Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Госы 5к Надя / ЛекцииТФДП / Ряды Фурье.doc
Скачиваний:
99
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
1.96 Mб
Скачать

5. Примеры.

Пример 1.4.Построить ряд Фурье и исследовать сходимость для функции

Найдем коэффициент Фурье, используя формулы (6.3), (11.3), (12.3).

;

Следовательно, (17.4)

Так как , то пока мы можем утверждать, что равенство (17.4) выполнено в среднем, то есть ряд Фурье сходится кfпо норме пространства. Заметим далее, что, еслиПоэтому, согласно следствия 7.4, равенство (17.4) выполнено в обычном смыслеТочнее, ряд (17.4) сходится к f поточечно на множестве.

При исследовании сходимости ряда Фурье в точках воспользуемся следствиями 5.4, 6.4. Для этого заметим, что

Отсюда и из следствий 5.4, 6.4 сделаем вывод, что в точках ряд Фурье функцииf

(18.4)

сходится к числу Впрочем, этот вывод легко получить непосредственной

подстановкой чисел в ряд (18.4).

Пример 2.4.Исследовать сходимость ряда Фурье функциина отрезке.

Так как , то. Поэтому, согласно теорем 3.2 и 4.2, ряд Фурье функцииf по тригонометрической системе (3.2) сходится к функцииf в среднем, то есть по интегральной норме, порожденной скалярным произведением (3.3).

Далее, поскольку f дифференцируема при, то на множестверяд Фурье, согласно следствия 7.4, сходится поточечно к значениюf(x), а приряд Фурье, согласно следствия 6.4, сходится к одной и той же сумме.

Соседние файлы в папке ЛекцииТФДП