matan (1)

L(y) = f(x) (1’)

Если все коэффициенты P1(x), f(x) непрерывна на [a,b], то по теорема существования и единственности для ОДУ n-го порядка существует единственное решение задачи Коши для этого ДУ с любыми НУ в точке x0 принадлежащей [a,b]

Свойство1: пусть y(x) – решение уравнения

y(n) + P1(x)y(n-1) + … + Pn-1(x)y’ + Pn(x)y = f(x) (1)

а y0(x) – решение соответствующего ЛОДУ L(y) = 0 , тогда y0(x) + y(x) – решение уравнения

(1)

Доказательство:

L[y0(x) + y(x)] = L[y0] + L[y(x)] = f(x)

y0(x) +y(x) – решение (1)

Свойство2: пусть y1(x), … , ym(x) решения L(y) = fi(x) , i=1, … , m, тогда

y(x) =∑

iyi(x) – является решением ДУ L(y) = ∑

ifi(x)

Доказательство вытекает из свойства 1.

Свойство3: (структура общего решения ЛНОДУ n-го порядка)

Общее решение на отрезке [a,b] L(y) = f(x) с непрерывными на этом же отрезке коэффициентами Pi(x) и f(x) равно сумме общего решения соответствующего ЛОДУ n-го

порядка ∑

) и какого нибудь частного решения

y(x) этого ЛНОДУ n-го порядка,

т.е. y(x)= ∑

) +

(1)

y(x)

Доказательство: y(x)= ∑

) +

y(x) – решение ЛНОДУ следует из свойства 1.

Докажем что это общее решение: любые НУ: y(x0)=y0 , y’(x0) = y’0 ,…, y(n-1)(x0)=

) (2)

Удовлетворим (1) этим начальным условиям:

∑

(x0) + y(x0)=y0 - первое НУ

СЛАУ из n уравнений

∑

(x0) + y’(x0) =y’0 – второе НУ

с n неизвестными С1,С2,…,Сn

…

∑

)(x0) +

(n-1)(x0) =

) - последнее НУ

i

y

Единственное решение, т.к. = (x0) ≠ 0,

т.к. система линейно независима.

14.Теарема о структуре общего решения ЛНОДУ n-го порядка.

(y(x) – пишется с волнистым подчеркиванием сверху)

Свойство1 ЛНОДУ n-го порядка: пусть y(x) – решение уравнения

y(n) + P1(x)y(n-1) + … + Pn-1(x)y’ + Pn(x)y = f(x) (1)

а y0(x) – решение соответствующего ЛОДУ L(y) = 0 , тогда y0(x) + y(x) – решение уравнения

(1)

Доказательство:

L[y0(x) + y(x)] = L[y0] + L[y(x)] = f(x)

y0(x) +y(x) – решение (1)

Свойство2 ЛНОДУ n-го порядка: пусть y1(x), … , ym(x) решения L(y) = fi(x) , i=1, … , m, тогда

y(x) =∑	iyi(x) – является решением ДУ L(y) = ∑	ifi(x)
Доказательство вытекает из свойства 1.

Свойство3 ЛНОДУ n-го порядка: (структура общего решения ЛНОДУ n-го порядка)

Общее решение на отрезке [a,b] L(y) = f(x) с непрерывными на этом же отрезке коэффициентами Pi(x) и f(x) равно сумме общего решения соответствующего ЛОДУ n-го

порядка ∑

) и какого нибудь частного решения

y(x) этого ЛНОДУ n-го порядка,

т.е. y(x)= ∑

) +

(1)

y(x)

Доказательство: y(x)= ∑

) +

y(x) – решение ЛНОДУ следует из свойства 1.

Докажем что это общее решение: любые НУ: y(x0)=y0 , y’(x0) = y’0 ,…, y(n-1)(x0)=

) (2)

Удовлетворим (1) этим начальным условиям:

∑

(x0) +

y(x0)=y0 - первое НУ

СЛАУ из n уравнений

∑

(x0) + y’(x0) =y’0 – второе НУ

с n неизвестными С1,С2,…,Сn

…

∑

)(x0) +

(n-1)(x0) =

) - последнее НУ

i

y

Единственное решение, т.к. = (x0) ≠ 0,

т.к. система линейно независима.

15.Нахождение частных решений ЛНОДУ n-го порядка по виду правой части.

(Pm, y, Qm – пишутся с волнистым подчеркиванием сверху)

a0y(n) + a1y(n-1) + … + an-1y’ + any =f(x) (1)

1. пусть f(x) = Pm(x) = A0xm + A1xm-1+ … + Am-1x + Am

а) пусть an≠0, 0 не является корнем характеристического уравнения

y(x) = Qm(x) = B0xm + B1xm-1 + … + Bm (2)

B0, B1 , … ,Bm – находятся методом неопределенных коэффициентов:

Выражение (2) подставляется в выражение (1) и приравниваются коэффициенты с одинаковыми степенями:

xm anB0 = A0 => B0 = A0/an

xm-1 anB1 + mB0 = A1 => B1 = (A1 – mB0)/an

…и т.д.

б) an=0, это означет что 0 является корнем характеристического уравнения кратности α

y(x) = xα(B0xm + B1xm-1 + … + Bm), Bi находятся аналогично случаю а

2. пусть f(x) = ePx(A0xm + … + Am)

Является ли Р корнем характеристического уравнения?

а) Р является корнем х.у. =>

y(x) = ePx(B0xm + … + Bm)

Bi – определяются методом неопр коэффициентов б) Р является корнем х.у. кратности α

y(x) = xα ePx(B0xm + … + Bm)

Bi – определяются методом неопр коэффициентов

3. пусть f(x) = ePx(Pm(x)cosqx + Qm(x)sinqx), где Pm(x) ,Qm(x) – многочлены из которых одинр степени m, а другой степени не большей m.

Вопрос: является ли p+iq корнем х.у.?

а) p+iq – не является корнем х.у.

y(x) = ePx(Pm(x)cosqx +Qm(x)sinqx), где Pm , Qm – многочлены степени m с неопределенными коэффициентами , которые определяются методом неопределенных коэффициентов

б) р+iq является корнем х.у. кратности α

y(x) = xα ePx(Pm(x)cosqx +Qm(x)sinqx), где Pm , Qm – многочлены степени m с

неопределенными коэффициентами , которые определяются методом неопределенных коэффициентов

16. Решение ЛНОДУ n-го порядка методом вариации постоянных

Пусть имеем ЛНОДУ n-го порядка с некоторыми коэффициентами:

Yn+P1(x)yn-1+…+Pn-1(x)y’+Pn(x)y=f(x) (1)
Пусть найдено общее решение соответствующееЛОДУ n-го порядка:
y(x) = ∑	)		(2)
Ищем решение в виде y(x)= ∑						)	)		(3)
Нахождение Ci(x):
СЛАУ относительно Ci’(x),i=1,n
∑		)	) + ∑			)		),	где ∑	)		)
∑		)		) + ∑			)		) , где ∑	)	)
		.
∑	)		) + ∑			)		) , где ∑		)	)	)
{
имеет единственное решение, т.к.						=W(x0)		0=>находим Ci(x)

17. Нормальные системы ОДУ 1-го порядка. Общая теория

Нормальные системы ОДУ 1-го порядка это системы вида:

, , , , )

, , , ,

)

)

),

), ,

)

,, , , )}

Начальное условие: x1(t0)=x10 , x2(t0)=x20,…,xn(t0)=xn0

(2)

Определение 1: Решением нормальной системы (1) называется набор функций: ((x1(t),x2(t),…,xn(t)), который удовлетворяет каждому уравнению системы (1)

Задача (1)-(2) – задача Коши.

Теорема: (Существования и единственности задачи Коши)

1) Пусть fi непрерывна в окрестности начального условия, т.е. М0(t0,x10,…,xn0)

2) Пусть
		, где i,j=1,n		ограничены в некоторой окрестности точки M0 => (существует и

при том единственное) решение задачи Коши (1)-(2). Система может быть записана в матричном виде:

			)
	) (		)
			)
	)			условие записи в матричном виде
	(		)
	(		)
			}
x’(t)=F	(4) - матричный вид.

18. Приведение нормальной системы ОДУ 1-го порядка к одному ОДУ высшего порядка

, , , , )

, , , ,

)

)

,, , , )

Исключим из уравнения (1) все неизвестные функции, кроме одной, для которой и получим уравнение более высокого порядка:

, , , ,

)

)

исключим

Дифференцируем по переменной t:

+ ∑

f(i)

Ф2(t,x1,…,xn) (3)

+ ∑

f(i)

Ф3(t,x1,…,xn) (4)

, , , )

)

, , ,

)

)

Из системы (3)-(4)-(6) находим x2,x3,…,xn, выражая их через t,x’1,x’’2,…,xn и подставляем их в уравнение (6), в результате получим:

, ,

, ,

)

)

19.Приведение ОДУ высшего порядка к нормальной системе ОДУ 1-го порядка.

20.Системы линейных ОДУ 1-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера для решения этих систем.

Система уравнений вида

(1)

называется неоднородной системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Будем считать, что являются непрерывными функциями на (a,b).

Система дифференциальных уравнений

				,
	(2)
называется	однородной.	Вводя	в	рассмотрение
векторы			и	матрицу	,
уравнения (1),(2) можно представить в векторной форме

(1')

(2')

Матрица

,

(3)

где - координаты линейно независимых решений (векторов)

...........................

векторного уравнения (2'), называется фундаментальной матрицей этого уравнения.

Иногда ее называют матрицей Вронского.

Определитель

,

составленный из частных решений системы (2), называется определителем Вронского.

Для того, чтобы матрица (3), где - частные решения системы уравнений (2), была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы при . При этом общее решение векторного уравнения (2') представляется в виде ,

где C - произвольный постоянный вектор. Общее же решение уравнения (1') будет

,

где - какой-нибудь вектор, являющийся частным решением уравнения (1').

Путем исключения неизвестных систему всегда можно свести к уравнению более высокого порядка с одной неизвестной функцией. Этот метод удобен для решений

несложных систем.

Метод Л. Эйлера

y=ekx (2)

y'= k ekx

y''=k2 ekx и так далее

yn = kn ekx

a0kn ekx + a1k(n-1) ekx + ... + an-1k ekx + an ekx = 0

a0kn + a1kn-1 + ... + an = 0 - характеристическоеуравнение

Случаи:

1) Все корни характеристического уравнения действительныеи различные k1, k2, ..., kn

ek1x, ek2x, ..., eknx - линейно независимые решения

y(x) = C1 ek1x + C2 ek2x + ... + Cn eknx

2) k1,2 = α + iβ

e(α+iβ)x = eαx * eiβx =eαx( cosβx + sinβx)

ei = cos + isin - формула Эйлера

e(α-iβ)x = eαx( cosβx - (если спросит, должно ли здесь быть что-то, то скажите забыл(а) i дописать)sinβx)

eαx * cosβx, eαx * sinβx - линейно независимые решения

3) к - корень характеристического уравнения кратности α

ekx, x ekx, ... xα-1 * ekx - линейно независимы на любом отрезке [a, b] 4) k = p - iq - комплексный корень кратности α, то есть повторяется α раз k = p - iq - кратности α

epxcosqx, x epxcosqx, ... , xα-1 epxcosqx

epxsinqx, x epxsinqx, ... , xα-1 epxsinqx

α - линейно независимые решения