- •ЛЕКЦИЯ 9
- •Основные понятия
- •Основные понятия
- •Основные понятия
- •Основные понятия
- •Основные понятия
- •Основные понятия
- •Основные понятия
- •Важно!
- •Порядковые статистики
- •Порядковые статистики
- •Способы представления выборки
- •Способы представления выборки
- •Группированный статистический ряд
- •Эмпирическая функция распределения
- •Пример
- •Важно!
- •Почему это важно:
- •Еще один пример
- •График
- •Общая запись эмпирической функции распределения
- •Замечание
- •Пример
- •Пример
- •Пример
- •Свойства эмпирической функции распределения
- •Свойства эмпирической функции распределения
- •Теорема 1
- •Теорема 2 (теорема Колмогорова)
- •Теорема Колмогорова
- •Группировка выборки
- •Группированный статистический ряд
- •Группировка выборки
- •Пример. Неупорядоченная выборка
- •Упорядоченная выборка
- •Нахождение числа интервалов k и длины интервала h
- •Таблица частот группированной выборки
- •Группированная выборка
- •Графические характеристики выборки
- •Замечание
- •Задача
- •Смысл гистограммы и полигона
- •Замечание
- •Гистограмма и плотность
- •Кумулята
Общая запись эмпирической функции распределения
|
0 |
при |
x x1 , |
|
k |
|
|
|
|
Fn x |
|
при xk x xk 1, k 1,2,...,n 1 |
||
|
||||
n |
1 |
при |
x xn , |
|
|
Замечание
По эмпирической функции распределения легко построить другие способы представления выборки, например, статистический или вариационный ряд.
Пример
|
|
|
0, |
|
3 |
/ 20, |
|
|
|
/ 20, |
|
5 |
|||
|
|
|
|
8 |
/ 20, |
||
Fn (x) |
13 |
/ 20, |
|
|
|||
14 |
/ 20, |
||
|
|
|
/ 20, |
17 |
|||
|
|
|
1, |
|
|
|
x 5 5 x 7 7 x 8
8 x 12
12 x 15
15 x 20
20 x 23 x 23
Пример
Этой эмпирической функции распределения Fn(x) соответствует выборка, заданная статистическим рядом:
X |
5 |
7 |
8 |
12 |
15 |
20 |
23 |
ni |
3 |
2 |
3 |
5 |
1 |
3 |
3 |
Пример
Задача. Дана Fn(x) из предыдущего примера. Сколько в выборке значений:
а) равных 15, б) не больших 11?
Решение.
а) 1 значение равно 15, б) 8 значений не больше 11.
Свойства эмпирической функции распределения
Эмпирическая функция распределения – сжатая характеристика выборки. Для каждой реализации х = (x1,... ,xn) функция однозначно определена и обладает всеми свойствами функции распределения:
изменяется от 0 до 1;
не убывает;
непрерывна слева;
Fn(x)=0 при х < х* и Fn(x) =1 при х > х*,
она кусочно –постоянна и возрастает только в точках последовательности.
Свойства эмпирической функции распределения
Пусть Fn(x) – эмпирическая функция распределения, построенная по выборке Х из распределения , и F (x) – соответствующая теоретическая функция.
Тогда:
1) M[Fn (x)] F (x)
p
2) Fn (x) F (x)
Теорема 1
Пусть Fn(x) – эмпирическая функция распределения, построенная по выборке Х из распределения , и F (x)
– соответствующая теоретическая
функция |
распределения. Тогда для |
любого |
– ∞ < х < + ∞ и любого > 0 |
lim P(| Fn (x) F(x) | ) 1.
n
Теорема 2 (теорема Колмогорова)
Если функция F(x) непрерывна, то при любом фиксированном t > 0
lim P |
|
|
|
t K t |
|
1 je 2 j2t2 |
|||
|
nDn |
|
|||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
Dn sup |
|
Fn x |
F x |
|
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
функция Колмогорова (хорошее приближение при 20).
Теорема Колмогорова
Теорема справедлива для любой непрерывной функции и позволяет найти границы, в которых с заданной вероятностью 0< <1 находится теоретическая функция F(x). Если задана вероятность , то при больших п с вероятностью, близкой к F(x) удовлетворяет
неравенству |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fn x F x |
|
|
t |
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
n |
||||
|
|
|
где величина t вычисляется как корень уравнения K. t