Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Госы 5к Надя / ЛекцииТФДП / Внешняя и внутренняя меры

.doc
Скачиваний:
13
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
368.13 Кб
Скачать

§21. Внешняя мера множества и её свойства

Пусть E– ограниченное множество.. Возьмём всевозможные открытые множестваG,, покрывающие множествоE. Величинаопределена ранее,.

Определение 1.ПустьA- множество всевозможных открытых множеств, покрывающих множествоE.Внешней мерой множества Eназывается число.

Выясним основные свойства внешней меры.

Свойство 1. .

Доказательство:

.

Свойство 2. Если, то.

Доказательство:

- множество всевозможных множеств, содержащих множество.

- множество всевозможных множеств, содержащих множество.

. Если множество расширяется, то его нижняя грань может только уменьшиться.

Лемма 1. Пусть- система открытых множеств,. Тогда.

Доказательство:

Так как О – открытое множество, то его можно представить в виде объединения попарно непересекающихся интервалов, концы которых не принадлежатО(составляющих интервалов), ,Имеем:. Так как- открытые множества, то

.

Берём произвольный интервал . Выберем произвольно, положимтак, чтобы . Имеем:. Система интерваловпокрывает отрезок. По лемме Гейне-Бореля из этой бесконечной системы можно выбрать конечную систему интервалов, покрывающих данный отрезок. Обозначим её. Итак,

.

Просуммируем по k все такие неравенства:

;

.

Так как сходящийся двойной ряд с положительными членами можно суммировать любым способом, то . Следовательно,- произвольное положительное число. Переходим в последнем неравенстве к пределу при:

Свойство 3.

Доказательство:

Фиксируем k и рассмотрим множество . По опре­делению как нижней грани

>0.

Просуммируем по k все такие неравенства:

.

По построению

Переходим в последнем неравенстве к пределу при :

§22. Внутренняя мера множества и её свойства

Пусть иE - некоторое множество из ,. Рассмотрим множество,определена в предыдущем пункте.

Определение 1. Внутренней мерой множества E называется число .

Свойство 1. .

Доказательство:

Возьмём и рассмотрим..

Возьмём любое покрытие множестваи любое покрытиемножестваточек множестваЕииз. Имеем:

.

Множество является открытым. Оно покрывает отрезок. То есть система открытых интервалов изпокрывает. По лемме Гейне-Бореля из неё можно выделить конечную сумму интервалов, покрывающих:

Но первая система может пересекаться со второй, тогда

(1)

Но - любые множества изи(поdefinf) их можно подобрать так, чтобы

(2)

Из (1) и (2) следует

Переходим к пределу при

Свойство 2. .

Доказательство:

По определению

Докажем последнее неравенство для произвольного множества .

Пусть (то естьG- открытое множество, такое, что) такое что:

(такое множество всегда можно найти).

Переходим к пределу при .

Но .

Лемма 1. Пусть О, - ограниченные открытые множества, покрывающие интервал (0,1):. Тогда .

Доказательство:

Возьмём и рассмотрим.По условиюпо лемме Гейне-Бореля из бесконечной системы интервалов, покрывающих, можно выделить конечную подсистему

Пусть

Так как О, - ограниченные множества, то ряды-

“+” сходящиеся , то есть для любого, в том числе для выбранного

.

Обозначим

и

(0) .

Далее имеет место включение:

(действительно, пусть )

и

или .

Множества - открытыеих мера определена:

Далее,

из (0) , то есть

.

Так как .

Переходим к пределу при .

Свойство 3. - система попарно непересекающихся множеств. Тогда

Доказательство:

1. : (*)

Сначала докажем следующие утверждения:

n.1) если, то.

Возьмём любую точку Возможны три случая:

а)

б)

в)

n.2)

а) Пусть

б) Пусть

.

По определению нужно доказать неравенство, равносильное (*):

или

(**)

По определению

1)

2) (проверяется непосредственно)

3) (проверяется непосредственно)

Из

Тогда

Переходим к пределу при и получаем (**)(*)

2.

.

Обозначим

.

Так как то

.

Тогда

.

Продолжим этот процесс далее: и так далее.

Получим:

.

Переходим к пределу при :

.

5

Соседние файлы в папке ЛекцииТФДП