Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Госы 5к Надя / ЛекцииТФДП / Строение линейных множеств.doc
Скачиваний:
42
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
481.28 Кб
Скачать

§ 15. Строение линейных замкнутых множеств на r

Теорема 6. Для того чтобы непустое ограниченное множествоFбыло замкнутым необходимо и достаточно, чтобы оно являлось отрезком или получалось из некоторого отрезка удалением из него конечного числа или счетного множества попарно непересекающихся интервалов, концы которых принадлежатF.

Доказательство:

1. Необходимость.

Пусть F- ограниченное замкнутое множество, тогда по следствию 2 существует наименьший отрезок, содержащийF. Возможны два случая:

1. \F==F;- отрезокF– отрезокF- ограниченное замкнутое множество.

2. \F, = \F, F.

Возьмем . Так какFзамкнуто, тоне является предельной точкой дляF. Тогдаи. Тогда по определению- внутренняя точка множества. Так как- произвольная точка, то- открытое множество. По теореме 4 о строении ограниченных открытых множеств- объединение конечного числа или счетного множества попарно непересекающихся интервалов, концы которых не принадлежатG(составляющих интервалов), удаляя их из, получим замкнутое множествоF.

2. Достаточность.

1. Пусть F=,- отрезокF– отрезокF- замкнутое множество.

2. Пусть Fполучено изудалением из него конечного числа или счетного множества попарно непересекающихся интервалов, концы которых принадлежатF. Докажем, чтоF- замкнутое множество.

Пусть G– объединение удаляемых интервалов, то есть. Как мы только что доказали,G– открытое множество (см.необходимость). Пусть;xне может быть предельной точкой дляF, так как она принадлежитGвместе с некоторой своей окрестностью. ТогдаFсодержит все свои предельные точки, то естьFявляется замкнутым множеством.

Теорема 7.Для того чтобы непустое множествоFбыло замкнутым необходимо и достаточно, чтобы оно являлось или числовой прямойRили получилось удалением изRконечного числа или счетного множества попарно непересекающихся интервалов, концы которых принадлежатR.

Определение 7.ПустьF- замкнутое множество и- наименьший отрезок, содержащийF. Составляющие интервалы множества=\Fи два бесконечных промежуткаиназываютсясмежными интерваламизамкнутого множестваF.

Учитывая определение 7, теорему 6 можно сформулировать следующим образом:

Теорема 8.Для того чтобы непустое ограниченное множествоFбыло замкнутым необходимо и достаточно, чтобы оно являлось отрезком или получалось из некоторого отрезка удалением из него конечного числа или счетного множества интервалов, смежных множествуF.

§15. Строение линейных совершенных множеств

Совершенное множество является замкнутым и не имеет изолированных точек.

Лемма 2.Для того чтобы точкахявлялась изолированной точкой замкнутого множестваFнеобходимо и достаточно, чтобы она была общим концом двух соседних смежных интервалов.

Доказательство:

1. Необходимость.

Пусть - изолированная точка множестваF, тогда существует окрестность, не содержащая точек множестваF, отличных от точки, то есть. Так как,, тоне может содержаться в некотором смежном интервале. Рассмотрим интервал. Он не содержит точек множестваF, следовательно, он принадлежит некоторому смежному интервалу; ясно, что. Итак,- правый конец некоторого смежного интервала.

Аналогично можно показать, что является левым концом смежного интервала.

2. Достаточность.

Пусть - конец двух соседних смежных интервалови,. Обозначим. Рассмотрим. Эта окрестность не содержит точек множестваF, отличных от точки, то есть- изолированная точка множестваF.

Из теорем 6, 7 и леммы 2 следуют утверждения:

Теорема 9.Для того чтобы ограниченное множествоРбыло совершенным необходимо и достаточно, чтобы оно являлось или отрезком или получилось из некоторого отрезка удалением из него конечного числа или счетного множества интервалов, не имеющих общих концов ни друг с другом, ни с исходным отрезком.

Теорема 10.Для того чтобы множествоРбыло совершенным необходимо и достаточно, чтобы оно являлось или числовой прямойRили получилось удалением изRконечного числа или счетного множества интервалов, не имеющих общих концов друг с другом.

Соседние файлы в папке ЛекцииТФДП