Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Сибирский федеральный университет»

Торгово-экономический институт

Отделение среднего профессионального образования

Первообразная и неопределенный интеграл

Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математика» для самостоятельной работы студентов всех специальностей

очной и заочной форм обучения

Красноярск 2012

Первообразная и неопределенный интеграл: учебно-методическое пособие / ФГАОУ ВПО СФУ Торгово-экономический институт; сост. Н.А. Севостьянова, Е.Р. Червова. – Красноярск, 2012. – 22 с.

Методическое пособие по дисциплине «Математика» по разделу «Первообразная и неопределенный интеграл» составлено в соответствии со стандартом СПО и рабочей программой и предназначено для самостоятельной работы студентов всех специальностей очной и заочной форм обучения. Включает в себя теоретическую часть, практические задания, методику решения типовых задач, тесты для самоконтроля. Данное учебно-методическое пособие можно использовать как для аудиторной, так и для внеаудиторной самостоятельной работы.

ФГАОУ ВПО СФУ

Торгово-экономический институт, 2012

Оглавление

Стр.

1. Первообразная и неопределенный интеграл…………………................ 3

2. Геометрический смысл неопределенного интеграла ………………….. 5

4. Таблица интегралов…………………………………………………….. 8

5. Основные методы интегрирования………………………………………10

5.1 Непосредственное интегрирование…………………………………10

5.2 Метод замены переменной…………………………………………. 11

5.3 Интегрирование по частям…………………………………………. 12

6. Варианты для самостоятельной работы………………………………… 14

7. Образец решения варианта 1…………………………………………….. 17

8. Тесты……………………………………………………………………… 20

9. Библиографический список……………………………………………… 22

1. Первообразная и неопределенный интеграл

Рассмотрим задачу обратную к задаче о нахождении производной. Дана функция f(x). Найти такую функцию F(x), чтобы

F'(x) = f(x) (1)

Например: f(x) = 6х⁵. Найти F(x). Ответ: F(x) = х⁶ + С, где С - const Определение 1: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если выполняется равенство (1).

Возникают два вопроса:

а) вопрос о существовании первообразной для данной функции f(x);

б) вопрос о единственности первообразной.

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, в], то для неё существует первообразная F(x) на [а, в] (без доказательства)

Теорема 2. Если F(x) - первообразная для функции f(x), то F(x) + С, где С - произвольная постоянная, также первообразная для f(х).

Доказательство:

[ F(x) + С]' = F' (х) + С', т. к. С'=0, то F' (x) =f(x),

что и требовалось доказать.

Итак, если функция f(x) имеет хотя бы одну первообразную, то она имеет их бесконечно много. Например, для функции f(x) = 6х⁵ первообразными будут х⁶, х⁶ + 3, х⁶ + 1 и т.д.

Теорема 3. Если для функции f(x) найдена хотя бы одна первообразная F(x), то любая другая первообразная имеет вид F(x) + С.

Доказательство: метод «от противного». Пусть функция f(x) имеет 2 первообразных F(x) и Ф(х). По определению первообразной (1) имеем

F' (x) =f(x) и Ф' (х) =f(x).

Тогда F' (х) - Ф' (х) = 0 или [F (х) - Ф (х)]' = 0. Последнее равенство возможно только в случае F (х)-Ф (х) = С, где С - постоянная.

Отсюда Ф(х) = F (х) + С,

что и требовалось доказать.

Например, для f(x)= 5 х⁶ любая первообразная имеет вид х⁶ + С.

Определение 2. Совокупность всех первообразных для данной функции f(x) называется неопределенным интегралом от данной функции и обозначается

∫f(x)dx = F(x) + С

Здесь f(х) - подинтегральная функция, f(х)dx - подинтегральное выражение, х- - переменная интегрирования. Например,

Определение 3. Процесс отыскания неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием.