЕ, то есть множествоизмеримоАR.

.

Пусть А=0, тогда.

ПустьА≠0, тогда.

ЕслиА>0, то 0<f(x)<.

Если А<0, тоf(x)<илиf(x)>0.

Таким образом,

- измеримоАR.

б) Докажем, что - измеримая функция наЕ.

измерима наЕ, так как функциииизмеримы.

§28. Интеграл Лебега

Пусть Е– измеримое множество,- измеримая функция наЕ. Будем предполагать, чтоограничена наЕ, то есть существуют,такие, что. Разобьемна части точками,,…,. Разбиение обозначим: . Каждому полученному промежуткубудет соответствовать множество

=,.

Составим суммы: ,, которые назовёмнижняя и верхняя суммы Лебега.

Свойства множеств .

1. ,;

2. - измеримо (так как- измерима);

3. ;

4. (из 1-3).

Очевидно, что (из определения).

Упражнение.Доказать самостоятельно свойства 1-4.

Определение.Функциясуммируема или интегрируема по Лебегу, если при любом разбиенииэтого отрезка, где. Общее значение этих пределов называетсяинтегралом Лебегаот функциина множествеЕи обозначается.

Таким образом,

.

Свойства сумм Лебега

Теорема 1.Пусть- некоторое разбиение отрезка, то есть. Разбиениеполучается изТдобавлением новых точек, то есть;,- суммы Лебега, соответствующие разбиениюТ;,- суммы Лебега, соответствующие разбиению. Тогда,.

Доказательство:

Доказательство достаточно провести для случая добавления одной точки, то есть,.

, где.

Множество разбиваем на два множества:;. Тогда;. Следовательно,

;

.

Далее

,

.

Так как , то. Аналогично доказывается, что.

Теорема 2. Для произвольных разбиенийТи,(любая нижняя сумма Лебега не превосходит любой верхней).

Доказательство:

Рассмотрим разбиение . Так какможно получить изТдобавлением новых точек из, то по теореме 1,(1).

С другой стороны, , то есть его можно получить издобавлением новых точек изТ. Тогда по теореме 1,,(2). Кроме того,(3).

Из (1), (2), (3) следует, что ,.

Теорема 3. ПустьЕ– измеряемое множество и

1) ограничена на множествеЕ;

2) измерима наЕ.

Тогда существует .

Доказательство:

Множество ограничено сверху, так как, следовательно, существует. Множествоограничено снизу, следовательно, существует. Докажем, что., так какs,S:. Пусть- некоторое разбиение,и- нижняя и верхняя суммы Лебега, соответствующие данному разбиению. Тогда

,,

.

Рассмотрим разность :

.

При , следовательно,, то естьи функцияинтегрируема наЕ.

§29. Свойства интеграла Лебега

Свойство 1 (теорема о среднем).ПустьЕ– измеримое множество,– измеримая функция наЕиxE. Тогда

.

Доказательство:

Фиксируем N. Положим,. Тогда. Разобьем отрезок [A;B] точкамии составим множества. Так как, то

.

Просуммируем эти неравенства по k:

.

По свойству 4 множеств имеем:

.

Перейдем к пределу при :

.

Так как n– любое натуральное число, то, переходя к пределу при, получим:

.

Следствие 1. Пусть ,Е- измеримое множество. Тогда.

Доказательство:

Возьмем и, тогда.

Следствие 2. Если,– измеримая функция наЕ,Е– измеримое множество, то

.

Доказательство:

Так как , то возьмема=0 (b=0), получим.

Следствие 3. Если ,то для любой ограниченной функции, определенной на измеримом множествеЕ,.

Свойство 2.Пусть,при,- измеримое множество. Пусть далее– измеримая, ограниченная функция наЕ. Тогда

.

Доказательство:

Так как ограничена наЕ, то.

I. Докажем свойство для случая двух множеств: , . Возьмем любое разбиениеТ отрезка [A,B]:T:A=. Составим множества

,

,

.

Так как - множество тех точек из, для которых, то. Аналогично,. Так как, то . Кроме того,

.

Таким образом,

,.

Умножим части равенства на , получим:

Просуммируем эти равенства по k:

.

Перейдем в последнем равенстве к пределу при :

.

II. Случай,при. В этом случае справедливо утверждение:

.

Доказательство проводится методом математической индукции (Самостоятельно!).

III. Случай,при.

По теореме 1(б) (основные теоремы об измеримых множествах) , то есть ряд сходится, где, то естьпри.

Рассмотрим множество Е=, где. ИзIиIIследует, что

Соседние файлы в папке ЛекцииТФДП