Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Госы 5к Надя / ЛекцииТФДП / Строение линейных множеств.doc
Скачиваний:
9
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
481.28 Кб
Скачать

§14. Строение линейных открытых множеств на r

Множество называетсялинейным.

Определение 1.МножествоEизRназываетсяограниченным сверху (снизу)если существует такая точкаQ(P), что для любых точек.

Определение 2.МножествоEназываетсяограниченным, если оно ограничено сверху и снизу, то есть если существуют точкиP, Qтакие что для любого.

Определение 3. МножествоEназываетсяограниченным, если существует положительное числоM, такое что для любого.

Определение 4.Точканазываетсяверхней гранью множества E, если правее точкиMнет точек множестваE, и для любого>0 существует, лежащая правее точки.

Обозначается M=supE=.

Определение 5. Точканазываетсянижней гранью множества Eи обозначаетсяm =inf E, еслиm =.

Теорема 1. Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) множество имеет верхнюю (нижнюю) грань.

Теорема 2.Если верхняя (нижняя) грань множестваEсуществует, но не принадлежитE, то она является предельной точкой множестваE.

Доказательство:

Пусть M=supEи. Докажем, чтоMявляется предельной точкой множестваE. Возьмём любую окрестностьточкиM. Фиксируем, такое что. Так какM=supE, то по определению для выбранного, такой что.

Далее:

,

.

Итак, в любой окрестности . По определению,M- предельная точка множестваE. Теорема доказывается аналогично для случаяm=infE.

Следствие 1. Если замкнутое множество ограничено сверху (снизу), то оно имеет самую правую (левую) точку.

Доказательство:

Если множество Eограничено сверху, то оно имеет верхнюю граньМ=supE.

Возможны два случая:

1. ;

2. .

Из теоремы 2 следует, что М– предельная точка множестваЕ, ноЕзамкнуто, следовательно,- противоречие. Этот случай невозможен.

Итак, М=supEи, то естьМ– самая правая точка множестваЕ.

Случай m=infЕрассматривается аналогично.

Следствие 2. ЕслиЕ- ограниченное замкнутое множество, то существует наименьший отрезок, содержащийЕ.Этим отрезком является отрезок [m, M].

Лемма 1. Всякое множество попарно непересекающихся интервалов наRконечно или счетно.

Доказательство:

Пусть - множество попарно непересекающихся интервалов наR,Q– счетное множество рациональных чисел. ПредставимQв виде последовательностиQ. Возьмем, он содержит бесконечно много рациональных чисел. Пустьодно из этих рациональных чисел, соответствующий интервал обозначим:. Числупоставим в соответствие интервал, которому он принадлежит:. Так как интервалыине пересекаются, то. Продолжая этот процесс, получим множество:

,

в котором интервалов столько, сколько натуральных чисел. Множество, состоящее из натуральных чисел. или конечно или счетно. Таким образом,Aили конечно или счетно.

Определение 6.ПустьÆ- открытое множество. Интервалсоставляющим интерваломмножестваG, если,.

Теорема 3. ЕслиÆ- ограниченное открытое множество, то каждая его точка принадлежит некоторому его составляющему интервалу.

Доказательство:

Возьмём . Рассмотрим множество.

Так как G - открыто, тоCG- замкнуто,- замкнуто. Тогда- замкнуто как пересечение замкнутых множеств.

Множество Fограничено снизу, следовательно, существуетM=infF. Так какFзамкнуто, то по следствию 1.

Точка Мне может быть левее точкии не может совпадать с, так как, а. Так как, то. Итак,и. Рассмотрим промежутоки покажем, что он содержится вG. От противного. Предположим, что, что невозможно, так какM– самая левая точка множестваF.

Можно убедиться в существовании промежутка , где, EMBED Equation.3. Тогда

- составляющий интервал и. Таким образом, любая точка изGпринадлежит некоторому его составляющему интервалу.

Теорема 4 (о строении ограниченных открытых множеств). Для того чтобы ограниченное множествоGбыло открытым необходимо и достаточно, чтобы оно являлось объединением конечного числа или счетного множества попарно непересекающихся интервалов, концы которых не принадлежатG(составляющих интервалов).

Доказательство:

1. Необходимость.

Пусть Gограниченное открытое множество. Докажем, чтоGявляется объединением конечного числа или счетного множества попарно непересекающихся интервалов. По теореме 3 каждая точка изGпринадлежит некоторому составляющему его интервалу. Различные составляющие интервалы не пересекаются, так как принадлежатG, а их концы не принадлежатG. Так какGсодержится вR, то множество всех составляющих интервалов конечно или счетно.

2. Достаточность.

Пусть G- объединение конечного числа или счетного множества попарно непересекающихся интервалов, концы которых не принадлежатG. ТогдаGоткрыто как объединение конечного числа или счётного множества открытых множеств.

Теорема 5. Для того чтобы непустое множествоÆбыло открытым необходимо и достаточно, чтобы оно являлось объединением конечного числа или счетного множества попарно непересекающихся интервалов, концы которых не принадлежатG(составляющих интервалов).

Доказательство:

Отличается от доказательства теоремы 4 тем, что в состав составляющих интервалов входят промежутки и.

Теоремы 4-5 определяют структуру линейных открытых множеств: любое открытое множество – объединение конечного числа или счётного множества его составляющих интервалов.

Соседние файлы в папке ЛекцииТФДП