Госы 5к Надя / ЛекцииТФДП / измеримые функции
.docРассмотрим множество Е=, где . Из I и II следует, что
. (1)
Так как , то по свойству 1
(2)
Из (2) по теореме о пределе промежуточной последовательности следует, что при . Перейдем в (1) к пределу при . Получим:
.
Свойство 3. Е – измеримое множество, , – измеримые функции на Е. Тогда
.
Доказательство:
Пусть , . Разобьем отрезки [a,b] и [A,B] точками
,
и рассмотрим множества
, , .
Обозначим = . Очевидно:
1) .
Докажем это методом встречных включений.
а) xE ;
b) xE.
2) попарно не пересекаются.
Следовательно, по свойству 2
.
На множестве имеем: . По свойству 1:
.
Складывая все такие неравенства, получим:
.
Найдем сумму:
.
Но
===.
Следовательно,
==.
Аналогично,
.
Следовательно,
.
Пусть . Переходя в последнем неравенстве к пределу при , получим:
.
Свойство 4. Пусть Е – измеримое множество, измерима на Е, сR, тогда .
Доказательство:
1) Случай - очевидно.
2) Случай .
Пусть . Разобьем отрезок [A,B] точками и рассмотрим множества , определяемые обычным способом. Тогда
.
На имеем: . По свойству 1:
.
Суммируем все такие неравенства:
,
где s, S – суммы Лебега для функции . Переходя в последнем неравенстве к пределу при , получим:
.
3) Случай .
Заметим, что . Так как , то = и .
Теорема 5. Пусть – измеримая и ограниченная функция на измеримом множестве Е. Тогда
.
Доказательство:
Введем в рассмотрение функции:
и
Функции и – измеримые, неотрицательные функции, так как – измерима, при этом
, .
Тогда
,
,
.