М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч

2 - Н а й т " u - t)h .+2>S d x '

Реш ение. Знаменатель подынтегрального выражения имеет лишь действительные корни: 1 и —2, причем пер­ вый корень— кратный, а второй— простой. Тогда множи­ телю (х— I)2соответствует сумма двух простейших дробей

А	В
	-|-- ——, а множителю х+ 2 — простейшая дробь
х+ 2 . Таким образом,		имеем
	З х 2 + 2 х — \	А	.	В	С
	(* - 1 )2(аг+ 2)	( * - i ) 2	*	*-_ 1	* + 2 '

Освободимся от знаменателей:

Зле2+ 2х— 1=Л (х + 2) + В{х + 2) (х - 1) + С (х - I)2.

Действительными корнями знаменателя являются числа I и —2. Полагая х=1, получаем: 4 = ЗЛ, А = 3/4. При х= —2 имеем: 7= 9С, С = 7/9.

Приравнивая коэффициенты при старшей степени х, т. е. при х2, находим: 5 + С = 3, В = 3 — С = 3 — 7/9 =

= 20/9. Следовательно,					разложение				данной	дроби на
простейшие имеет вид
3** + 2х — 1______________________________ 3/4										20/97/9
(jc —	!)? (*	+ 2 )		( х —		\ f '	х —	1	' х + 2 '
Тогда
f 3^ + 2 t - l					,	З Г		dx
\ ( x - \ f ( * + 2) а Х ~ 4									+
, 20	f	dx	i	7	f	dx	_		3
9	]	дг- l	+	9	]	х + 2			4(ж— 1)	‘

707

+- f In (X - 1 I+ -i-Jn |x+21+C.

3. Найти t -dx

) x3— i ‘

Реш ение. Разложим знаменатель на множители:

X3-1 = (X -1)(X2+ X+1).

Данный многочлен имеет три корня: один — простой действительный и два простых комплексных. Тогда

330

x - \

<JC_1) (JC2-^JC-Ь 1)

__

A

Bx-\-C

x

- \

^

x? +

x + l

'

Освобождаемся

от

знаменателей:

x = A (x2

x

1)-f- (Bx -|- C) {x — 1).

Действительным

корнем

знаменателя

является

число*

1. При

х= 1 имеем: 1= ЗА,А =

1/3.

Сравнивая коэффициенты при х2, х, получаем: А -{-

+ В= 0, А-\-С—В = 1, откуда В = — 1/3, С= 1/3, т. е.

<

_

V 3

_

(1 /3 ) (дг — I)

Тогда

х г - \

х - 1

**+ *+ 1

'

Г

xdx

J

f __d*

1 f

* ~ 1

J

*3 -

I

“

3

)

x -

1 “

3

3 x1+ X+ 1 dx =

= T

In Iх -

11-

J

T 1" I * - 1, _

1 С (2* + I) — 3 .

I

, |

11

I f

2*+l

, ,

6

J

** + * + 1

d x ~~ 3

ln I x

6 J j r ! - M + l

'*”

■(TTWTsTT = I

1ln|jf-

11-

J

In !■*2+ x + 11+

. 1

2

,

x + l/ 2

.

„

7

~ ^

g~ jf y T +

=■~ In 1jc— 11— -i-ln U 2+ x+ i| -+■

■

1

а

|—1

. ~

+ ^

arctg-^y-+ C .

4.

Найти

{ —

— dx.

J

/ +б/ +8

Реш ение. Разложим знаменатель на множители:

лс4+ 6*?+ 8 = (х?+ 2)(дс2+ 4).

Данный многочлен имеет две пары комплексно-сопряжен­ ных простых корней. Тогда

х 3 — 6	/ — 6
х*+ 6з? + 6	(х2 + 2)(л2 + 4)
А х+ В	Cx+D
/ + 2	х? + 4 ‘

331

Освободившись от знаменателей, имеем

х3—6= (Ах + В ) (*г+4) + (С* + Я ) (/ + 2).

Отсюда, приведя подобные члены, находим

*3- 6 = (А +С)х3+ (B + D)x2+ (4A+2C)x + 4B + 2D.

х,	Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
	получаем		систему уравнений
	A + C = l,		B + D = О, 4Л + 2С= 0, 4B+2D= -6,
решение которой: А — — I, С — 2, В = —3, D = 3. Тогда
			х3— 6________ х+З				2*+3
			х4 + 6«2+8 ~		х2+2		*2+4		'
	Следовательно,
	f	*	6—	dx= — t *2+3 dx+ (				ха+4	dx=
	J	х + 6х +8			3 х + 2		J
		_	1	f 2xdx	, f	dx	, (	2xdx	!
		- _ у 3 ^ ^ 2			J 7 + 2 "+ J 7 T T +
	+ 3 S -7 ^			= “ ^ 10 |/+21 “			" 7 * arctg1 * +
			+ ln \X 2 + 4\ + у			arctg у		+ C.
	5 Найти ^--- ——----
		J (1 +x)(l +**f •
то	Решение. Так как х2+ 1— двукратный множитель,
	имеем				_	.	В х + С .
				2х
		(i+ *)0 + *y			— i+*		i+ 7
				.	D x + E
				+	<1+*V*

Освободившись от знаменателей, получим равенство

2х= А (1 + дс2)2+ (Вх+ С) (1 + х) (1 + **) + + (£>*+£) (1+*).

Полагая в нем х— — 1, имеем: —2—4/4, А — — 1/2. При­ ведем подобные члены:

2х=(А + В)х* + (В + С)х*+(2А + В + С+ 0)з? +

332

+ (B + C + D + E)x + A + C+ E.

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, по­ лучим систему уравнений

А + В = О, В + С = 0, 2A+ B + C + D = 0,

B + C + D + E = 2, А + С + Е = О,

из которой найдем: В = 1/2, С— — 1/2, £ = —Л — С= 1,

D = —2 А ~ В — С= I — 1/2-j- 1/2= I.			Следовательно,
2*	-1/2	. х/2-1/2 .
.2,2 —	1х,	I	**+1	г
(1+*)(1+/)2	1+*

,*+1

+ <*4i)2-

Тогда

Г	2xdx______________f	dx
J	( l + x ) ( l + / ) 2 2 ) 1+■*	+

+	J f ± d x + [ ^ ± l ^ dx=
2 J	/ + |} ( / + !)
y in l l - M	+ y i n	\x?+\\ — -j-arctg x—
	I	. r	dx
2{/ + t)		+ S	..2,2 1
			(!+/)

Для нахождения последнего интеграла применим ре­

куррентную формулу

[			х			г	2л— 3 ,
п~	2а2(п-\)(лг+с?)					^	2(n—I)а2
Для случая	п= 2, а= 1 имеем
	,		X	.	1	(	dx
	h ~		—--- 5- + у			3
			2 ( 1 + / )		2 J I + /
				+ v		arctg х,
			2(1+Х2)		2
Окончательно			получаем
2xdx		j ~2 ~ у		In 11+ *Ц-				ln \Х*+ 1I
(I+*)(!+/)
2(/ + l)			2(1+/)				2
	+ -j-in (jc2fl)+					* ~ ‘д		+C.
	4				2(1+/)

* Ч f *4+ 3 * 3+ 3 * 2- 5	, , dx.
6. Найти \ —з—- 2 ,
J х + Ъх -f- Здг	1

Реш ение. Выделим целую часть данной неправиль­ ной рациональной дроби, разделив ее числитель на знаме­

натель по правилу деления многочленов:

л4 + Здс3+Здс2— 5					|*3 + 3*2 + 3 *+ 1
~ * 4+ 3*э+ 3*2+ *					х--------------
				—	дс — 5
Тогда
		S	*4 + 3*3+ З ж2- 5
			х ^ -f- Зх2 -|- Здс		\
= К " - Т ^ Т ь Т г ) * * ” К 1 - т й т и > "=
_ i - — { U + Q + 4 , , /						Г		dx
2	J		(x+\f		2	)	(x+lf
Л	dx	_	x2	(r+l)-'				4(*+1Га ^
( ж + 1)3			2	_ ]	-		_ 2	+ C ~
	— £__ L _1__^						Q
7. Найти интеграл				f x2—*
				j у —— g-йя, не применяя метода
неопределенных		коэффициентов.
Реш ение. Подынтегральная функция является пра­

вильной рациональной дробью, поэтому можно было бы

найти интеграл, представив эту дробь в виде суммы про­

стейших дробей. Однако нахождение интеграла можно значительно упростить, если произвести замену перемен­ ной лг+1=/. Тогда х~ t — 1, dx=dt. Находим

С х2—* J .. I *+ 1= t, x= t — 1,1

Задачи	для самостоятельного			решения
В задачах 4.88—4.119 найти интеграл.
4.88. \	с	Ш+16 2dx.
J (i-1){x+2)2 -
о™**: ЗШ |		^	+ С .)
4.89. \	э	5<2~ 14---dx.
J	хл- х г - 4 х+ *
		3
0пет:	I	I+с)
4.90. \	х3 + хг + 2х+ 2 '
0твет: ^	“ 77Т5 +		arctg	+ с )

0 , в е т :	^	ln	- TW arctg	+c )
4.92. ( -37-" 2--- dx.
	J	дг—2дг+ 5JC
Ответ:	3 In		+2 arctg	+C.^

0твет: 7	Т О Г + ~f~ arc,g 7 » + C j
4.94. i	, /+- g--- dx.
J	(х Ч Ш д с Ч э )

Ответ: - i - In A r ± i + ± arctg x - ± - arctg | + C .)

4.95.

J (x— I) (•*—2)

( Ответ:----— s- 4-2 ln \x— 11+ 3 In | jc— 2| + СЛ V 2(x— 1) f

335

4.96.	J		dx
		(ж2+ 1)(*2-1) ‘
(Ответ:		In j	|--| — у arctg жЦ-С.^

4.97.\--- ------- .

} (дг— I ) ( г — 1)

{ От,ег:

+

+ | l n U + l i + C . )

4.98. 5 ^

(Ответ: у In | - ~ - | — у arctg х+ С .)

4.99. (■ ,	V й --- dx.
3 х3- / + х — \
( Ответ: -^у-— + 1п		—arctg
4.100. С/+2?+4^+4 ^
J	x4+2*r+2ir
( Ответ: у — 2х— у + 2 1 п		(дг2+ 2* + 2 ) —

- 2 arctg (*+ 1 ) + С .)

4.101. [ — - ^ 4 — dx.

(Ответ: у (9 arctg л+ In
4.,02.
(Ответ: x+	arctg	*f у	ln((x — 1f x
		‘	x V^+**M)-)
41103.ЮЗ. J\	x3-4x	dx.

(Ответ: 5 x + 2 In |xj -j-3 In U — 2|*4*4 In U + 2 | + C .)

336

4.104.	J		j?d x
		< x + 2) 2 ( x		+ 4)z'
| Ответ: — {x+2)				(Т+4Г		,n 1 (*+2) I		+*"•)
4Л05,	\
(Ответ: _	J L - - 1 - ~&~iГ + 3 ln I 7=г1							+ C )
4.106.	J			dx
		(j?~ A x + Z )(x 2+ *x+ b) ’
( Ответ:	In \x—3| — ~				In \x— 11+		ln ( JC2 +
				+ 4 * + 5) + тзо"arct2 <* +2) + C7
4.107.	3 X*-l
(Ответ: x+		In |			— у	arctgx+ C.)
4-108'	$ 7 = i£ ir * -
( < W : 5*+!n			|			+ C .)
		/+Х+1
4.109. ( -s—			ил,
	J	*(лГ+ 1)
(Oreer: ,+ ln | ^				_ |	+ C .)
4.110.	J		^ ---
		6x — 7* —3x
{ Ответ:	In |3x+ 11+ -^-ln |2x — 3| — 4* In U l + C-)
4 ' " -
(Ответ: In				+ C.^
4.112.	\	23^ +4 3 dx. .
	J *V-M>3

337

/ л		57		,				57дг4+ Ю З х2 + 32
f Ответ: -		т	arctg»---- + C J
4.113.				dx		.
	J
		JC	—4лГ+ 5л—2
Ответ:			+ ln | -j~-| + C.)
. . . .	Г		Jt2 —*+14						.
	J	(л : — 4 ) 3 <лг —				2>			*
0твет: ~		2<x-4)a			+ ^4~ +2 1ПI "?=г1
4.115. [- - ~ 2 X4 '--dx.
	J	( x - l) 2(x2 + l)
Ответ: — 2(х!_!)					+ y		ln (Jf2+ 1) + у			arctg * -f- C.)
4.116. J		Зле3 —		JC*— 4 jf+ 13					dx.
		Jtf- A x + W)
Ответ: — у			-f у		In I*2—4jc+13| + у					arctg	-f C.)
«•»»•	S		. f + j. „ I					**■
		(*+l)</+l)2
Ответ:				+ у ln U + H — у ln (^ + l ) +
| " в			2/+x +4				dx.
	[ *3 + / + 4х + 4
Ответ: In |x+l |-f у						In (x*+4) + C.)
4.119.	J		dx
		W ^ 2 x f'
Ответ: | In			| -	^	_ ^ - ^ - L _ - + C.)

4.5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

ВЫ РАЖ ЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ПОДСТАНОВОК

И ФОРМУЛ ТРИГОНОМЕТРИИ

Интегрирование тригонометрических выражений с помощью подста­ новок. Условимся через R(u, v) обозначать рациональную функцию отно­

338

сительно u, t’, т. e. выражение, которое получено из любых величин и, v с

помощью четырех арифметических	действий.
Рассмотрим интегралы вида	J R(sin х, cos jc)dx, где R — рацио­

нальная функция аргументов sin х и cos х. Такие интегралы приводятся к интегралам от рациональных функций, т. е. рационализируются с по­

мощью универсальной тригонометрической подстановки t = tg . В ре­ зультате этой подстановки имеем:

2t* f	21
i+ tg *!	1+f2’
	1- i1
i+tg*	l+ f2’	(4.5)
х=2 arctg t, dx=	2dt
	1+/2 ’
	2 dt
	t+i2	)
Универсальная подстановка /= tg —	во многих случаях приводит

к сложным вычислениям, так как при ее применении sin jc и cos х выража­

ются	через / в виде рациональных дробей, содержащих 0.
В	некоторых случаях нахождение интегралов вида Jfl(sinjt,

cos x)dx можно осуществить с помощью других подстановок. Укажем эти случаи.

1.	Если R(sinjc, c o s j c ) — четная функция относительно sin х, cos х,
т. е.	fit — sin л, —cos jc ) = fffsin х, cos jc), то интегралы ^R (sin х,

cos x)dx рационализируются подстановкой I = tg х. При этом использу­ ются формулы:

	sin2JC=		tg2 JC	4	1		(4-6)
			l + tg3/		l+ tg 2*
2.	Если /?(sin x, cos x )~ нечетная функция относительно sin x, т. e.
R (~sin x, cosjc ) = — A*(sin x,				cos*),	то интегралы ( R (sin x,		cos x)dx
рационализируются с помощь» подстановки t — cos x.
3.	Если tf(sin x, cosдс) — нечетная функция					относительно cosjc,
T . e.	R(sin дг, —cos x) = — R (sin x,				cosjc), то	интегралы	J/?(sinjc,
cosjc)dx рационализируются с помощью подстановки /=sinx.
4.	Интегралы	^R (tg x)dx приводятся к рациональному виду с по­
мощью	подстановки		/=tgx.
5.	Интегралы	^ Л (ctg x)dx приводятся к рациональному виду с по­
мощью подстановки			<=ctgx.

33S