- •§14. Строение линейных открытых множеств на r
- •§ 15. Строение линейных замкнутых множеств на r
- •§15. Строение линейных совершенных множеств
- •§16. Канторово множество
- •§17. Мера ограниченного открытого множества на r Определение меры ограниченного открытого множества
- •Свойства мер открытых ограниченных множеств
- •§18. Мера ограниченного замкнутого множества Определение меры ограниченного замкнутого множества
- •Свойства мер ограниченных замкнутых множеств
- •§19. Лемма Гейне-Бореля. Компактные множества
§ 15. Строение линейных замкнутых множеств на r
Теорема 6. Для того чтобы непустое ограниченное множествоFбыло замкнутым необходимо и достаточно, чтобы оно являлось отрезком или получалось из некоторого отрезка удалением из него конечного числа или счетного множества попарно непересекающихся интервалов, концы которых принадлежатF.
Доказательство:
1. Необходимость.
Пусть F- ограниченное замкнутое множество, тогда по следствию 2 существует наименьший отрезок, содержащийF. Возможны два случая:
1. \F==F;- отрезокF– отрезокF- ограниченное замкнутое множество.
2. \F, = \F, F.
Возьмем . Так какFзамкнуто, тоне является предельной точкой дляF. Тогдаи. Тогда по определению- внутренняя точка множества. Так как- произвольная точка, то- открытое множество. По теореме 4 о строении ограниченных открытых множеств- объединение конечного числа или счетного множества попарно непересекающихся интервалов, концы которых не принадлежатG(составляющих интервалов), удаляя их из, получим замкнутое множествоF.
2. Достаточность.
1. Пусть F=,- отрезокF– отрезокF- замкнутое множество.
2. Пусть Fполучено изудалением из него конечного числа или счетного множества попарно непересекающихся интервалов, концы которых принадлежатF. Докажем, чтоF- замкнутое множество.
Пусть G– объединение удаляемых интервалов, то есть. Как мы только что доказали,G– открытое множество (см.необходимость). Пусть;xне может быть предельной точкой дляF, так как она принадлежитGвместе с некоторой своей окрестностью. ТогдаFсодержит все свои предельные точки, то естьFявляется замкнутым множеством.
Теорема 7.Для того чтобы непустое множествоFбыло замкнутым необходимо и достаточно, чтобы оно являлось или числовой прямойRили получилось удалением изRконечного числа или счетного множества попарно непересекающихся интервалов, концы которых принадлежатR.
Определение 7.ПустьF- замкнутое множество и- наименьший отрезок, содержащийF. Составляющие интервалы множества=\Fи два бесконечных промежуткаиназываютсясмежными интерваламизамкнутого множестваF.
Учитывая определение 7, теорему 6 можно сформулировать следующим образом:
Теорема 8.Для того чтобы непустое ограниченное множествоFбыло замкнутым необходимо и достаточно, чтобы оно являлось отрезком или получалось из некоторого отрезка удалением из него конечного числа или счетного множества интервалов, смежных множествуF.
§15. Строение линейных совершенных множеств
Совершенное множество является замкнутым и не имеет изолированных точек.
Лемма 2.Для того чтобы точкахявлялась изолированной точкой замкнутого множестваFнеобходимо и достаточно, чтобы она была общим концом двух соседних смежных интервалов.
Доказательство:
1. Необходимость.
Пусть - изолированная точка множестваF, тогда существует окрестность, не содержащая точек множестваF, отличных от точки, то есть. Так как,, тоне может содержаться в некотором смежном интервале. Рассмотрим интервал. Он не содержит точек множестваF, следовательно, он принадлежит некоторому смежному интервалу; ясно, что. Итак,- правый конец некоторого смежного интервала.
Аналогично можно показать, что является левым концом смежного интервала.
2. Достаточность.
Пусть - конец двух соседних смежных интервалови,. Обозначим. Рассмотрим. Эта окрестность не содержит точек множестваF, отличных от точки, то есть- изолированная точка множестваF.
Из теорем 6, 7 и леммы 2 следуют утверждения:
Теорема 9.Для того чтобы ограниченное множествоРбыло совершенным необходимо и достаточно, чтобы оно являлось или отрезком или получилось из некоторого отрезка удалением из него конечного числа или счетного множества интервалов, не имеющих общих концов ни друг с другом, ни с исходным отрезком.
Теорема 10.Для того чтобы множествоРбыло совершенным необходимо и достаточно, чтобы оно являлось или числовой прямойRили получилось удалением изRконечного числа или счетного множества интервалов, не имеющих общих концов друг с другом.