Булат КонспЛекцЭМПП

мое активным сопротивлением этого контура. Для этой части схемы уравнение баланса

напряжений в каждой фазе имеет вид:

	0	R 2 i			L 2			d i
								d t .
	Его решение общеизвестно
					t
	i ( t )		i0 e		T a 1
							, где
	T a 1		L 2				Х 2
			R 2					R 2 - постоянная времени.

Т.е. ток в этой части схемы будет затухать по экспоненте (Рис.32) с одной и той же постоянной времени Та1. Кроме этого, следует отметить, что: 1) начальные значения то-

ков в каждой из фаз в общем случае различны за счет фазового сдвига;

2)

начальные значения тока ни в одной из фаз не могут превышать амплитуду тока пред-

шествующего режима.

i

i 0

i (t )

t

Рис. 32

Рассмотрим протекание переходного процесса на участке слева от точки КЗ, полу-

чающем питание от источника бесконечной мощности. Мгновенные значения тока и приложенного напряжения для фазы А связаны между собой дифференциальным урав-

нением:

51

	U a ( t ) ia R 1 L 1	d ia	M	d ib	M	d ic
		d t		d t		d t	(24.1)

Имея ввиду, что

ia ib ic 0

и

ia

( ib

ic )

Уравнение (24.1) можно представить как

U a ( t )	ia	R 1 L 1	d ia			M	d ia
				d t			d t
или
U a ( t )	ia	R 1 L К		d ia
				d t
где

(24.2)

(24.3)

L k	L1 M - результирующая индуктивность фазы.
Общее решение уравнения (24.3) запишем:
i ( t )	in ( t ) ia ( t ) ,
	где in(t) – вынужденная (периодическая) составляющая тока

КЗ;

ia(t) – апериодическая (свободная) составляющая тока КЗ.

in ( t )	I m n s i n ( t			К ) ,
здесь
I m n	U m
	Z К
Z К		R 2 К Х 2 К		R К R 1

К - угол сдвига между током и напряжением фазы при КЗ.

	a r c t g		X К
К			R К
					R К t
i( a ) ( t )		ia 0 e			L	К

52

тогда

			R К t
i ( t )	I m n s i n ( t	К ) ia 0 e	L	К

(24.4)

Первый член этого выражения представляет собой периодическую слагающую то-

ка КЗ, которая при рассматриваемых условиях (Um=const) по амплитуде остается неиз-

менной и является вынужденным током нового режима.

Обозначив

получим

	T a	L К
		R К	,	тогда

			t
i ( t )	I m n s i n ( t	К ) ia 0 e	T a

(24.5)

Начальное значение апериодической составляющей iao определяется из закона инерции магнитного потока. В начальный момент КЗ сумма вынужденного и свободно-

го токов равна току, который был в фазе в момент возникновения КЗ при t=0, т.е

i0

in 0

ia 0

Отсюда имеем:

ia 0

i0

in 0

где i0 – ток нарушения режима при (t=-0), а ino – ток в момент нарушения режима при (t=+0)

или

ia 0 I m н s i n ( н ) I m n s i n ( К )

Исследуя это выражение на экстремум по переменным		,		,	получим, что
			Н	К
максимум апериодической составляющей:
ia 0	I m n
	53

при

	0	и	К	9 0 0
	Максимальное начальное значение апериодической составляющей тока КЗ называ-
	ется сверхпереходным током и обозначается I"m
	Тогда полный ток КЗ будет
								t
	i ( t )	I m n s i n ( t			К ) I m n	s i n (	) e	T a
								(24.6)
						К

Изменение во времени полного тока КЗ и его составляющих показано на Рис.33.

Рис.33

Наибольшего значения полный ток КЗ достигает при наибольших значениях его составляющих.

Полный ток КЗ несимметричен относительно оси времени. Наличие апериодической составляющей тока искажает форму полного тока КЗ и делает ее несимметричной относительно оси времени.

Максимальное мгновенное значение полного тока КЗ (пик тока) называется ударным током КЗ (iу). Он наступает приблизительно через полпериода, что при частоте 50 Гц составляет 0,01с с момента КЗ. В соответствии с общим выражением для ударного тока КЗ имеем:

0 , 0 1 0 , 0 1

i

у

I

m n

I

m n

e

T a

I

m n

(1 e

T a )

k

у

I

m n

где

54

		0 , 0 1		i у
k	у 1 e	T a
				I m n

называют ударным коэффициентом. Ударный коэффициент kу показывает превышение величины ударного тока над амплитудой периодической составляющей .

Поскольку Та может изменятся от Та=0 (Lk=0) до Та=∞ (Rk=0), то величина ударного коэффициента находится в пределах 1≤ kу≤ 2

i у

I m n k у

2 I n/ /

k у

/ /

Где I n n – действующее значение периодической составляющей сверхпере-

ходного тока КЗ

25.Действующее значение тока КЗ.

Для синусоидального тока справедливо:

I m	2 I	, где I – действующее значение синусоидального тока.

Действующее значение полного тока КЗ в произвольный момент переходного процесса определяется как среднеквадратичное значение тока отнесенное к середине рассматриваемого периода.

I t

1

T

где

t T / 2
i 2 ( t ) d t	I 2 n t	I a2t

t T / 2	,

					0 , 0 1
I a t		I m n e			T a
						.
Наибольшее действующее значение полного тока КЗ Iу имеет место за первый пе-
риод переходного процесса.
									0 , 0 1													0 , 0 1
														I m n
I			I	2	( I			e	T a	)	2	(					)	2	( I		e	T a	)	2
	у			n t		m n														m n
												2
												55

I 2 m n						I m n
		2			2								2	/ /				2
	I	m n	( k у	1)					1 2 ( k		у	1)		I n	1 2 ( k		у 1)
2
						2

						I у
Согласно указанным ранее пределам изменения kу , величина отношения						"	нахо-
						I п
		I у
дится в пределах	1		3
		"
		I n

26.Внезапное трехфазное КЗ цепи с трансформатором.

При отсутствии насыщения в стали магнитопровода трансформатора, исследование его режима при возникновении КЗ значительно упрощается, т.к. между токами и напряжением сохраняются линейные зависимости и они между собой связаны линейными дифференциальными уравнениями (ДУ) с постоянными коэффициентами.

Допустим, что на выводах вторичной обмотки трансформатора, к первичной обмотке которого подключен источник неограниченной мощности, произошло 3-х фазное КЗ (Рис.34)

Рис.34

56

Считая, что все параметры и величины одной обмотки приведены к другой обмо т- ке и учитывая положительное направление для токов, можно записать следующие уравнения баланса напряжений:

U

i 1 r 1

L1

d i1

M

d i

2

d t

d t

; (26.1)

0

i 2 r2

L

d i 2

M

d i

1

2

d t

d t

, (26.2)

где

L1, L2 и r1,r2 – индуктивности и активные сопротивления первичной и вторичной обмоток трансформатора; М – взаимная индуктивность между обмотками, символ “°” над i2 означает, что ток i2 приведен к току i1

Если пренебречь токами намагничивания и положить, что

					i1=i2=i (26.3),
то сложив (26.1) и (26.2) и исключая i2 получим:
U	i rK	L K		d i
				d t	, (26.4)
где
rK	r 1	r 2	- активное сопротивление трансформатора
L K	L 1	L 2			2 M
					- индуктивность рассеяния трансформатора ( обусловлена

потоками рассеяния трансформатора).

Уравнение (26.4) аналогично уравнению неустановившегося процесса КЗ в простейшей электрической цепи. Следовательно при рассматриваемых условиях свободный ток в обеих обмотках трансформатора затухает с одинаковой постоянной времени Та=LK/rK.

Эта величина может быть получена из схемы замещения трансформатора. Полагая в ней реактивность ветви намагничивающего тока Хµ=∞.

57

Т.о., при исследовании процесса КЗ в схеме , содержащей трансформаторы, каждый трансформатор практически можно рассматривать как обычный элемент схемы со своими L и R цепи, после приведения заданной схемы к одной ступени напряжения.

27.Переходный процесс при включении трансформатора на холостой ход

Рассмотрим переходной процесс, возникающий при включении трансформатора на синусоидальное напряжение постоянной амплитуды и неизменной частоты (Рис.35)

µ

Рис.35

Запишем дифференциальное уравнение баланса напряжений:

		d i
	U ( t ) i R 1 L 1( i )		(27.1)
		d t

где iµ- ток намагничивания трансформатора Уравнение нелинейно, т.к. присутствует L1(iµ).

Будем исходить из того, что максимум тока наступает, когда подведенное напряжение проходит через 0. Для упрощения решения данного уравнения рассмотрим вклю-

чение трансформатора без потерь на х.х. (R1=0), тогда условие равновесия напряжений, после включения может быть описано следующим дифференциальным уравнением:

	U ( t )	W	d Ф	(27.2)
			d t
	или
	U m s i n	t	W		d Ф		(27.3)
					d t
	U m s i n	t d t		W d Ф			(27.4)

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

58

U m	c o s t
		W Ф ( t ) C (27.5) ,

где С – постоянная интегрирования, для определения которой рассмотрим момент

коммутации t =0. Тогда Ф(0)=0

и

С=-Um/ω (27.6)

Подставим (27.6) в (27.5) и решим это уравнение относительно потока

Ф ( t )		U m				U m		c o s t		(27.7)
		W
							W
или
Ф ( t )		U m	(1				c o s		t )	Ф m (1 c o s t ) (27.8)
		W
Для трансформатора с учетом потерь
					t
Ф ( t )	Ф m ( e						c o s		t )	, (27.9)
где
L1 / R1			- постоянная времени цепи трансформатора.

Решение ДУ можно получить графическим методом. Зная Ф f ( i ) - кривую намагничивания магнитопровода трансформатора и закон изменения Ф(t), графическим

путем, как показано на (Рис.36), можно получить зависимость i f ( t )

59

Ф ( iµ	)
iµ
	Ф ( iµ )
	iµ (t)

Рис.36 При включении трансформатора на х.х. через первые полпериода (0,01 с) возникает

ударный магнитный поток, который может превышать периодическую составляющую потока в 2 и более раз. Для его создания в момент включения трансформатора возникает бросок тока намагничивания, величина которого соизмерима с величиной тока КЗ, при КЗ за трансформатором. Т.е. он может превышать номинальный ток трансформато-

ра в 8-10 раз.

В силу своей кратковременности он не вызывает опасных температурных явлений, однако его величина может быть достаточной для срабатывания устройств релейной защиты, которые не различают этот нормальный режим с режимом КЗ и будут отключать трансформатор. Разложив кривую iµ(t) в ряд Фурье, можно увидеть, что 2-я гармо-

ника составляет порядка 60%, в то время как в токе КЗ – не менее 30%. Данное различие и учитывается при проектировании устройств релейной защиты.

28.Переходный процесс при внезапном КЗ в подвижных магнитосвязанных цепях

Когда известен магнитный поток, то фактически нам известна и ЭДС, наводимая этим потоком в данной обмотке. В тех случаях, когда рассматриваемый поток является функцией искомого тока, обусловленная им ЭДС обычно учитывается как равная и пр о-

60