эконометрика лаб 5

_{Примеры решение типовых задач к лабораторной работе № 5}

Пример 1. Требуется:

_{1. Оценить следующую структурную модель на идентификацию:}

y₁  b₁₃ y₃  a₁₁ x₁  a₁₃ x₃ ;

y₂  b₂₁ y₁  b₂₃ y₃  a₂₂ x₂ ;

^y₃ ^{ b}₃₂ ^y₂ ^{ a}₃₁ ^x₁ ^{ a}₃₃ ^x₃ ^.

_{2. Исходя из приведенной формы модели уравнений}

y₁  2  x₁  4  x₂  10  x₃ ;

y₂  3  x₁  6  x₂  2  x₃ ;

^y₃ ^{ 5  x}₁ ^{ 8  x}₂ ^{ 5  x}₃ ^,

найти структурные коэффициенты модели.

Решение:

1. Исследование модели на идентифицируемость. Модель имеет три эндо-

^{генные (у}₁^{, у}₂^{, у}₃^{) и три экзогенные (x}₁^{, x}₂^{, х}₃^{) переменные.}

Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное

(Д) условия идентификации.

Первое уравнение.

^{Необходимое условие (Н): эндогенных переменных – 2 (у}₁^{, у}₃^{), отсутст-}

^{вующих экзогенных – 1 (х}₂^).

43

Выполняется необходимое равенство: 2 = 1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

^{Достаточное условие (Д): в первом уравнении отсутствуют y}₂ ^{и x}₂^{. Постро-}

_{им матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы}

Уравнение	Отсутствующие переменные
	^Y2	^X2
Второе	–1	^a22
Третье	^b32	0

^{Определитель матрицы Det A = –1·0 – b}₃₂ ^{· a}₂₂ ^{≠ 0.}

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно,

выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.

Второе уравнение.

Н: эндогенных переменных – 3 (y₁, y₂. y₃), отсутствующих экзогенных – 2 (x₁, х_з).

Выполняется необходимое равенство: 3 = 2+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

^{Д: во втором уравнении отсутствуют х}₁ ^{и х}_з^{. Построим матрицу из коэф-}

_{фициентов при них в других уравнениях системы:}

Уравнение	Отсутствующие переменные
	^Х1	^Хз
Первое	^a11	^a13
Третье	^a31	^a33

^{Определитель матрицы Det A = a}₁₁ ^{· a}₃₃ ^{– a}₃₁ ^{· a}₁₃ ^{≠ 0.}

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2, следовательно,

выполняется достаточное условие идентификации, и второе уравнение точно идентифицируемо.

Аналогично доказывается, что и третье уравнение точно идентифицируемо.

Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема и может быть решена косвенным методом наименьших квадратов.

2. Вычисление структурных коэффициентов модели:

1) из третьего уравнения приведенной формы выразим х₂ (так как его нет в первом уравнении структурной формы)

x₂ 

^{y3  5  x1  5  x3} _.

⁸

Данное выражение содержит переменные у₃, х₁ и х₃, которые входят в пра- вую часть первое уравнения структурной формы модели (СФМ). Подставим по- лученное выражение х₂ в первое уравнение приведенной формы модели (ПФМ)

₄₄

^y₃

^y₁ ^{ 2  x}₁ ^{ 4 }

^{ 5  x}₁ ^{ 5  x}₃

₈

 10  x₃ .

Откуда получим первое уравнение СФМ в виде

^y₁ ^{ 0,5  y}₃ ^{ 4,5  x}₁ ^{ 7,5  x}₃ ^.

^{2) во втором уравнении СФМ нет переменных x}₁ ^{и х}₃^{. Структурные пара-}

метры второго уравнения СФМ можно будет определить в два этапа.

Первый этап: выразим x₁ в данном случае из первого или третьего уравне-

ния ПФМ. Например, из первого уравнения

_{y  4  x}

_{ 10  x}

_{x } ^{1 2 3} _{ 0,5  y}

¹ 2 ¹

^{ 2  x}₂

^{ 5  x}₃ ^.

Подстановка данного выражения во второе уравнение ПФМ не решило бы

^{задачу до конца, так как в выражении присутствует х}₃^{, которого нет в СФМ.}

^{Выразим x}₃ ^{из третьего уравнения ПФМ}

x₃ 

^{y3  5  x1  8  x2} _.

⁵

^{Подставим его в выражение для x}₁

_{y  5  x}

_{ 8  x}

^x₁ ^{ 0,5  y}₁

^{ 2  x}₂

_{ 5 } ^{3 1 2} _{ 0,5  y}

5 ¹

^{ y}₃

^{ 6  x}₂

^{ 5  x}₁ ^;

_{0,5  y  y}

_{ 6  x}

_{x } ^{1 3 2} _.

¹ 6

^{Второй этап: аналогично, чтобы выразить х}₃ ^{через искомые y}₁^{, у}₃ ^{и x}₂^{, за-}

^{меним в выражении x}₃ ^{значение x}₁ ^{на полученное из первого уравнения ПФМ}

x₃ 

^y₃ ^{ 5  (0,5  y}₁ ^{ 2  x}₂

₅

^{ 5  x3 )  8  x2} _

^{ 0,2  y}₃

^{ 0,5  y}₁ ^{ 3,6  x}₂

^{ 5  x}₃ ^.

_{Следовательно,}

^x₃ ^{ 0,033  y}₃

^{ 0,083  y}₁ ^{ 0,6  x}₂ ^.

^{Подставим полученные x}₁ ^{и x}₃ ^{во второе уравнение ПФМ}

y ₂  3 

^{0,5  y}₁ ^{ y}₃

₆

^{ 6  x}₂

 6  x₂

 2  (0,033  y₃  0,083  y₁  0,6  x₂ ).

_{В результате получаем второе уравнение СФМ}

^y ₂ ^{ 0416  y}₁ ^{ 0,434  y}₃

^{ 4,2  x}₂ ^.

3) из второго уравнения ПФМ выразим x₂, так как его нет в третьем урав-

нении СФМ

_{ y  3  x}

_{ 2  x}

_{x } ^{2 1 3} _{ 0,167  y}

² 6 ²

^{ 0,5  x}₁

^{ 0,333  x}₃ ^.

_{Подставим полученное выражение в третье уравнение ПФМ}

^y₃ ^{ 5  x}₁ ^{ 8  (0,167  y} ₂

^{ 0,5  x}₁ ^{ 0,333  x}₃ ^{)  5  x}₃ ^.

В результате получаем третье уравнение СФМ

₄₅

^y₃ ^{ 1,336  y} ₂

^{ x}₁ ^{ 7,664  x}₃ ^.

Таким образом, СФМ примет вид

^y₁ ^{ 0,5  y}₃ ^{ 4,5  x}₁ ^{ 7,5  x}₃ ^;

^y₂ ^{ 0,416  y}₁ ^{ 0,434  y}₃ ^{ 4,2  x}₂ ^;

^y₃ ^{ 1,336  y} ₂

^{ x}₁ ^{ 7,664  x}₃ ^.

Пример 2. Изучается модель вида

y  a₁  b₁ (C  D)   ₁ ;

C  a₂  b₂  y  b₃  y_1   ₂ ,

где y – валовой национальный доход;

^у_–1 ^{– валовой национальный доход предшествующего года;}

С – личное потребление;

D – конечный спрос (помимо личного потребления);

^₁ ^{и }₂ ^{– случайные составляющие.}

Информация за 5 лет о приростах всех показателей дана в табл. 3.1.

_{Таблица 3.1}

Год	D	^y–1	y	С	Год	D	^y–1	y	С
1	–6,8	46,7	3,1	7,4	6	44,7	17,8	37,2	8,6
2	22,4	3,1	22,8	30,4	7	23,1	37,2	35,7	30,0
3	–17,3	22,8	7,8	1,3	8	51,2	35,7	46,6	31,4
4	12,0	7,8	21,4	8,7	9	32,3	46,6	56,0	39,1
5	5,9	21,4	17,8	25,8	∑	167,5	239,1	248,4	182,7

Для данной модели была получена система приведенных уравнений

y  8,219  0,6688  D  0,261 y_1 ;

C  8,636  0,3384  D  0,202  y _1 .

Требуется:

1. Провести идентификацию модели.

2. Рассчитать параметры первого уравнения структурной модели.

Решение:

1. В данной модели две эндогенные переменные (у и С) и две экзогенные переменные (D и у_–1). Второе уравнение точно идентифицировано, так как со- держит две эндогенные переменные и не содержит одну экзогенную перемен- ную из системы. Иными словами, для второго уравнения имеем по счетному правилу идентификации равенство: 2=1+1.

Первое уравнение сверхидентифицировано, так как в нем на параметры при С и D наложено ограничение: они должны быть равны. В этом уравнении содержится одна эндогенная переменная у. Переменная С в данном уравнении

не рассматривается как эндогенная, так как она участвует в уравнении не само-

46

стоятельно, а вместе с переменной D. В данном уравнении отсутствует одна эк- зогенная переменная, имеющаяся в системе. По счетному правилу идентифика- ции получаем: 1 + 1 = 2: D + 1 > Н. Это больше, чем число эндогенных пере- менных в данном уравнении, следовательно, система сверхидентифицирована.

2. Для определения параметров сверхидентифицированной модели исполь-

зуется двухшаговый метод наименьших квадратов.

Шаг 1. На основе системы приведенных уравнений по точно идентифици- рованному второму уравнению определим теоретические значения эндогенной переменной С. Для этого в приведенное уравнение

^{C  8,636  0,3384  D  0,202  y} _1

^{подставим значения D и y}_–1^{, имеющиеся в условии задачи. Полученные значе-}

ния обозначим Ĉ_i (i = 1,...,9) (табл. 3.2).

Шаг 2. По сверхидентифицированному уравнению структурной формы

модели заменяем фактические значения С на теоретические Ĉ и рассчитываем новую переменную Ĉ + D (табл. 3.2).

_{Таблица 3.2}

Год	D	Ĉ	Ĉ + D	Год	D	Ĉ	Ĉ + D
1	–6,8	15,8	9,0	6	44,7	27,4	72,1
2	22,4	16,8	39,2	7	23,1	24,0	47,1
3	–17,3	7,4	–9,9	8	51,2	33,2	84,4
4	12,0	14,3	26,3	9	32,3	29,0	61,3
5	5,9	15,0	20,9	∑	167,5	182,9	350,4

Далее к сверхидентифицированному уравнению применяется метод наи-

меньших квадратов. Обозначим новую переменную Ĉ + D через Z. Решаем уравнение

y  a₁  b₁  Z .

^{С помощью МНК получим a}₁ ^{= 7,678; b}₁ ^{= 0,542.}