Лаб-4(МНК-аппроксимация) / Лаб_4(МНК-аппроксимация)
.pdfУсловие - выражение записывается на место шаблона.
Оператор otherwise – "иначе" обычно используется совместно с оператором if. Его использование поясняют следующие программные конструкции:
|
|
|
или |
|
|
|
f(x) |
1 |
if x 0 |
x |
a |
if B |
|
|
1 |
otherwise |
|
|
c |
otherwise |
|
|
|
где B – проверяемое условие.
Oператор break вызывает прерывание работы программы всякий раз, как он встречается. Чаще всего он используется совместно с оператором условного выражения if и оператором циклов while и for, обеспечивая переход в конец тела цикла.
Оператор continue – оператор продолжения, используется для продолжения работы после прерывания. Совместно с операторами циклов while и for, обеспечивает после прерывания возврат в начало цикла.
Оператор-функция возврата return прерывает выполнение программы и возвращает значения своего операнда, стоящего следом за ним. Например,
return 5 IF Х<0
будет возвращать значение 5 при любом Х < 0.
Оператор on error и функция error – средства обработки ошибок – позволяют создавать конструкции обработчиков ошибок. Оператор задаётся в виде:
Выражение 1 on error Выражение 2
Если при выполнении Выражение 1 возникает ошибка, то выполняется
Выражение 2.
Функция error(S), возвращает окошко с надписью, хранящейся в символьной переменной S или в символьной константе (любой фразе в кавычках).
Пример разработки программы продемонстрируем на алгоритме решения уравнения у=x3-9 методом половинного деления (бисекции).
PolDel(f a b eps ) |
while |
|
|
b a |
|
eps |
|
|||||||||
|
|
|
c |
a b |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
break |
if |
f(c) |
|
0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
d f(a) f(c) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
a c |
if |
d 0 |
|
||||||||||
|
|
|
b c |
if |
|
d 0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
c |
|
c if f(c) |
|
|
0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a b |
|
|
otherwise |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f(x) x3 9 |
a 0 |
b 9 |
|
|
|
|
eps 0.0001 |
x PolDel(f a b eps ) |
||||||||
Корень уравнения: |
|
|
|
|
Проверка: |
|
||||||||||
x 2.0801 |
|
|
|
|
|
|
f(x) 7.459 10 5 |
|||||||||
21
Задание
1.Разработать блок-схемы решения систем уравнений методом простой итерации и методом Зейделя.
2.Разработать программы.
3.Варианты заданий выбрать из Таблицы 2 Лабораторной работы 4.
4.Получить результат с точностью 0,001.
Лабораторная работа 6
Одномерная оптимизация
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
Под оптимизацией понимают процесс выбора наилучшего варианта среди всех возможных. Например, выбор наилучшего варианта конструкции, наилучшего способа раскроя материала, наилучшего режима работы оборудования, наилучшего графика перевозок и т. п.
Для выбора математических соотношений, описывающих задачи оптимизации воспользуемся тем, что решение таких задач определяется параметрами двух категорий: параметрами, дающими количественные оценки возможных вариантов, и параметрами, от которых эти оценки зависят.
Пусть в конкретной задаче независимые параметры обозначены через
x1, x2, … , xn,
а зависимый параметр через F, тогда величину F можно описать в виде функции
F = f(x1, x2, … , xn).
Задача оптимизации будет заключаться в том, чтобы найти такие значе-
ния аргументов x1, x2, … , xn из области определения функции F, при которых эта функция достигает наибольшего или наименьшего значения. Функцию F называют целевой функцией.
Параметры x1, x2, … , xn в инженерной практике называют проектными параметрами (при решении экономических задач – параметрами плана).
Область изменения проектных параметров D(x1, x2, … , xn) называется об-
ластью проектирования или областью неопределенности проектных пара-
метров.
Количество проектных параметров, подлежащих учёту, определяет размерность задач и позволяет классифицировать их на одномерные (n=1) и многомерные (n 2).
Оптимизация с ограничениями (условиями), наложенными на проектные параметры, называется условной, в противном случае – безусловной.
Целевая функция называется унимодальной, если в области неопреде-
лённости она имеет только один экстремум.
Методы решения задач безусловной одномерной оптимизации
Пусть требуется найти экстремум (максимум или минимум) функции од-
22
ной независимой переменной
y = f(x)
винтервале неопределенности [a, b].
Вдальнейшем условимся:
говорить только об экстремуме-минимуме целевой функции, поскольку в силу симметричности функции y = f(x) и y = -f(x) относительно оси Ох, минимум функции y = f(x) является максимумом для функции y = -f(x);
предполагать, что на интервале неопределённости целевая функция унимодальна.
Классический метод для функции одной переменной приводит к реше-
нию уравнения dfdx 0 .
Численные методы 1. Метод простого перебора
Это самый простой метод, заключающийся в табулировании целевой функции на интервале проектирования с шагом h, и выборе среди её полученных значений наименьшего. В качестве нового интервала выбирается окрестность точки, соответствующая этому наименьшему значению. Описанная процедура позволяет сузить интервал неопределённости за один шаг до величины
Z = 2h (рис.6.1).
Пути реализации:
Можно провести исследования за один прием, протабулировав функцию с шагом h = /2 в N точках интервала [a, b]
b a |
|
b a |
|
|||||
N |
|
|
1= |
2 |
|
|
1 |
|
h |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
y
|
|
h |
a |
|
b |
a |
b |
x |
|
новый |
|
интервал |
|
|
начальный интервал
Рис. 6.1 Графическая иллюстрация метода простого перебора
23
Часто удается сократить объем вычислений за счет поэтапного табулирования функции с шагом h значительно большим чем /2 на каждом этапе, кроме последнего, и с h = /2 на последнем. Этот процесс можно провести по схеме:
Разбить [a, b] на небольшое количество N подинтервалов;
Провести табулирование функции с шагом h = (b-a)/N;
Определить точку c = x, в которой функция имеет минимум;
За концы нового интервала взять точки a = с – h, b = c + h;
повторить всё сначала для нового интервала [a, b] до выполнения условия | b - a | .
2.Метод половинного деления (дихотомии)
Этот метод сужает интервал на каждом этапе ровно на половину (рис.6.2) и позволяет принять решение о выборе нового интервала на очередной итерации по значениям функции в трех внутренних точках.
а) |
b) |
y |
y |
a |
x1 |
x2 |
x3 |
b |
a |
x1 |
x2 |
x3 |
b |
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
х |
a |
новый |
b |
|
|
a |
новый |
b |
|
|
|
интервал |
|
|
|
|
интервал |
|
|
|
|
начальный |
интервал |
|
начальный |
интервал |
|
|||
|
|
|
y |
|
c) |
|
|
|
|
a |
x1 |
x2 |
x3 |
b |
|
|
a |
|
новый |
b |
x |
|
|
интервал |
|
|
|
|
начальный |
интервал |
|
|
|
Рис.6.2 К выбору нового интервала в методе половинного деления
24
3.Метод золотого сечения
Вэтом методе принятие решения о выборе интервала на новой итерации осуществляется по результату сравнения функции только в двух внутренних точках. Точки выбираются (рис.6.3):
o на одинаковом расстоянии от его концов, т.е. x1 - a = b - x2;
o отношение его оставшейся части к длине всего интервала было равно отношению отбрасываемой части к оставшейся, т.е. для ситуации, представленной на рис.6.3 a)
x2 a |
|
b x2 |
|
b a |
x2 a |
, |
|
а для ситуации представленной на рис.6.3 б)
|
b x1 |
|
x1 a |
. |
|
b a |
|
||
|
|
b x |
||
|
|
1 |
|
|
y |
|
y |
||
a) |
|
|
b) |
|
a |
x1 |
x 2 |
|
b |
a x1 |
x 2 |
b |
|
a |
новый |
|
b |
x |
a |
новый |
b x |
|
интервал |
интервал |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
Рис.6.3 Расположение точек и выбор нового интервала в методе золотого сечения
Расчетные формулы:
x1 a 0.382(b a) , x 2 a 0.618(b a) .
Уменьшив интервал на длину 0.382(b-a) на очередном этапе, переходим к следующему этапу и т.д., до выполнения условия | b-a | .
Задание
1.Разработать блок-схемы решения задач оптимизации методами: простого перебора, дихотомии и золотого сечения.
2.Для вариантов заданий из Таблицы 1 разработать программы.
3.Вычислить один, выбранный Вами, локальный экстремум с точностью 0,001.
25
Таблица 1
№ ва- |
|
Функция |
Экстремум |
|
рианта |
|
|
f(x)= |
|
|
|
|
||
1 |
x3cos(x+3) |
max |
||
2 |
x3cos(x2+3) |
min |
||
3 |
x3cosx2 |
max |
||
4 |
x2cosx2 |
min |
||
5 |
x2cos(x2-3) |
min |
||
6 |
lnx·cos(x-5) |
max |
||
7 |
lnx·cos2 (x-5) |
max |
||
8 |
lnx-50cos2 (x-5) |
min |
||
9 |
sinx-5cos2 x |
max |
||
10 |
sinx-xcosx) |
min |
||
11 |
(x-3)sinx |
max |
||
12 |
x2 +sin(x2-3) |
min |
||
13 |
x4 +sin(x+5) |
max |
||
14 |
(x2-4)+sinx |
min |
||
15 |
|
|
|
max |
|
x 3 -cosx |
|||
|
|
|
|
|
№ ва- |
|
Функция |
Экстремум |
|
рианта |
|
|
f(x)= |
|
|
|
|
||
16 |
x2 cos(x2-5) |
max |
||
17 |
x2sin(x2-3) |
max |
||
18 |
exsinx |
min |
||
19 |
excosx |
max |
||
20 |
excos(x-5) |
max |
||
21 |
lnx·cos3 (x-5) |
min |
||
22 |
lnx·cos2 (x-5)-23 |
max |
||
23 |
sinx-5cos2 (x-5) |
min |
||
24 |
sinx-5cosx) |
max |
||
25 |
(x-7)cosx |
min |
||
26 |
(x-3)2-sinx |
min |
||
27 |
x4 +sin(x2-3) |
min |
||
28 |
x2 +sin(x+5) |
min |
||
29 |
(x2-4)cosx |
min |
||
30 |
|
|
|
max |
x x ·sinx |
||||
|
|
|
|
|
Лабораторная работа 7
Обработка данных. Уплотнение таблиц на основе интерполяции
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
Пусть имеется таблица данных (Таблица 1) , в которой x – независимая переменная, y – зависимая. Практический пример такой таблицы – любая справочная таблица физических свойств вещества, таблица тригонометрических функций и т.д.
В дальнейшем точку с координатами (xi.,yi),принадлежащую таблице, будем называть i-ым узлом.
Таблица 1
x |
x0 |
x1 |
x2 |
… |
xi |
xi+1 |
… |
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
y0 |
y1 |
y2 |
… |
yi |
yi+1 |
… |
yn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уплотнить таблицу – значит дополнить её новыми значениями
yк =f(xк*) при x0≤ xк* ≤xn.
Решить задачу можно на основе интерполяции.
Под интерполяцией понимается построение такой функциональной зависимости y=f(x), график которой обязательно проходит через все узлы
(xi., yi), i=0,1,..,n.
26
В общем случае функциональную зависимость можно представить в виде интерполяционного многочлена степени не выше n:
y(x)=a0+a1x+a2x2+…+aj xj+…+anxn |
(1) |
с неопределёнными коэффициентами aj. Значения коэффициентов могут быть определены в результате решения системы n+1 уравнений с n+1 неизвестными:
a a x1 |
a x2 |
a x j a xn y при i=0, 1,…, n, |
(2) |
||
0 1 i |
2 i |
j i |
n i |
i |
|
полученной в результате подстановки табличных данных в соотношение (1). Линейная интерполяция заключается в построении многочлена первой
степени:
y(x)=a0+a1x (3)
Определение коэффициентов зависимости (3)
1. Коэффициенты могут быть определены в результате решения системы двух уравнений, для построения которых достаточно двух соседних точек: (xi,
yi) и (xi+1, yi+1).
2. Геометрически уравнение (3) является уравнением прямой с угловым коэффициентом a1 и смещением a0. Для получения их значений в явном виде (без решения системы) воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две соседние точки табличных данных:
y(x) yi |
|
x xi |
|
, |
||||
y |
i 1 |
y |
i |
x |
x |
i |
||
|
|
i 1 |
|
|||||
из которого следует, что в каждом промежутке [xi,xi+1] табличных данных значения многочлена могут быть вычислены по формуле:
y(x) y |
yi |
(x x ) |
(4) |
i |
xi |
i |
|
|
|
||
где yi yi 1 yi , |
xi xi 1 |
xi . |
|
Для данных с равноотстоящими значениями x величина xi+1-xi равна шагу h. Интерполяция по Лагранжу заключается в построении многочлена n-ой
степени, представленного в виде:
n |
(x x0 )(x x1 ) (x |
xi 1 )(x xi 1 ) (x xn ) |
|
|
|
||||||
Ln (x) |
|
yi |
(5) |
||||||||
(x |
x |
)(x x ) (x |
|
x |
)(x x |
) (x x |
|
) |
|||
i 0 |
i |
n |
|
|
|||||||
i |
0 |
i 1 |
i 1 |
i i 1 |
i |
|
|
|
|||
или
27
n |
n |
x |
x j |
|
||
Ln (x) yi |
(6) |
|||||
x |
x |
|
||||
i 0 |
j 0 |
j |
|
|||
i |
|
|
||||
|
j i |
|
|
|
|
|
приводящимся путем алгебраических преобразований к виду (1).
Сплайновая интерполяция (splain– гибкая линейка) заключается в построении на каждом промежутке таблицы данных одного из следующих многочленов:
кубического, проходящего через четыре смежных узла;
квадратичного, проходящего через три смежных узла;
линейного, проходящего через два смежных узла.
Mathcad предоставляет набор средств для уплотнения таблиц с использованием линейной и сплайновой интерполяции. При дальнейшем изложении использованы обозначения:
vx, vy – векторы – столбцы переменных x и y;
vs – вектор – столбец вторых производных в используемых узлах. Функции:
linterp (vx, vy, x*) – возвращает значение функции по значению величины x* при её линейной интерполяции.
interp (vs, vx, vy, x*) – возвращает значение функции по значению величины x* при её сплайн-интерполяции, где вектор vs вычисляется по функции:
cspline (vx, vy) при приближении к кубическому сплайну;
pspline (vx, vy) при приближении к параболической кривой (квадратичному сплайну);
lspline (vx, vy) при приближении к прямой.
Задание
1.Уплотнить линейной, сплайновой и Лагранжевой интерполяцией данные Вашего варианта (Таблица 2), вычислив дополнительные значения в каждом промежутке при среднем и произвольном значениях x.
2.Построить демонстрационные графики.
Таблица 2. Результаты эксперимента
№ ва- |
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
рианта |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
-1,00 |
-0,80 |
-0,60 |
-0,40 |
-0,20 |
0,00 |
0,20 |
0,40 |
0,60 |
0,80 |
|
y |
0,81 |
0,97 |
1,17 |
1,40 |
1,67 |
2,00 |
2,39 |
2,87 |
3,43 |
4,11 |
||
|
||||||||||||
2 |
x |
-2,00 |
-1,00 |
0,00 |
1,00 |
2,00 |
3,00 |
4,00 |
5,00 |
6,00 |
7,00 |
|
y |
12,50 |
10,00 |
8,00 |
6,40 |
5,12 |
4,10 |
3,28 |
2,62 |
2,10 |
1,68 |
||
|
||||||||||||
3 |
x |
0,10 |
0,20 |
0,30 |
0,40 |
0,50 |
0,60 |
0,70 |
0,80 |
0,90 |
1,00 |
|
y |
-4,91 |
-2,83 |
-1,61 |
-0,75 |
-0,08 |
0,47 |
0,93 |
1,33 |
1,68 |
2,00 |
||
|
28
Продолжение табл. 2
№ ва- |
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
рианта |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
x |
0,10 |
0,20 |
0,30 |
0,40 |
0,50 |
0,60 |
0,70 |
0,80 |
0,90 |
1,00 |
||
y |
0,00 |
0,01 |
0,04 |
0,10 |
0,19 |
0,32 |
0,51 |
0,77 |
1,09 |
1,50 |
|||
|
|
||||||||||||
5 |
x |
-3,00 |
-2,70 |
-2,40 |
-2,10 |
-1,80 |
-1,50 |
-1,20 |
-0,90 |
-0,60 |
-0,30 |
||
y |
47,00 |
38,45 |
30,80 |
24,05 |
18,20 |
13,25 |
9,20 |
6,05 |
3,80 |
2,45 |
|||
|
|
||||||||||||
6 |
x |
-3,00 |
-2,50 |
-2,00 |
-1,50 |
-1,00 |
-0,50 |
0,00 |
0,50 |
1,00 |
1,50 |
||
y |
143,00 86,13 48,00 24,88 13,00 |
8,63 |
8,00 |
7,38 |
3,00 |
-8,88 |
|||||||
|
|
||||||||||||
7 |
x |
0,30 |
0,55 |
0,80 |
1,05 |
1,30 |
1,55 |
1,80 |
2,05 |
2,30 |
2,55 |
||
y |
6,00 |
4,18 |
3,50 |
3,14 |
2,92 |
2,77 |
2,67 |
2,59 |
2,52 |
2,47 |
|||
|
|
||||||||||||
8 |
x |
-0,50 |
0,00 |
0,50 |
1,00 |
1,50 |
2,00 |
2,50 |
3,00 |
3,50 |
4,00 |
||
y |
2,24 |
1,50 |
1,01 |
0,67 |
0,45 |
0,30 |
0,20 |
0,14 |
0,09 |
0,06 |
|||
|
|
||||||||||||
9 |
x |
-1,00 |
-0,50 |
0,00 |
0,50 |
1,00 |
1,50 |
2,00 |
2,50 |
3,00 |
3,50 |
||
y |
0,72 |
1,29 |
2,30 |
4,11 |
7,36 |
13,17 |
23,55 |
42,13 |
75,37 |
134,82 |
|||
|
|
||||||||||||
10 |
x |
0,15 |
0,20 |
0,25 |
0,30 |
0,35 |
0,40 |
0,45 |
0,50 |
0,55 |
0,60 |
||
y |
-3,69 |
-2,83 |
-2,16 |
-1,61 |
-1,15 |
-0,75 |
-0,40 |
-0,08 |
0,21 |
0,47 |
|||
|
|
||||||||||||
11 |
x |
0,08 |
0,20 |
0,32 |
0,44 |
0,56 |
0,68 |
0,80 |
0,92 |
1,04 |
1,16 |
||
y |
0,00 |
0,01 |
0,05 |
0,13 |
0,26 |
0,47 |
0,77 |
1,17 |
1,69 |
2,34 |
|||
|
|
||||||||||||
12 |
x |
-1,00 |
-0,35 |
0,30 |
0,95 |
1,60 |
2,25 |
2,90 |
3,55 |
4,20 |
4,85 |
||
y |
-36,29 |
-34,10 |
-30,64 |
-25,91 |
-19,91 |
-12,65 |
-4,11 |
5,68 |
16,75 |
29,08 |
|||
|
|
||||||||||||
13 |
x |
-1,00 |
-0,80 |
-0,60 |
-0,40 |
-0,20 |
0,00 |
0,20 |
0,40 |
0,60 |
0,80 |
||
y |
13,00 |
10,56 |
9,08 |
8,32 |
8,04 |
8,00 |
7,96 |
7,68 |
6,92 |
5,44 |
|||
|
|
||||||||||||
14 |
x |
0,38 |
0,58 |
0,78 |
0,98 |
1,18 |
1,38 |
1,58 |
1,78 |
1,98 |
2,18 |
||
y |
-1,16 |
-0,07 |
0,46 |
0,78 |
0,98 |
1,13 |
1,24 |
1,33 |
1,39 |
1,45 |
|||
|
|
||||||||||||
15 |
x |
2,00 |
2,60 |
3,20 |
3,80 |
4,40 |
5,00 |
5,60 |
6,20 |
6,80 |
7,40 |
||
y |
1,11 |
1,41 |
1,80 |
2,29 |
2,91 |
3,69 |
4,70 |
5,97 |
7,59 |
9,65 |
|||
|
|
||||||||||||
16 |
x |
-1,00 |
-0,50 |
0,00 |
0,50 |
1,00 |
1,50 |
2,00 |
2,50 |
3,00 |
3,50 |
||
y |
-0,85 |
-1,40 |
-2,30 |
-3,78 |
-6,21 |
-10,20 |
-16,77 |
-27,55 |
-45,27 |
-74,39 |
|||
|
|
||||||||||||
|
17 |
x |
0,20 |
0,45 |
0,70 |
0,95 |
1,20 |
1,45 |
1,70 |
1,95 |
2,20 |
2,45 |
|
|
y |
-2,83 |
-0,40 |
0,93 |
1,85 |
2,55 |
3,11 |
3,59 |
4,00 |
4,37 |
4,69 |
||
|
|
||||||||||||
|
18 |
x |
0,10 |
0,20 |
0,30 |
0,40 |
0,50 |
0,60 |
0,70 |
0,80 |
0,90 |
1,00 |
|
|
y |
0,00 |
-0,03 |
-0,09 |
-0,20 |
-0,40 |
-0,69 |
-1,10 |
-1,64 |
-2,33 |
-3,20 |
||
|
|
||||||||||||
|
19 |
x |
-0,70 |
0,10 |
0,90 |
1,70 |
2,50 |
3,30 |
4,10 |
4,90 |
5,70 |
6,50 |
|
|
y |
-34,30 |
-24,34 |
-16,30 |
-10,18 |
-5,98 |
-3,70 |
-3,34 |
-4,90 |
-8,38 |
-13,78 |
||
|
|
||||||||||||
|
20 |
x |
-1,50 |
-1,20 |
-0,90 |
-0,60 |
-0,30 |
0,00 |
0,30 |
0,60 |
0,90 |
1,20 |
|
|
y |
-24,06 |
-8,42 |
1,07 |
5,95 |
7,74 |
8,00 |
8,26 |
10,05 |
14,93 |
24,42 |
||
|
|
||||||||||||
|
21 |
x |
0,30 |
0,47 |
0,64 |
0,81 |
0,98 |
1,15 |
1,32 |
1,49 |
1,66 |
1,83 |
|
|
y |
-6,00 |
-4,55 |
-3,88 |
-3,48 |
-3,22 |
-3,04 |
-2,91 |
-2,81 |
-2,72 |
-2,66 |
||
|
|
||||||||||||
|
22 |
x |
-3,00 |
-2,50 |
-2,00 |
-1,50 |
-1,00 |
-0,50 |
0,00 |
0,50 |
1,00 |
1,50 |
|
|
y |
1,79 |
1,10 |
0,64 |
0,50 |
0,74 |
1,28 |
2,00 |
2,72 |
3,26 |
3,50 |
||
|
|
||||||||||||
29
Окончание табл. 2
№ ва- |
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
рианта |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
x |
0,40 |
0,80 |
1,20 |
1,60 |
2,00 |
2,40 |
2,80 |
3,20 |
3,60 |
4,00 |
|
y |
2,58 |
3,08 |
3,40 |
3,50 |
3,36 |
3,01 |
2,50 |
1,91 |
1,34 |
0,86 |
||
|
||||||||||||
24 |
x |
0,43 |
0,94 |
1,45 |
1,96 |
2,47 |
2,98 |
3,49 |
4,00 |
4,51 |
5,02 |
|
y |
-0,75 |
0,42 |
0,98 |
0,78 |
-0,13 |
-1,52 |
-3,02 -4,27 -4,94 -4,86 |
|||||
|
||||||||||||
25 |
x |
-3,00 |
-2,50 |
-2,00 |
-1,50 |
-1,00 |
-0,50 |
0,00 |
0,50 |
1,00 |
1,50 |
|
y |
-1,37 |
-0,93 |
-0,30 |
0,63 |
2,11 |
4,52 |
8,00 |
11,48 |
13,89 |
15,37 |
||
|
||||||||||||
26 |
x |
-2,00 |
-1,60 |
-1,20 |
-0,80 |
-0,40 |
0,00 |
0,40 |
0,80 |
1,20 |
1,60 |
|
y |
16,30 |
15,59 |
14,57 |
13,06 |
10,85 |
8,00 |
5,15 |
2,94 |
1,43 |
0,41 |
||
|
||||||||||||
27 |
x |
-2,00 |
-1,60 |
-1,20 |
-0,80 |
-0,40 |
0,00 |
0,40 |
0,80 |
1,20 |
1,60 |
|
y |
-16,30 |
-15,59 |
-14,57 |
-13,06 |
-10,85 |
-8,00 |
-5,15 |
-2,94 |
-1,43 |
-0,41 |
||
|
||||||||||||
Лабораторная работа 8
Обработка экспериментальных данных. Аппроксимация по методу наименьших квадратов
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
Одной из задач обработки данных является регрессионный анализ – представление совокупности экспериментальных данных (xi, yi) при i=0,1, …,n некоторой функцией
Y(x)=f(x, a0, a1,…, am), (1)
называемой регрессией у на x.
Задача заключается в получении параметров ak, k=0,1, …,m функции (1) таких, чтобы сумма квадратов отклонений значений этой функции от экспериментальных данных была наименьшей:
n |
|
|
S(a0 , a1 , . .. , am ) (Y (xi ) yi )2 |
min |
(2) |
i 0
Метод построения такой зависимости получил название метода наименьших квадратов.
Параметры могут быть найдены в результате решения системы уравнений
S 0, j 0, 1, ..., m (3)
a j
Линейная регрессия описывает экспериментальные данные линейной функцией, соответствующей отрезку прямой:
30