§ 1. Эмпирические линейные зависимости

Глава 7. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ (введение в регрессионный и корреляционный анализ)

§1. ЭМПИРИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ

1.1. методы построения линейных зависимостей и уточнение их параметров

Анализ экономических, технических,физических процессов приводит к необходимости выявления существенных факторов, влияющих на исследуемый процесс, а также выбора формы связи между этими факторами и оценки параметров полученных уравнений связи.

Будем считать, что некоторое явление характеризуется двумя величинами {Х} и {Y}, связанными между собой некоторой неизвестной экспериментатору функциональной зависимостью. Любую из этих величин с одинаковой степенью можно считать независимой, тогда как другая будет считаться зависимой. Пусть, например, независимой положим переменную {X}. Тогда говорят, что переменнаяY связана с {X} некоторой зависимостью, которую без ограничения общности можно представить какY = F(Х), гдеF- некоторый неизвестный оператор, определяющий правило перехода от множестваХко множествуY. Для простоты можно считать преобразование взаимно однозначным, хотя на практике это выполняется далеко не всегда.

Теперь математически задача сводится к построению явного вида оператора F и затем его уточнению. Методов решения указанной задачи существует достаточно много. Рассмотрим методылинейного регрессионного анализа.

Одним из самых простых операторовFявляется линейный, опеределяющий линейную зависимость видаY = АХ+ + В. Для начала положимВ = 0 и определим связи между переменнымиХиY, вычислив параметрА.

Метод выбранных точек.Проведем прямую как можно ближе к нанесенным точкам (рис. 7.1) и выберем на ней произвольную точкуМ(х,у). Тогда параметр А определим из отношенияА=у/х. Преимущество этого метода состоит в его наглядности. Но заметим, что значенияАмогут колебаться довольно сильно, так как прямая строится произвольно и в выборе точек, через которые ее проводят, нет однозначности.

Метод среднихдает лучшие результаты по сравнению с методом выбранных точек. Если предположим, что зависимость построена, тогдаy_i = aх_iдаст приближенные значенияy_i. Определим параметр aиз условия минимума средней ошибки

Перепишем последнее выражение в виде

преобразуя которое получим выражение для

Метод наименьших квадратов дает еще более точныерезультаты по сравнению с рассмотренными. В этом методе параметраопределяется из условия минимальной суммы квадратов отклонений табличных значенийу_i от полученныху_i* :

Условие минимума F, как известно, дает равенство нулю ее первой производной, т.е. . ПродифференцировавFпоа, получим , откуда находим .

Каждый из приведенных методов является болееточным по сравнению с предыдущим, поэтому рекомендуется сначала воспользоваться методом выбранных точек, а затем - одним из двух оставшихся.

Пусть теперь В № 0. Посмотрим, как изменятся методы. Общий вид зависимости теперьY_i = АХ_i+ В.

Для уточнения параметров АиВвоспользуемся рассмотренными методами.

метод выбранных точек. Выберем на построенном графике две произвольные точкиМ₁(х₁,у₁) иМ₂(х₂,у₂) (рис. 7.2). Из аналитической геометрии известно, что уравнение прямой будет

откуда получаем

Тогда выражения для параметровАиВможно определить как

Метод средних. Согласно емуАиВищем такими, чтобы алгебраическая сумма всех уклонений от вычисленных значений была бы равна нулю:

Для определенияАиВ разобьем все данные на две группы так, чтобы сумма алгебраических уклонений каждой группы от среднего была бы равна нулю. Иными словами среднее для одной группы точек было быравным (или не очень сильно отличалось) среднему другой группы точек. Тогда для каждой группы запишем