Математический анализ / Контр. 1

1ИЭУПР, заочное отделение

Контрольная работа № 1.

1.1Пределы функций

1. Вычислить пределы:

a. lim

1 + 3x

;

ln(x + 1)

x!2

b. lim

3x2 + 2x + 1

;

x3 + 1

x!1

c. lim

x2 4

;

x!2

x2p 4x + 4p

d. lim

2 x

x + 6

;

x2 x 6

x! 2

e. lim

sin 2x

;

arcsin x

x!0

3x

1

lim (3x

;

8) x 3

f. x!3

2. Вычислить пределы:

a. lim

1 + ex

;

x!0

3 + sin x

b. lim

8x4 x2 + 3

;

x!1

2x4 + 1

c. lim

x3 4x2 + 3x

;

x!1

x2

+ 4x

5

p

p

d. lim

3 + 2x

x + 4

;

x!1

x2 4x + 3

e. lim

1 cos x

;

x!0

1 cos 2x

f. xlim (1 x) (ln(2 x) ln(3 x));

!1

3. Вычислить пределы:

p

x2 + 3

a. lim

;

x2+1

x!0

e

b. lim

8x5 x2 + 1

;

x!1 x3 + 2x

3

x

3

2

lim

x

+ 2x 2

c. x 1

p

2

p

;

!

x

x + 1

3

d. lim

x 5x + 6

;

x!2

x3 x2 2x

e. lim

x sin x

;

x!0

1 cos 8x

1

lim

2 x

x+2

;

f. x!1

x

4. Вычислить пределы:

a. lim

x + 2x

;

x3 + 2x

x!3

b. lim

3x4 x3 + x2

;

x!1

8x4 + x2 + 1

c. lim

x2 7x + 10

;

x!2

x2

5x + 6

p

p

lim

p

6 x

p

x 2

;

d. x 4

5 x

x 3

!

2

e. lim

cos x cos

x

;

x!0

x

sin x

f. x!1

(x+2)

x 2

;

lim

x + 1

5. Вычислить пределы:

a. lim

2 + 2x

;

x! 1 x2 + arctg x

b. lim

1 x2 x4

;

x!1

2

x2 + x3

2

1

c. lim

x

;

x3

x!1

5x2 + 4x

p

p

d. lim

2 + x

6 x

;

x!2

x2

x

2

2

e. lim

sin

x

;

x!0

x tg 3x

f. xlim (1 + x) (ln(2x 1) ln(2x + 3));

!1

6. Вычислить пределы:

a. lim

x2 + sin x

;

2

x!0

1 + cos x

b. lim

1 + 3x x5

;

x!1 2x5 + x2 + 1

c. lim

x2 9x

;

x!3

x2

x

6

2

lim

x

+ x 12

;

d. x!3

px

2 2 p4 x

e. lim

sin

2x

;

x!0 1

3x

cos x

;

lim (3

x)

x 2

f. x!2

7. Вычислить пределы:

2

a. lim

p

;

x2 5

x!3

x2 + 1

b. lim

x2 + x + 1

;

2x4

1

x!1

x

2

c. lim

25

;

x2

x!5

7x + 10

p

p

d. lim

x + 8

2x + 12

;

x! 4

x2 + 2x 8

e. lim

1 cos 4x

;

x!0

x arcsin x

f. xlim (x 3) (ln(x + 4) ln(x + 1));

!1

8. Вычислить пределы:

a. lim

arctg x + x

;

x!1

arcsin x + x2

b. lim

x3 1

;

x!1 x2

1

x

2

c. lim

4x + 3

;

x2

x!1

2x + 1

p

p

d. lim

x + 1

5 x

;

x!2

x3

5x2 + 6x

3

e. lim

cos x cos

x

;

x!0

x

sin2 x

3x

lim

x + 1

x 2

;

f. x!1

9. Вычислить пределы:

x2 + 2x

a. lim

;

1 + 2

x

x!2

b. lim

1 + 2x x4

;

x!1 2 + x2

3x4

x

2

c. lim

5x + 6

;

x2

x!2

4x + 4

p

p

d. lim

x 1

5 x

;

x!3

x2 4x + 3

e. lim

1 cos x

;

x!0

x

tg x

x

;

lim (2

x)

1 x

f. x!1

10. Вычислить пределы:

a. lim

2x + sin2x

;

x!0

x3 + cos x

2x2 + x + 1

b. lim

;

x!1 2x3

+ x + 1

3

c. lim

x2 4x + 4

;

x!2

x3

6x2 + 8x

p

p

d. lim

x + 1

3 x

;

x!1

x2

2x + 1

2

e. lim

cos x cos

x

;

x!0

1

sin 2x

x

));

lim

x

+ 2) ln(6

x

x

f. x!2

2 (ln(

1.2Непрерывность функций. Точки разрыва.

11. Исследовать функцию y(x) на непрерывность и определить

характер точек разрыва :

x + 4 a. y = x3 + 4x2 ;

sin x b. y = jxj ;

12. Исследовать функцию y(x) на непрерывность и определить характер точек разрыва :

x 3

a. y = x2 x 6;

tg x b. y = jxj ;

13. Исследовать функцию y(x) на непрерывность и определить

характер точек разрыва :

jx 5j a. y = x2 4x 5;

1 b. y = 2x 1;

14. Исследовать функцию y(x) на непрерывность и определить

характер точек разрыва :

x 2 a. y = x3 2x2 ;

jxj

b. y = 1 cos x;

15. Исследовать функцию y(x) на непрерывность и определить характер точек разрыва :

x 1

a. y = x2 + 3x 4; b. y = jxj ctg x;

16. Исследовать функцию y(x) на непрерывность и определить характер точек разрыва :

4

jx + 3j a. y = x2 + x 6;

1 b. y = 1 4x ;

17. Исследовать функцию y(x) на непрерывность и определить

характер точек разрыва :

x + 5 a. y = x3 + 5x2 ;

b. y = sinjxjx;

18. Исследовать функцию y(x) на непрерывность и определить характер точек разрыва :

x + 1

a. y = x2 2x 3; b. y = tgjxxj ;

19. Исследовать функцию y(x) на непрерывность и определить

характер точек разрыва :

jx + 4j a. y = x2 + 5x + 4;

1 b. y = 3x 9;

20. Исследовать функцию y(x) на непрерывность и определить

характер точек разрыва :

x 2 a. y = x3 2x2 ;

b. c. y = 1 cos 2x; jxj

1.3Производные функций

21. Найти первые производные y’(x) следующих функций, у первых пяти функций найти и вторую производную y”(x):

2

4

x5

a. y =

+

;

x

x2

5

3

p4

2x)

3x + 1;

b. y = (x2

x

+ 2x

c. y =

p

;

3x3 4

3

d. y = (sin 3x + cos 32x) px;

e. y = arctg (2x x );x

f. y = 4x arccos x

e

;

x

g. y = p3

;

2 + lg x

5

h. y = ln cos						1	;
						x			;
i.	y	= sin	3		x		cos2 3x
				3cos 3x
		p						;
j. y = (			x)

22. Найти первые производные y’(x) следующих функций, у первых пяти функций найти и вторую производную y”(x):

a. y = 6x7 + p3

+

7

;

x5

x

p

b. y =

x + 1

;

2

(x + 7)

c. y = tg 5x + cos

1

;

x

x

d. y = arctg

;

2 + 4x

e. y = p

arcsin x + sin2 4x;

x

3

f. y = esinpx;

g. y = ln

1x x2;

3x + 6 ;

h. y = 2

i. y = p5

tg p

+ p

;

x

x

j.y = (ln x)x2 ;

23.Найти первые производные y’(x) следующих функций, у первых

пяти функций найти и вторую производную y”(x):

a.y = x8 3p3 x2 + x13 ;

(1 x)8

b.y = (1 + x)3 ;

c.y = sin(tg x);

d.y = (2 + x) (1 x2);

e.y = px arctg px;

f.y = arctg sin x + cos x; sin x cos x

1

g. y = arccos2 x2 ;

r

h. y = ln 1 + cos x; sin x

i.y = e x3 (x2 x + 2);

j.y = xtg2 x;

24.Найти первые производные y’(x) следующих функций, у первых

пяти функций найти и вторую производную y”(x):

a. y = 8x	5	p		1		;
		2 x +			x5

6

b. y =

(x 1) (x + 2)

;

(x 4)2

;

c.

y

x

sin(1

x)

= cos 8

2

d. y = arcsin(1 + x );

e. y = p3

p

;

cos 4x

sin 3x

f. y = e sin x;

g. y = ln(p3

+ p5

);

x

x

h. y =

cos2(2x)

;

2x

p

i. y = arctg ln2 x + 1;

j.y = xln(x+3);

25.Найти первые производные y’(x) следующих функций, у первых

пяти функций найти и вторую производную y”(x):

p

p3

1

;

a. y = x +

x + 1

x5

b. y =

p

x

;

x2 + 1

c. y = (5 + x)8 2(x + p

);

x

d.

y = x

arcsin

x

;

2

e. y = ln(sin x);

p

f.y = ex 1 x;

g.y = ln tg x2 cos x tg x;

h. y = arctg ex2+3x ;

i.y = 5sin3 px;

j.y = (ln x)tg x;

26.Найти первые производные y’(x) следующих функций, у первых

пяти функций найти и вторую производную y”(x):

p1

a.y = x7 + 4 x x5 ;

b.y = (x 2)2 ; x + 3p

c. y = x + 1 (3x + 2)3;

1

d. y = arctg(x2 + 1); p

e. y = sin(5 cos x); p

f. y = arcsin x2 1;

1+ x2

g.y = ln x3 x;

h.y = 10sin3(x2 1);

i.y = 1 + ln3 x; ln x

7

j.y = (arcsin x)(x2+1);

27.Найти первые производные y’(x) следующих функций, у первых

пяти функций найти и вторую производную y”(x):

a. y = 4x

8

p5

3

;

2

+ 2

x

x2

b. y =

x 2p

;

x

(x 5)2

p

2

;

c. y = (4x 5)

1 x

d. y = cos 8x sin 4x;

e. y =

arcsin p

x

;

xp

f. y = ctg(x x 2);

g. y = arctg2

1 x

;

x

i. y = x + px

+ 1;

h. y = ln

cos2 p

x + 1

;

p

j.y = (tg x)sin x;

28.Найти первые производные y’(x) следующих функций, у первых

пяти функций найти и вторую производную y”(x): a. y = x5 + 3p3 x2 x23 ;

	y =	x3		1
b.		p			;

x 2

c.y = (x + 3)5 (1 2x)2;

d.y = cos 5x x tg(3x 1); p

e. y = arcsin x + 1;

f. y = 1 cos3 x; sin2 x

p

g.y = esin x+1;

h.y = ln2 arctg (px + 1)3; p

i.y = 2 x + 2x cos x;

j.y = (cos2 x)ln x;

29.Найти первые производные y’(x) следующих функций, у первых

пяти функций найти и вторую производную y”(x):

a. y = x	5	p			3		;
				3
		8 x			+
						x + 1

b.y = (x 1)2 (x + 2)3;

c.y = (x + 1)2 ;

x 2 p

	d. y = tg 2x tg		x;
	e. y =	sin x cos x	;
		ctg x

8

x3

+ 1

;

f. y = arctg

+ 1

x2

g. y = ln

x + cos x

;

x + sin x

h. y = earcsin2(x+3);

ln(x + 1)

i. y =

p

;

lnp

x

1

j. y = x

sin x

;

30. Найти первые производные y’(x) следующих функций, у первых

пяти функций найти и вторую производную y”(x): p

a.y = 7x4 3 5 x3; p

x + 1

b.y = (x + 3)2 ;

c.y = (7x + 3)2 (1 2x);

d.y = ln x +x 1;

e.y = 2 tg(arcsin x);

f.		r
			1	+ sin x;
	y =		1	sin x

p

g. y = x ln2(xp+ 1 + x2);

h. y = 10ln(tg x);

e2x

i. y = ln e2x + 1; j. y = xtg x;

1.4 Свойства функции

31. Провести полное исследование функций и построить графики:

x 1 a. y = x2 2x;

b. y = (x + 1)e1 x;

32. Провести полное исследование функций и построить графики:

a. y = (x 1)2 ; x2

b.y = (x + 4)e2x;

33.Провести полное исследование функций и построить графики:

		x2
a. y =				;
	x2 + 4				;
b. y = ln		x + 2
			x + 1

34. Провести полное исследование функций и построить графики:

9

	a. y =	4x 2	;
		x2

b.y = xex 1;

35.Провести полное исследование функций и построить графики:

1

a. y = x2 9;

b. y = ln(x2 4x + 8);

36. Провести полное исследование функций и построить графики:

a. y = x2 x+ 3; b. y = xe x;

37. Провести полное исследование функций и построить графики:

x3 a. y = x2 1;

1

b. y = ex+2 ;

38. Провести полное исследование функций и построить графики:

a. y = 4x3 + 5; x

b. y = (x + 2) ln x;

39. Провести полное исследование функций и построить графики:

a. y = 2 x3 ;

2x

b.y = ln(x2 + 2x + 2);

40.Провести полное исследование функций и построить графики:

a.y = x2 + x2 ;

1

b.y = ex 3 ;

1.5Функции нескольких переменных

41.Найти частные производные 1 и 2 порядков функции z=f(x,y):

a.z = cos(e2y 2x);

42.Найти частные производные 1 и 2 порядков функции z=f(x,y):

a.z = sin(x + cos y);

43.Найти частные производные 1 и 2 порядков функции z=f(x,y):

a.z = ln(x2 + 3y);

44.Найти частные производные 1 и 2 порядков функции z=f(x,y):

y

a. z = 2xy + x ex ;

45. Найти частные производные 1 и 2 порядков функции z=f(x,y):

x

a.z = ey ln y;

46.Найти частные производные 1 и 2 порядков функции z=f(x,y):

a.z = cos(y sin x);

10