- •§1. Определение пространства .
- •§2. Ряд Фурье.
- •Ортонормированные системы в евклидовом пространстве.
- •2. Ортонормированные системы в k[] и k[a,b].
- •3. Определение ряда Фурье.
- •4. Замкнутые системы в евклидовых пространствах.
- •§3. Тригонометрический ряд Фурье.
- •1. Замкнутость тригонометрической системы.
- •2. Тригонометрическая система в пространстве интегрируемых функций.
- •3. Ряд Фурье по тригонометрической системе (3.2).
- •4.Тригонометрический ряд Фурье в пространстве .
- •5. Ряд Фурье чётных и нечётных функций. Разложение в ряд по синусам или косинусам.
- •Комплексная форма записи тригонометрического ряда Фурье.
- •§ 4. Поточечная и равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье
- •1. Свойства интегрируемых функций
- •2. Интегральное представление частичных сумм тригонометрического ряда Фурье
- •3. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда Фурье в точке
- •4.Достаточные условия поточечной сходимости ряда Фурье.
- •5. Примеры.
5. Примеры.
Пример 1.4.Построить ряд Фурье и исследовать сходимость для функции
Найдем коэффициент Фурье, используя формулы (6.3), (11.3), (12.3).
;
Следовательно, (17.4)
Так как , то пока мы можем утверждать, что равенство (17.4) выполнено в среднем, то есть ряд Фурье сходится кfпо норме пространства. Заметим далее, что, еслиПоэтому, согласно следствия 7.4, равенство (17.4) выполнено в обычном смыслеТочнее, ряд (17.4) сходится к f поточечно на множестве.
При исследовании сходимости ряда Фурье в точках воспользуемся следствиями 5.4, 6.4. Для этого заметим, что
Отсюда и из следствий 5.4, 6.4 сделаем вывод, что в точках ряд Фурье функцииf
(18.4)
сходится к числу Впрочем, этот вывод легко получить непосредственной
подстановкой чисел в ряд (18.4).
Пример 2.4.Исследовать сходимость ряда Фурье функциина отрезке.
Так как , то. Поэтому, согласно теорем 3.2 и 4.2, ряд Фурье функцииf по тригонометрической системе (3.2) сходится к функцииf в среднем, то есть по интегральной норме, порожденной скалярным произведением (3.3).
Далее, поскольку f дифференцируема при, то на множестверяд Фурье, согласно следствия 7.4, сходится поточечно к значениюf(x), а приряд Фурье, согласно следствия 6.4, сходится к одной и той же сумме.