TAU-Lektsia_2_10

Раздел изучается студентами самостоятельно

Расширение вещественной квадратичной формы до эрмитовой. Всякая вещественная квадратичная форма

G x n gik xi xk i ,k 1

может быть расширена до эрмитовой следующим образом:

n		n
G z Re gik	zi zk	Re gik	zi* zk
i ,k 1		i ,k 1

По определению эрмитова форма G(z) должна принимать те же значения, что и вещественная квадратичная форма G(x), если zi (i = 1, 2,..., n) принимают вещественные значения: zi = xi.

Например, вещественным квадратичным формам

G	x x x , G			x x2	x x x2			, G	x x	x 2x
1	1	2	2	1	1	2	2	3	1	2	1

соответствуют следующие расширенные до эрмитовых форм:

G	z Re z z		, G	z		z		2 Re z z				z	2		2 , G	z Re z	z	2	2z
1	1	2	2			1		1	2						3	1			1

31

Раздел изучается студентами самостоятельно

Если заданы два вещественных вектора x(1) и x(2), то вещественные квадратичные формы от этих двух векторов G(x(1), x(2)) определяются как вещественные квадратичные формы от векторного переменного

xx 1x 2

Если заданы два комплексных вектора z(1) и z(2), то эрмитовы формы от этих векторных переменных G(z(1), z(2)) определяется как эрмитовы формы от векторного переменного

zz 1z 2

Аналогично определяются вещественные квадратичные формы и эрмитовы формы от трех и более векторных переменных.

32

14.5.2. Локальная связь. Минимальная устойчивость

Рассмотрим многомерную систему, которая описывается уравнением

x Ax Bu, u f ξ , y Cx, ξ y, x Rn , y Rr , u Rm	(14.35а)
или
y = Wл(р)u, u = f(ξ), ξ = –y,	(14.35б)

где W (р) = C(Iр – A)–1B – (r × m)-матричная передаточная функция. Система
л
содержит m нелинейностей f(ξ). Переменные ξ и u являются векторными
функциями времени: ξ = ξ(t), u = f(ξ(t)) = u(t).
Пусть задана вещественная квадратичная форма F ξ,ξ,u и множество
нелинейных звеньев задается условием
	0	(14.36)
F ξ t ,ξ t ,u t 0 t
	ξ,
В квадратичной форме F ξ,ξ,u переменные		ξ, u рассматриваются как

независимые. В частном случае какие-либо переменные в квадратичную форму могут не входить. Тогда соответствующие переменные будем опускать. Соотношение33 (14.36) называют локальной связью.

Определение 14.1. Если выполняется условие (14.36), то говорят, что функции ξ(t) и u(t) удовлетворяют локальной связи с формой F ξ,ξ,u .

Локальную связь (14.36) также будем записывать в виде

	или
F ξ,ξ,u 0		F ξ,ξ,f ξ 0

Определение 14.2. Система (14.35а), или (14.35б) называется минимально устойчивой в заданном классе нелинейностей (нелинейных звеньев), если она асимптотически устойчива в целом при какой-либо нелинейности f(ξ) из указанного класса.

34

Рассмотрим локальную связь (14.33):

F(ξ, u) = (βξ – u)(u – αξ) ≥ 0

в случае одномерной системы, т. е. при m = r = 1. Как было показано, эта локальная связь определяет тот же класс нелинейных звеньев, что и соотношение (14.32). Этому классу нелинейных звеньев принадлежат линейные звенья

u = γξ, α ≤ γ ≤ β.

Поэтому если система

y = Wл(р)u, u = γξ, ξ = –y

устойчива при каком-нибудь γ [α, β], то нелинейная система (14.35б) минимально устойчива в классе нелинейных звеньев, определяемых локальной связью (14.33).

Нелинейность, при которой будет устанавливаться минимальная устойчивость, будем называть нелинейностью сравнения, а саму систему при этой нелинейности – системой сравнения.

Часто нелинейность сравнения берется в виде ξ = 0. В этом случае система (14.35б) минимально устойчива в классе функций с локальной связью (14.36), если35 при любых x линейная часть устойчива.

14.5.3. Квадратичный критерий

Для формулировки квадратичного критерия потребуется следующее преобразование квадратичной формы, определяющей локальную связь:

1) квадратичная форма
		F ξ,ξ,u расширяется до эрмитовой формы заменой
			~ ~
	их изображениями
переменных ξ, ξ, u			ξ s , ξ s , U;
		~	~
				s U :
2) производится постановка ξ s Wл s U и ξ s sWл
	~	s, U F W s U, sW s U, U
	F

Таким образом, преобразование квадратичной формы сводится к расширению ее до эрмитовой и последующей замене переменных их изображениями Лапласа, найденными при нулевых начальных условиях. При этом изображение выходной переменной нелинейного звена U(s) рассматривается как независимая комплексная переменная, и его записывают без аргумента, т. е. в виде U.

36

Рассмотрим в качестве примера локальную связь (14.33) в случае одномерной системы. Расширенная до эрмитовой ее квадратичная форма принимает вид

	~	~	~	*	~
	F	s, U F ξ s , U s Re ξ		s U U ξ s
			~
Подставив сюда выражение для изображения ξ s , которое определяется исходя
из заданных уравнений системы при нулевых начальных условиях, получим
~		*	s U Re Wл		*	s	U
F	s, U Re Wл s U U U Wл				s 1 1 Wл			2

37

Квадратичный критерий (В. А. Якубович). Пусть нелинейная система

(14.35а) или (14.35б) минимально устойчива в классе нелинейных звеньев, заданных локальной связью с формой F ξ,ξ,u , и матрица A не имеет собственных значений на мнимой оси, или, что то же, характеристическое уравнение ее линейной части не имеет корней на мнимой оси.

Тогда ее положение равновесия абсолютно устойчиво в указанном классе
~	j , U отрицательно определена
нелинейных звеньев, если эрмитова форма F
при – ≤ ≤ , т. е. выполнено условие
~		(14.37)
F j , U 0 при – ≤ ≤ и любом U 0.

При этом имеет место экспоненциальная сходимость (устойчивость), т. е. существуют постоянные C > 0 и ε > 0 такие, что при любом t ≥ t0 выполняется неравенство

|x(t)| ≤ C|x(t )|e–ε(t – t0).	(14.38)
0

Условие (14.37) называется частотным условием.

38

~	j , U представить в виде
Если эрмитову форму F
	~	*	H j U
	F	j , U U

то частотное условие равносильно тому, что матрица H(j ) является положительно определенной при – ≤ ≤ .

Эрмитова матрица H(j ) положительно определена при – ≤ ≤ в том и только том случае, если она положительно определена при = и детерминант от нее не обращается в нуль при – ≤ ≤ :

H(j ) > 0, det H(j ) 0 при – ≤ ≤ .

(14.39)

Докажем это утверждение. Заметим, что первое неравенство (14.39) означает, что матрица

H j limH j

является положительно определенной.

39

Положительная определенность матрицы H(j ) для всех – ≤ ≤ равносильна положительности ее собственных значений i(j ) (i = 1,2,... ,n). Поэтому условие

det H(j ) = 1(j ) 2(j )... n(j ) 0

является необходимым, чтобы матрица H(j ) была положительно определенной для всех – ≤ ≤ .

Достаточность условия (14.39) следует из того, что

i(j ) > 0 и i(j ) 0 (i = 1, 2,... ,n).

И поскольку i(j ) – непрерывные функции , то все i(j ) > 0 для всех

– ≤ ≤ . Следовательно, H(j ) – положительно определенная матрица.

Квадратичный критерий можно использовать для исследования глобальной асимптотической устойчивости отдельных нестационарных и нелинейных систем. Для этого нужно задать локальную связь так, чтобы класс нелинейностей, который она определяет, включал данную нелинейность. При этом желательно локальную связь (или, что то же, квадратичную форму) выбирать так, чтобы класс нелинейностей, который она определяет, был как можно менее объемным.

40