М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч

параболы имеет координаты (2,5; 0), то, воспользовавшись уравнением у2= 2р(х — *0), получим

Ю (х~2,5)=10х-25.

б) Запишем уравнение параболы в общем виде: х2=

= 2ру. Точка Af(6, —2) удовлетворяет уравнению пара­ болы, т. е. 36 = 2р*( —2)= —4р, р = —9. Тогда искомое уравнение х2 = — 18у.

Задачи для самостоятельного решения

1.284. Записать уравнение окружности, если концы одного из ее диаметров имеют координаты (3, 9) и (7, 3). (Ответ: {х — 5) -f (у — 6)2= 13.)

1.285. Записать уравнение окружности, проходящей

через три данные точки:

1)/И,(9,3), Afs(- 3 , 3), М3(П , 1);

2)М,(4,5),Л12(- 4 , -1), Мз(0, 1);

3)М,(1,4),М2( - 7, 4), Мз(2, -5).

(Ответ: 1) (дс — З)2+ (у + 5)2= 100; 2) (ж+ 9f + {y — - I4)2 = 250; 3) (x + 3/+ {t/+ 1)*— 41.)

1.286. Составить уравнение окружности, имеющей центр в точке 0(2, 3) и касающейся прямой х — 2у + 1= 0.

(Ответ: (х - 2)2+ (у — 3/ = 9/5.)

1.287. Составить уравнение окружности, касающейся

150

прямой х — 7у +10 = 0 в точке N(4, 2), если известно, что ее центр лежит на прямой 2х-\-у = 0. (Ответ: (х — 6)2+

+ (У + 12)2 = 200.)

1.288. Найти точки пересечения прямой у = х + 2 и

окружности х2+ у2— 4х — 12 = 0. (Ответ: (2, 4), ( —2, 0).) 1.289. Привести к каноническому виду уравнение

окружности:

1)х* + у2 — 2* + 4у = 0;

2)3*2 + Зу2- 2 * + 7у + 1=0.

(Ответ: I) (x - \ f + (y + 2f = 5; 2) (* - 1/З)2 + (у +

+ 7/6)* — 41/36.)

1.290. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что:

1)большая ось равна 10,-а расстояние между фоку­

сами 2с =8;

2)малая полуось равна 6, эксцентриситет е = 0,8;

3)расстояние между фокусами 2с = 6, эксцентриси­ тет е = 3/5;

4)сумма полуосей равна 10, расстояние между фоку­

сами равно 4д/б.

(Ответ: 1)	*?/25 + у79= 1;	2)	х2/100 + у2/36 = I ;
3) х2/100+ у2/64 = 1; 4) *736 + y7 l6 = I.)
1.291. Дан эллипс 9х2+ 25у2 = 225. Найти: 1) его
полуоси; 2)	фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения
директрис. (Ответ: I) а = 5, 6= 3; 2)			F |(4, 0), F2( —4, 0);
3) <? = 4/5; 4) * = ±25/4.)
1.292. Определить эксцентриситет эллипса, если рас­
стояние между его фокусами		равно расстоянию между

вершинами большой и малой полуосей. (Ответ: е = -у/ОЛ.)

1.293. Определить эксцентриситет эллипса, если извест­ но, что:

1)его большая ось втрое больше малой;

2)его оси относятся как 5:3. (Ответ: 1)

2) 0,8.)

1.294. Составить уравнение эллипса, фокусы которого

лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат, если:

1)большая ось равна 10, а расстояние между фоку­

сами 2с = 8;

2)малая ось равна 16, а эксцентриситет е = 3/5.

(Ответ: 1) х2/9 + у2/25 = 1; 2) х2/25 + у2/ 16 — 1.)

151

1.295. Оси эллипса совпадают с осями координат. Эллипс проходит через точки M t(2, 2), ЛЬ(3, 1). Составить

уравнение эллипса. (Ответ: Зх2+ 5tf = 32.)

1.296. Эллипс касается оси абсцисс в точке (8, 0) и оси ординат в точке (0, —5). Записать уравнение эллипса, если известно, что его оси параллельны осям координат. (Ответ: (х — 8)2/64 {у + 5)2/25 = 1.)

1.297. Эллипс пересекает ось абсцисс в точках (5, 0) и (И , 0) и касается оси ординат в точке (0, 5). Составить уравнение эллипса, если его оси параллельны осям ко­

ординат. ( Ответ:

= 1

1.298. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны:

1)точка М\{2, —2) эллипса и его большая полуось

о= 4;

2)точки Л]|(4, —-\/з) и М2{2л]2, 3) эллипса;

3) точка M i( — -yjb, 2) эллипса	н расстояние между
его директрисами, равное 10.
(Ответ: 1) *716-1-0716/3= 1;	2) jc*/20 + у2/ 1б -= 1;
3) х2/15+ У/6= 1.)

1.299. Составить каноническое уравнение гиперболы,

фокусы коФорой расположены на оси абсцисс симметрич­

но'относительно начала координат, если:

1)расстояние между фокусами 2с = 14 и ось 2а = 12;

2)расстояние между фокусами 2с = 6 и эксцентри­

ситет е = 3/2;

3) расстояние между фокусами 2с =20 и уравнения

4х

асимптот у = ± -у;

4) расстояние между директрисами равно 32/5 и ось

2Ь = 6.

(Ответ: 1) *7 3 6 - t/7 l3 = l; 2) хг/4 ~ у2/5= 1; 3) *7 3 6 -

— у2/64=1; 4) *716 —079=1.)

1.300. Составить каноническое уравнение гиперболы, если:

1) действительная ось равна 48 и эксцентриситет

е= 13/12;

2)действительная ось равна 16 и угол ф между асимп­

тотой и осью абсцисс удовлетворяет условию tg ф = 3/4.

(Ответ: 1) *7576 — у2/ 100 = I;	2) *2/64 - //36 = 1-)
1.301. Составить уравнение	гиперболы, проходящей

152

через точку /И(24, 5), если уравнения ее асимптот г/=х

± ±х. (Ответ: **/432-^/75 = I.)

1.302. Составить уравнение гиперболы, если:

1) гипербола проходит через		точку М(10, —Зд/З),
асимптоты заданы уравнениями		± D
2) расстояние между фокусами равно 10, асимптоты
заданы уравнениями	± ~х.
(Ответ: I) к2/2Ь — у2/9 = I ; 2)		х2/20 — у'/Ъ — 1.)

1.303. Составить уравнение гиперболы, фокусы кото­

рой лежат на оси абсцисс, если даны:

1) точки М ]( —8, 2д/2) и Л*2(6, — 1) гиперболы; .

2)точки М | (9/2, — 1) гиперболы и уравнения асимптот

3)точка Afг{ —3, 5/2) гиперболы и уравнения директ­ рис х = ±4/3.

/ Ответ: 1)	32	8	= ] ■ 2)		— — -^1 = I ;		3)	---
Г			’	'	18	8	7	61/9
=	1 или S	L	- J L .	=	l \
305/16		4	5	/

1.304. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллип­ са дг2/25 -Ьу1/9 = 1. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет е = 2. (Ответ: х~/А — у2/\2 = I .)

1.305. Составить уравнение гиперболы, фокусы кото­

рой лежат в вершинах эллипса х*/100 + у2/64 = 1, а директрисы проходят через фокусы этого эллипса. (Ответ: л -/60— у2/40= 1.)

1.306. Составить уравнение параболы, вершина кото­

рой находится в начале координат, зная, что:

1) парабола симметрично расположена относительно оси Ох и проходит через точку А( —2, 4);

2) парабола симметрично расположена относительно

оси Otf и проходит через точку в(3, —9). (Ответ: 1) у2=

= —8х; 2) у — ~ х 2.)

1.307. На параболе у1= 16* найти точки, фокальный радиус-вектор которых равен 13. (Ответ: (9, 12), (9, — 12).)

1.308. Арка моста имеет форму параболы. Определить

параметр этой параболы, зная, что пролет арки равен 24 м, а высота 6 м. (Ответ: 12.)

1.309. Составить уравнение параболы, если даны ее

153

фокус F(7, 0) и уравнение директрисы х — 7 = 0. {Ответ:

у2= —28лс.)

1.310. Составить уравнение параболы, если известно, что:

1)координаты фокуса (3, 0), директриса служит осью ординат, а ось симметрии — осью абсцисс;

2)координаты фокуса (0, 4), директриса служит осью абсцисс, а ось симметрии — осью ординат.

(Ответ:	1) у2 = 6* — 9; 2) х'* = 8у — 16.)
1.311. Привести к каноническому виду уравнение па­
раболы:		\2у + 14.
1) у = 4*2-8х + 7; 2) х = 2у2-
(Ответ:	1) (* - 1 )2= | (у - 3 ); 2)	(у - З)2= ± (х + 4).)

1.17. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

ОБЩИХ УРАВНЕНИЙ КРИ ВЫ Х

ВТОРОГО ПОРЯДКА

Если перейти от системы координат Оху к новой системе О'х'у', приняв за начало координат точку О'(а, Ь) (рис, 1.56) и сохранив преж­ нее направление осей координат, то связь между старыми и новыми координатами выразится формулами:

х= х	х' = х — а,	}
У = У	уГ’шу-Ь.

Такое преобразование координат называется параллельным пере­ носом.

При повороте осей координат на угол а. (начало координат — преж­ нее, причем угол а отсчитывается против хода часовой стрелки) (рис. 1.57)

	У У	мм(м(к',>/))
		м м ( м ( ': 4

о а	х
Ри с. 1.56	Ри с. 1.57

154

зависимость между старыми координатами х, у и новыми х', у’ опреде­ ляется следующими формулами:

х = х’ cos а — у’ sin а, 1 у = х' sin a у' cos a ,j

х' = х cos а-+ у sin а, > #' = —дг sin а + у cos а. j

Уравнение вида

Ах? + Су3 + 2D* + 2Еу + F = 0,

(1.18)

не содержащее члена ху с произведением координат, называется пяти­ членным уравнением кривой второго порядка. Это уравнение определяет на плоскости эллипс, окружность, гиперболу или параболу (с возмож­ ными случаями распада и вырождения эткх кривых) с осями симметрии, параллельными осям координат, в зависимости от знака произведения коэффициентов А и С. Рассмотрим следующие случаи.

1.Пусть /1C5» 0. Тогда уравнение (1.18) определяет эллипс (дейст­ вительный, мнимый или выродившийся в точку); при А = С имеем окружность.

2.Пусть А С < 0 . В этом случае уравнение (1.18) определяет ги­ перболу, которая может выродиться в две пересекающиеся прямые,

если левая часть уравнения распадается на произведение двух линейных множителей.

3. Пусть АС = 0 (т, е, либо ,4 = 0, С=^0, либо С = 0, ,4=^0). Тогда уравнение (1.18) определяет параболу, которая может вырождать­ ся в две параллельные прямые (различные, совпадающие между собой или мнимые), если левая часть уравнения не содержит либо д\ либо у, т. е. уравнение имеет вид

Ах2 + 2Dx + F = 0 нлн Су1+ 2Еу + F = 0.

Записав пятичленное уравнение в форме

А(х - дс0)2+ C {g ~ уо? = /,

можно определить вид кривой и расположение ее на плоскости. Уравнение

Ах1 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = 0 (В Ф 0)

(1.19)

называется общим уравнением кривой второго порядка.

Применив к уравнению (1.19) формулы поворота осей координат:

х= х' cos а — у’ sin аД

у— х' sin а + у’ cos а,/

при надлежащем выборе а можно освободиться в уравнении от члена с произведением координат. (Дальнейшие преобразования рассмотрены выше.)

Примеры

1.Установить, какая кривая определяется данным Уравнением:

а) 16х2-(-25г/2~32лг+50«/-359 = 0; б) х2— у2— 6х -f 10 =s0.

155

Решение, а) I способ. Применив формулы парал­ лельного переноса х = х' + а, у = у' + Ь, преобразуем левую часть исходного уравнения:

16(ЛГ'.+ a f + 25Q/' + bf - 32(дс' + а) +

+ 50(у' + ft) — 359 = О,

16*'s + 25у'2+ *432а -	32) + y'(50ft + 50) ~
- 359 + 25ft2+ 16а2	- 32а + 50ft = 0.

Приравнивая нулю коэффициенты при х' и у', получаем:

32а — 32 = 0. а = 1; 50ft + 50 = 0, ft = — I .

Следовательно, 0'( 1, — 1) — начало новой системы

координат. С помощью параллельного переноса х = х' + I , у = у' — 1 приведем исходное уравнение к каноническому виду

16*'’ + 25у'2- 359 + 25 + 16 - 32 - 50 = 0

или 16лг'2+ 25у'! = 400.

Окончательно, разделив на 400 обе части полученного уравнения, имеем

*"/25 + У'2/16 = 1

или в старой системе координат

(х — 1)2/52+ (у + 1)2/42 = I .

Таким образом, получили уравнение эллипса с центром

в точке 0'(1, — 1), большая полуось которого а = 5, а

малая полуось 6= 4 (рис. 1.58).

// способ. Дополнив члены, содержащие х, и члены, содержащие у, до полных квадратов, получим

16((лса- 2 х + 1)- l) + 25((y2+ 2y + I) - I) = 359

или

16(лс— I)2- 16 + 25(0+ I)2- 25 =359,

откуда

Щ х ~ I)2+ 25(у + I)2= 400.

Разделив на 400 обе части последнего уравнения, по­ лучим каноническое уравнение эллипса

(х — lf/52 + (у + 1)2/42= 1.

б) Применив метод выделения полного квадрата, имеем:

(х - З)2 - 9 - у2+ 10 = 0, (х - З)2- у 2 = -1

156

Р и с. 1.59

или у2— (x — 3f =\. Это уравнение гиперболы с центром

вточке 0 '(3, 0) (рис. 1.59).

2.Привести к каноническому виду уравнение линии 4Х2 + 4х + 2у — 1= 0 и построить ее.

Ре ш е н и е. Применив формулы параллельного пере­ носа х = х' + а, у=^у'-\-Ь, имеем:

4(х' + af + 4{x' + а )+ 2 {у '+ Ь )- I «=0,

4х'* + х'(8а + 4} + 2у'* + 26 — 1-+ 4а + 4а2= 0.

Найдем такие значения а и Ь, при которых коэффициент при х' и свободный член обратятся в нуль. Получим си­

стему

8а + 4 = 0, )

2Ь — 1+ 4а + 4а2= 0J

эквивалентную системе

а = — i/2, ) 2b— 1— 2 + I =0,/

откуда о = — 1/2, 6=1. Таким образом, 0 '{— 1/2, I) — начало новой системы координат, в которой уравнение

кривой примет вид 4х'‘ + 2у' = 0. Отсюда у' = —2х'’ или,

встарой системе координат,

у— 1= —2{х-\- \/2f.

Это уравнение параболы с вершиной в точке 0'( — 1/2, 0).

3.Привести к каноническому виду уравнение х +

+Ь*У + У2+ 6* + 2у — 1— 0.

157

Решение. Выразив х и у из формул поворота осей координат и подставив их в данное уравнение, имеем

(.х' cos а — у' sin а)2 + 6(х' cos а — у' sin а) [х’ sin а +

-j- у' cos а) + (х' sin а + у' cos а)2+ 6(*' cos а —

— у' sin ос) 4-2(х’ sin а + у' cos а) — 1= О,

откуда

(cos2а 4-6cos а sin а + sin2 а )*'1+ + (sin2а — б sin а cos а -j- cos2a)iС +

-|- ( —2cos а sin а — б sin2 а -j- б cos2 а + + 2sin a cos а)х'у' + дг'(2 sin а + 6cos а) +

-f- у' (2 cos а — 6 sin а) — 1=0.

Приравнивая нулю коэффициент при х'у', получаем

уравнение cos2а — sin2а = 0, cos 2а — 0, откуда а = 45°,

и уравнение преобразуется к	виду
( , + 6 . i.) , ' • + ( ! - 6 . ^ у	+ ^ - Л , , ' - 1 = 0

или
4*'! - 2 у 'г + J - x ' -	* у ' - I = 0.
\2	у2

Применив далее метод выделения полного квадрата, получаем:

4((х' + 1/д/2)2 - 1/2) - 2((у' + 1Д/2)2 - 1/2) - 1= 0, 4(х'+1/д/2)2- 2 - 2 (уГ+ 1 /д £ )2+ 1 - | =0,

4(х' + I /л/2)2- 2(у' + 1/д/2)2= 2,

(*'+ 1 л £ >	_ (у '+ 1/л^>
1/2	I
Приняв за начало	новой системы координат точку

0'(-1/д/2, -1/д/2), с помощью формул параллельного

переноса х" = дс' -(- I/д/2, у" = у' + I /д/2 получим урав­ нение гиперболы

- X L = x

(1/V2г 1?

которая изображена на рис. 1.60.

158

Рис, 1.60

4. Привести к каноническому виду уравнение кривой х2-j- 2ху-{- г/2— 8jc + 4 = 0.

Решение. Преобразуем данное уравнение, восполь­

зовавшись формулами поворота осей координат. Имеем

(х’ cos а — у' sin а)2+ 2(х' cos а —у' sin о) (х‘ sin а +

4-у' cos а) ■+-(х' sin а + у' cos a f —

— 8(*' cos а — у' sin а) -}- 4 = 0,

откуда

*"(cos2 а -j- 2cos a sin а + sin2a) -f- x'y'(2 cosJ « —

—2 sin2a) -j- у "0 — 2 sin a cos a) —

—8дс' cos a + 8y‘ sin a + 4 = 0.

Приравнивая нулю коэффициент при х'у\ получаем cos2 a — sin2a — 0, cos 2a =*0, откуда a = л/4, и уравне­

ние принимает вид

2*'’ -	*	+ J L	~j- 4 =	0.
У ?		V2
Применяем метод	выделения		полного	квадрата:

159