Госы 5к Надя / ЛекцииТФДП / Внешняя и внутренняя меры
.doc§21. Внешняя мера множества и её свойства
Пусть E – ограниченное множество. . Возьмём всевозможные открытые множества G, , покрывающие множество E. Величина определена ранее, .
Определение 1. Пусть A - множество всевозможных открытых множеств, покрывающих множество E. Внешней мерой множества E называется число .
Выясним основные свойства внешней меры.
Свойство 1. .
Доказательство:
.
Свойство 2. Если , то .
Доказательство:
- множество всевозможных множеств, содержащих множество .
- множество всевозможных множеств, содержащих множество .
. Если множество расширяется, то его нижняя грань может только уменьшиться .
Лемма 1. Пусть - система открытых множеств, . Тогда .
Доказательство:
Так как О – открытое множество, то его можно представить в виде объединения попарно непересекающихся интервалов, концы которых не принадлежат О (составляющих интервалов), , Имеем: . Так как - открытые множества, то
.
Берём произвольный интервал . Выберем произвольно , положим так, чтобы . Имеем: . Система интервалов покрывает отрезок . По лемме Гейне-Бореля из этой бесконечной системы можно выбрать конечную систему интервалов, покрывающих данный отрезок. Обозначим её . Итак,
.
Просуммируем по k все такие неравенства:
;
.
Так как сходящийся двойной ряд с положительными членами можно суммировать любым способом, то . Следовательно, - произвольное положительное число. Переходим в последнем неравенстве к пределу при :
Свойство 3.
Доказательство:
Фиксируем k и рассмотрим множество . По определению как нижней грани
>0 .
Просуммируем по k все такие неравенства:
.
По построению
Переходим в последнем неравенстве к пределу при :
§22. Внутренняя мера множества и её свойства
Пусть и E - некоторое множество из , . Рассмотрим множество , определена в предыдущем пункте.
Определение 1. Внутренней мерой множества E называется число .
Свойство 1. .
Доказательство:
Возьмём и рассмотрим . .
Возьмём любое покрытие множества и любое покрытие множества точек множества Е и из . Имеем:
.
Множество является открытым. Оно покрывает отрезок . То есть система открытых интервалов из покрывает . По лемме Гейне-Бореля из неё можно выделить конечную сумму интервалов, покрывающих :
Но первая система может пересекаться со второй, тогда
(1)
Но - любые множества из и (по def inf) их можно подобрать так, чтобы
(2)
Из (1) и (2) следует
Переходим к пределу при
Свойство 2. .
Доказательство:
По определению
Докажем последнее неравенство для произвольного множества .
Пусть (то есть G- открытое множество, такое, что ) такое что:
(такое множество всегда можно найти).
Переходим к пределу при .
Но .
Лемма 1. Пусть О, - ограниченные открытые множества, покрывающие интервал (0,1): . Тогда .
Доказательство:
Возьмём и рассмотрим .По условию по лемме Гейне-Бореля из бесконечной системы интервалов, покрывающих , можно выделить конечную подсистему
Пусть
Так как О, - ограниченные множества, то ряды -
“+” сходящиеся , то есть для любого, в том числе для выбранного
.
Обозначим
и
(0) .
Далее имеет место включение:
(действительно, пусть )
и
или .
Множества - открытые их мера определена:
Далее,
из (0) , то есть
.
Так как .
Переходим к пределу при .
Свойство 3. - система попарно непересекающихся множеств. Тогда
Доказательство:
1. : (*)
Сначала докажем следующие утверждения:
n.1) если , то .
Возьмём любую точку Возможны три случая:
а)
б)
в)
n.2)
а) Пусть
б) Пусть
.
По определению нужно доказать неравенство, равносильное (*):
или
(**)
По определению
1)
2) (проверяется непосредственно)
3) (проверяется непосредственно)
Из
Тогда
Переходим к пределу при и получаем (**)(*)
2.
.
Обозначим
.
Так как то
.
Тогда
.
Продолжим этот процесс далее: и так далее.
Получим:
.
Переходим к пределу при :
.