§ 4. Классификация по нескольким признакам

или после переобозначения некоторых членов и при­ве­де­ния подобных

S = S₁ + S₂ + S₃ + S₄ .

Члены с перекрестными произведениями об­ра­ща­ют­ся в нуль, как и в слу­чае с одним фактором. Теперь Sбу­дет иметь (N - 1) , S₁ - (p - 1), S₂ - (q - 1), S₄ - (N - pq) степеней сво­боды, поскольку они все вы­числены исходя из от­кло­не­ний наблюдений от различных выборочных сред­них. Для то­го чтобы в обеих частях равенства (6.6) ко­ли­чес­тво степеней сво­бо­ды было равным,S₃ должно иметь (p - 1)(q- - 1) степеней свободы. Общее количество на­блю­дений при этомN = npq.

Соответственно этому получим таблицу дис­пер­си­он­ного ана­ли­за (табл. 6.8).

Теперь существование эффекта взаимодействиямож­но про­верять, сравнивая соотношенияМ₃ / М₄ сF-рас­пре­де­ле­ни­ем с (p - 1)(q - 1) и (N ‑ pq) степенями сво­бо­ды. Та­ким же образом главные влияния, обус­лов­лен­ные фак­то­рамиАиВ,можно проверить при помощи со­от­но­ше­ний со­от­вет­ст­венноМ₁ / М₄ иМ₂ / М₄. В случае модели II для проверки со­отношенияМ₃ / М₄ сF-рас­пре­де­ле­ни­ем можно ис­поль­зо­ватьF-распределение с теми же сте­пе­­­ня­ми свободы. Од­на­ко для проверки гипотез от­но­си­тель­­но главного влияния двух факторов со­от­вет­ству­ю­щие квадраты следует раз­де­лить на средний квад­рат вза­имодействия, а не на средний квад­рат “внутри яче­ек”или оста­точ­ный средний квадрат. Это одно из са­мых важных различий между этими мо­де­ля­ми.

Для смешанной модели можно положить, что фак­тор Аимеет случайные уров­ни, а факторВ- фик­си­ро­ван­ные. Тог­да гипотеза относительно члена, со­от­вет­ству­ющего вза­и­­модействию между уровнями, проверяется из сравнениясо­­от­­ношенияМ₃ / М₄ сF-распределением с (p - 1)(q -1) и(N - pq) степенями свободы. Су­щес­т­во­вание эф­фек­тов слу-

­

чай­ности для фактора Апроверяется делением сред­него квад­ратаМ₁ на средний квадрат “внутри ячеек” или остаточный сред­ний квадрат. Критерий для глав­но­го эф­фек­та фактораВ получают, раз­де­ливМ₂ на сред­ний квад­рат взаимодействия. Таким образом, кри­те­рии для про­вер­ки гипотез относительно главных эф­фек­тов в смешанной мо­дели дей­ст­вуют обратно кри­те­ри­ям для моделей I и II.

4.2. Удобные вычислительные формулы

Как и в случае с одним фактором, различные суммы, при­­ве­ден­ные в табл. 6.8, можно выразить в формулах, удоб­ных для выполнения вы­числений. формулы при­ве­дем без вывода:

; (6.7)

; (6.8)

; (6.9)

_{; (6.10)}

Таблица 6.8

Источник из­мен­чивости	Сумма квадратов	Степени свободы	Средние квадраты
Влияние фактора А		p - 1
Влияние фактора В		q - 1
Взаимодей­ствие АхВ		(p-1) (q-1)
Различия внутри ячеек		N - pq
Сумма		N - 1

. (6.11)

В формулах (6.7) - (6.11) использованы обозначения: Т_ij - сумма наблюдений вij-й ячей­ке;Т_i. - сумма на­блю­де­ний дляi-го уровня; Т_.j - сумма наблюдений дляj‑го уров­ня.

Таким образом, необходимо образовать суммы внутри каждой ячейки Т_ijи суммы по рядамТ_i. и столб­цам Т_.j. Одновременно следует проверить равен­ство сумм=. При этом если количество на­блю­дений велико, то ре­ко­мен­ду­­ется использовать пер­со­наль­ный ком­пьютер и, в част­ности, электронные таблицы.