Математика_практикум_Ч1

4.3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M 1; 4

параллельно прямой

2x 3y 4 0 .

4.4. Дан треугольник с вершинами в точках

A 1, 2 ,

B 0, 1

и

C 1, 4 . Написать уравнение прямой, проходящей через вершину А

параллельно противоположной стороне.

4.5. При

каком

значении

параметра

α

прямые

3 2 x

1 4 y 8 0 и

5 2 x 4 y 7 0

Т

взаимно перпенди-

кулярны?

Н

У

4.6. Даны вершины треугольника

A 3, 5 ,

B 3, 3 и

C 5, 8 .

Б

Определить длину медианы, проведенной из вершины С.

4.7. При

каких

значениях

α

прямые

x 2y 1 0

и

6x 4y 3 0 :

й

и

а) параллельны; б) имеют одну общую точку?

4.8. Написать

уравнение

прямой,

проходящей

через

точку

M 4; 3 перпендикулярно векто у M1M 2 , если

M1 0, 2 ,

M2 3, 5 .

о

M2 1, 3

4.9. Дан треугольник с ве шинами в точках M1 2, 5 ,

и M3 0, 0 . Состави ь уравнениермедианы,

проведенной из верши-

ны M3 .

и

з

4.10. Найти

уравненте прямой,

проходящей через

точку

M1 1, 2 перпенд кулярно прямой,

соединяющей точки

M2 2, 3

двух данныхточек A 1, 1 и B 3,

0 .

и M3 0, 1 .

4.11. На

рям й 2x y 11 0 найти точку,

равноудаленную от

е

Р

через

точку

4.12.пНаписать уравнение прямой, проходящей

M 1; 1 параллельно прямой

4x y 5 0 .

4.13. Найти

расстояние между

прямыми

3x 4y 25 0

и

6x 8y 50 0 .

110

4.14. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M 1; 2, 3

параллельно вектору

AB , если A 1; 2,

4 ,

B 3; 5, 8 .

4.15. Привести к каноническому виду уравнения прямой

2x 3y 3z 9 0,

У

x 2 y z 3 0.

Т

4.16. Найти

уравнение

прямой,

проходящей

через точку

M 1;

3 и точку пересечения прямых

2x y 1 0, 3x y 4 0 .

4.17. Найти значения параметров a и d, при которых прямая

x

3 4t

Б

y

1 4t

принадлежит плоскости ax 2y Н4z d 0 .

z

3 t

й

нами

5), B( 4, 3),

4.18. Дан треугольник с верш

в точках А(1,

р

С(2, 9). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины А.

4.19. Составить уравнение п ямой, проходящей через точку пе-

о

ресечения прямых 3x 5y

2

0,

5x 2y 4 0 и точку А(1, 3).

т

1), B( 2, 3),

4.20. Дан треугольник с вершинами в точках А(1,

уравнение

С(4, 7). Написать

медианы, проведенной из вершины А.

з

прямой, проходящей через точку А(1, 1)

4.21. Найти

параллельно прямой, соед няющей точки M1(2, 3) и M2 (5, 1) .

о

x 2y 1 0,

4.22. Даны

уравнения

сторон треугольника

п

5x

4y

17 0, x 4y 11 0 . Составить уравнение прямой, про-

ходящей

через одну из вершин треугольника параллельно противо-

положной стороне.

Р

4.23. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M1(2, 3)

ортогонально вектору M1M 2 , если M2 (4, 5) .

4.24. Выяснить, принадлежат ли точки А( 1, 2), B(3, 4) и С(1, 2) одной прямой.

111

4.25. Даны точки А( 1, 2, 3), B(3, 1, 2) и С(1, 3, 1). Найти точку пересечения медиан треугольника ABC.

З а д а ч а

5

Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Требуется найти:

У

1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) площадь

грани А1А2А3; 4) объем пирамиды;

5) уравнение прямой А1А4;

6) уравнение плоскости А1А2А3; 7) угол между ребром А1А4

и гранью

А1А2А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4

на грань

А1А2А3. Сделать чертеж.

Н

5.1.

A 3, 3, 9 ,

A 6, 9,1 ,

A

1, 7, 3 ,

A 8, 5,8 .

1

2

3

Б

Т4

5.2.

A1 3, 5, 4 ,

A2

5,8, 3 ,

A3 1, 9, 9 ,

A4 6, 4,8 .

A1 2, 4, 3 ,

7, 6, 3 ,

й

A4 3, 6, 7 .

5.3.

A2

A3

4, 9, 3 ,

A1 9, 5, 5 ,

и

5, 7,8 ,

A4 6, 9, 2 .

5.4.

A2 3, 7,1 ,

A3

5.5.

A1

0, 7,1 ,

A2

4,1, 5 ,

A3 4, 6, 3 ,

A4 3, 9,8 .

A1 5, 5, 4 ,

р

A3 3, 5,10 ,

A4 5,8, 2 .

5.6.

A2

3,8, 4 ,

6,1,1 ,

о

A3 4, 2, 0 ,

A4 1, 2, 6 .

5.7.

A1

A2

4, 6, 6

,

7, 5, 3

т

A3 4, 5, 7 ,

A4 7, 9, 6 .

5.8.

A1

,

A2

9, 4, 4 ,

и

5, 4, 7 ,

A3 2, 4, 7 ,

A4 7, 3, 0 .

5.9.

A1

6, 6, 2

,

A2

з

A2 3, 2, 3 ,

A3 3, 3, 3 ,

A4 2, 0, 4 .

5.10.

A1

1, 3,1 ,

о

A2 4, 5, 2 ,

A3 1, 3, 0 ,

A4 6,1, 5 .

5.11.

A1

1,

1, 6 ,

п

3, 4, 0 ,

A3 1, 5, 6 ,

A4 4, 0, 5 .

5.12.

A1

1,1,1 ,

A2

5.13.

A1 0, 0, 0 ,

A2 5, 2, 0 ,

A3 2, 5, 0 ,

A4 1, 2, 4 .

Р

A1

7,1, 2 ,

A2 5, 3, 2 ,

A3 3, 3, 5 ,

A4 4, 5, 1 .

5.14.

е5.15.

A1 2, 3, 2 ,

A2 2, 3, 2 ,

A3 2, 2, 0 ,

A4 1, 5, 5 .

5.16.

A1 3,1,1 ,

A2 1, 4,1 ,

A3 1,1, 7 ,

A4 3, 4, 1 .

5.17.

A1 4, 3, 2 ,

A2 2, 2, 3 ,

A3 2, 2, 3 ,

A4 1, 2,3 .

5.18.

A1 5,1, 0 ,

A2

7, 0,1 ,

A3 2,1, 4 ,

A4 5, 5, 3 .

112

5.19.

A1 4, 2,

1

,

A	3, 0,
2

4

,

A	0, 0,
3

4

,

A	5,
4

1,

3

.

5.20.	A1	0,
5.21.	A1	3,

0, 0,

2 5

,

,

A2 A2

3,0,

0, 5 , 0, 2 ,

A3 A3

1,1, 0 ,4,1, 2 ,

A4 A4

4,1, 2 .1,1, 0 .

5.22.

A1

1,1, 0

,

A2

4,1, 2 ,

A3 0, 0, 2 ,

A4

3, 0, 5 .

5.23.

A1 4,1, 2 ,

A2 1,1, 0 ,

A3 3, 0, 5 ,

A4

0, 0, 2 .

A1 0, 0, 0 ,

A2 3, 2,1 ,

A3 1, 4, 0 ,

Т

5.24.

A4

5, 2, 3 .

A2 0, 7, 2 ,

A3 1, 0,

Н

5.25.

A1(3,1, 0) ,

5 ,

A4

4,1,У5 .

З а д а ч а

6

Б

Построить на плоскости кривую, приведя ее уравнение к кано-

ническому виду.

й

6.1.

x

2

8x 2y

20 0 .

и

6.2.

3x2 4y2

18x 15 0 .

x2 2y2

р

6.3.

2x 8y

7

0 .

2

о

6.4.

x2

т

8x y 15 0 .

x2 y2

и

6.5.

4x

10y 20 0 .

з

6.6.

5x

9y

30x 18y

9 0 .

о

6.7.

4x

2

9y

2

40x 36y 100 0 .

п

6.8.

9x2

16y

2 5x 64y 127 0 .

е

6.9.

2x2 8x y

12 0 .

Р

2

6.10.

x2 4y2

6y 3 0 .

6.11. 9x2 4y2 54x 32y 109 0 .

6.12.

x

5x y 7 0 .

6.13. x2 4y2

6x 16y 11 0 .

113

6.14. 4x2 8x y 7 0 .

6.15.

9x

2

4y

2

18x 0 .

6.16.

x

2y

2

8y 3 0 .

6.17. x2 4y2

6x 8y 3 .

Т

6.18. x 5y2

10y 6 0 .

У

6.19. x2 4y2

8x 24y 24 .

Н

6.20. x2 6x 5 2 y .

Б

6.21. 9x2 10y2

40y 50 0 .

й

6.22. 16x2 9y2

64x 18y

199 0 .

6.23. x 2y2

12y 14 0 .

р

6.24. y

2

2y 4x 11 0 .

и

6.25. x2 2y2

2x

0 .

о

т

и

З а д а ч а

7

Построить поверхнос ь, приведя ее уравнение к каноническому

виду.

з

о

2

7.1. а)

z 1 x

2

y

2

;

б)

z 4 x

.

п

7.2. а)

x2

2x

2y2

4z2

0 ;

б)

y2 5y z 4 .

е

x2 y2

4z2 6x 0 ;

x2 z2 2z .

7.3. а)

б)

7.4. а)

2y2 z2 1 x ;

б)

xy 4 .

7.5. а)

9x2 4y2 8y z2

32 ;

б) x2 y2

6x 0 .

Р

x

2

2y

2

z

2

2z 0 ;

б)

z

2

4z

6y 20 0 .

7.6. а)

7.7. а)

x2 y2

z2

3x 5y 4z 0 ;

б)

y2 4x 1.

114

7.8. а)

z 2 x2

y2 ;

б)

z 1 x2 .

7.9. а)

36x

2

16y

2

9z

2

18z 9

;

б)

z

2

2z 8x 7 0 .

7.10. а)

x

2

y

2

z

2

0 ;

б)

y

2

4x 2 .

7.11. а)

x2 y2 z2

2z ;

б)

y x2 .

Т

7.12. а)

x2 3y2 z2 2z 2 ;

б)

x 1 z2 .

7.13. а)

2x2 4y2

z2 2z ;

б) x2 5z 2x . У

Н

7.14. а)

z 4 x2

y2 ;

б)

x2

y2

2 y .

Б

7.15. а) 2y2 x2

4x 4z2 4 0 ;

б)

z

x

1 2 .

y2

2y z2

x2

0 ;

й

x y2 .

7.16. а)

б)

7.17. а)

x2 y2 2y 2z 1 ;

и

б)

z2 y2 2z .

7.18. а)

x

2

y

2

2z 6 ;

б)

x

2

z

2

6z 0 .

7.19. а)

9x

2

4y

2

8y 36z

2

б)

2x

2

5y 10 .

32

;

т

7.20. а)

x2

y

2

z2

2z

; р

б)

z2 7x .

и

о2

2

2

7.21. а)

5x

2

15y

2

4z

0 ;

б)

4x

y

8 .

8z

24

з

7.22. а)

4z

2

x2

2y2 2x 3 ;

б)

xy 9 .

о

7.23. а)

x2

4y2

z

2 8y 4 ;

б)

x2 y2

3 0 .

п

е

x2 y2 2z 0 ;

б) x2 y2 4 0 .

7.24. а)

7.25. а)

x2 2x y2

z2

0 ;

б)

x 2 y2 .

Р

115

Типовой расчет № 2 Предел функции. Производная и ее применение

к исследованию функций и построению графиков

З а д а ч а

1

Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

x2 x 6

5x2 2x 1

У

Т

1.1.

а)

lim

.

б)

lim

3x2 2

.

x 3 x2

7x 12

x 3x3

1 cos x

x

1

x 2

в)

lim

.

г)

lim

.

x 0

x sin x

x x

3

Б

2x2 x 6

8x4

2x3 1

1.2.

а)

lim

.

б)

lim

Н

.

2

3

x 2 x 3x 2

й

4x 3

x 5x

1 cos x

и

1 x

в)

lim

.

г)

lim 1 4x x .

x

x2

р

x 0

1.3.

а)

lim

5x2 x 4

.

б)

lim

6x5

4x 12

.

4x2

x 1 3x2 5x

2

x 3x6

1

т

3x 4 x 2

cos x cos2 x

в)

lim

.

г)

lim

.

x 0

x2

о

x

3x

2

з

x

2x2

5x

7

5x3

x2 6

о

1.4.

а)

lim

2

.

б)

lim

4

.

x 1

и

x

2x

x 12

3x

x

2

1 cos2x

x 3

е

в)

lim

.

г)

lim

.

x 0

x tg x

x x 2

п x2 3x 2

x4

8x 1

1.5. а)

lim

.

б)

lim

.

Р

x

1 3x2 4x 1

x 7x5

4x2

5

3

x

x

2

2x 1

x

в)

lim

cos x cos

.

г)

lim

.

x 0

x2

x

x2

4x 2

116

1.6.а)

		2x	2	x 10
	lim
			2	x 2
	x 2	x

.

б)

		2x	3		6x 5
	lim
				2		x 1
	x 5x

.

2

x

x2

tg

2

x2

1

в)

lim

.

г)

lim

.

x 0

x

x

x

2

1

У

1.7.

а)

lim

x2 3x 2

.

б)

lim

x 1 3

x 1 3

.

x 2

x

1

x

x 1 2 x 1 2

2

Н

1 cos8x

3x

2x

2 Т

в)

lim

.

г)

lim

.

1 cos4x

x 0

x

3x

2

2x2 9x 4

й

2x4

3x2 1

1.8.

а)

lim

2

.

б)

lim

6

3

.

x 4

x x 20

x Б

3

x2ctg2x

и

1/ x

в)

lim

.

г)

lim 1

2x

.

sin 2x

x 0

о

x 0

x2

2x4 5x2 3

7x 10

1.9.

а)

lim

т

.

б)

lim

.

6x3

x 2 2x2

9x 10

р

x 4x6

3

1 cos6x

2x

1

х

в)

lim

.

г)

lim

.

1 cos2x

x 0

x

2x

1

2

2

4x

5

1.10. а)

lim

x иx 2

.

б)

lim

4 5x

.

2

5

2x

x 1

x

8 6x x

е

x з1

оx

2

x 1 2x 1

в)

lim

.

г)

lim

.

2 x

x 0

x

x

2

Р

п sin

3

1.11. а)

lim

3x2 x 10

.

б)

lim

4x5

2x4 3

.

x3 x

x 2

6

x 2x6

3x2

1

117

в)

lim	cos x cos3x
				2
x 0	1		1 x

.

г)

	a	2x	1
lim
		x
x 0

.

20 x x

2

5x

2

3x

1

1.12. а)

lim

.

б)

lim

.

2

11x 20

3

x

5

x 5 3x

x

3x

У

1 cos8x

e3x

1

в)

lim

.

г)

lim

.

Т

x 0 2x tg4x

x 0

x

2

5

2

Н

1.13. а)

lim

4x

5x 21

.

б)

lim

11x

5x

1

.

x 3 2x2 3x 9

x 24x4 4x 7

в) lim x sin xctg3x .

г)

lim (1 3tg2 x)ctg2 x .

x 0

x 0

3x2

7x 2

7x6

5x5 x3 5

1.14. а)

lim

.

б)

lim

Б

.

x 2 2x2 5x 2

и

3x4 4x3 1

x

1 cos4x

sin 2x

e

sin x

йe

в)

lim

.

г)

lim

.

x 0 3x sin 2x

о

x 0

x

x2

т

р

2 3x 5x2

2x

15

1.15. а)

lim

. б)

lim

.

и

x 1 4x 2x2

x 5 2x2

7x

15

з

в)

lim

sin3 2x

.

г)

lim x 2 ln 2x 1 ln 2x 1 .

о

3

x

x 0

x

1.16. а)

lim

x3 x2 2x

.

б)

lim

2 x 3x2

.

x 1 x2 2x

1

x 1 3x 6x3

Р

в)

lim

1 cos3x

.

г)

lim 2x 3 ln x 2 ln x 1 .

пx 0

x2

x

е

2x2 x 3

2x3

x2 5

1.17. а)

lim

.

б)

lim

.

x 1 3x2

2x 1

x x2

x

2

в)

lim

1 cos4x

.

г)

lim x ln x a ln x .

x 0

2x tg2x

x

118

1.18.а)

в)

	x	2	x 2
lim						.
				3	1
x 1		x
lim	cos3x cos x
		cos x 1
x 0

. г)

			x	4	3
б)	lim
					2
	x 2x
lim		x 4 ln
x

	x 5	.
	x 1
	2 3x

ln 5

3x

.

1.19. а)

lim

2x2 9x 5

.

б)

lim

x3 x

.

ln 2x У1 .

x 5 x2

4x 5

x x4 3x2 1

в)

lim

tg 2 x sin 2x

. г)

lim 2x 5 ln 2x 4

x 0

x sin 2 2x

x

Н

Т

1.20. а)

lim

5x2 9x 44

.

б)

lim

3x3

2x 1

.

x 4 2x2 5x 12

x 5x2

x

2

sin 2

x

Б

2

в)

lim

.

г)

lim x

2 ln 2x

3 ln 2x 4 .

2

x 0

x

x

2

14x

5

й3

2

1.21. а)

lim

3x

.

б)

lim

10x 3x

.

2

о

3

x 5

x

2x 15

x

100x 1

и2x

cos8x 1

рex e x

в)

lim

.

г)

lim

.

и

x 0

sin x

x 0 1 cos4x

3x2 т4x 1

x4 4x2 5

1.22. а)

lim

x2 3x

.

б)

lim

.

x 1

2

x 3x2 x 3

о

1 cosmx

1

в)

limз

.

г)

lim 1 3x x .

x 0

x2

x 0

1.23. а)

lim

x3

x 2

.

б)

lim

3x4

2x2 7

.

Р

п

3

x

2

x 1

x

9x

4

3x

5

x 1 x

ев) lim

1 cos3x

.

г)

lim 1 sin x cosecx .

x 0

2x

x 0

1.24. а)

lim

x3 x2 x 1

.

б)

lim

2x2

5x 4

.

x3

x 1

3x

2

x 5x2

2x 3

119