- •ЛЕКЦИЯ 12
- •Статистическое оценивание характеристик распределения генеральной совокупности
- •Точечные оценки
- •Пример
- •Очевидно, что оценка является функцией элементов выборки, т. е.,
- •Несмещенность
- •Несмещенные оценки в N(a,σ)
- •Состоятельность
- •Пример
- •Теорема
- •Оптимальность
- •Нижняя граница дисперсий
- •Эффективность
- •Методы нахождения оценок:
- •Пример
- •Замечание
- •Свойства о.м.м.
- •Методы нахождения оценок: метод
- •Функция правдоподобия L(X,θ)
- •Метод максимального правдоподобия
- •Метод максимального правдоподобия
- •Пример. Найти оценку параметра a в
ЛЕКЦИЯ 12
Теория вероятностей и математическая статистика
Статистическое оценивание
Статистическое оценивание характеристик распределения генеральной совокупности
Основная задача математической статистики состоит в нахождении распределения наблюдаемой случайной величины Х по данным выборки. Во многих случаях вид распределения Х можно считать известным, и задача сводится к получению приближенных значений неизвестных параметров этого распределения.
2
Точечные оценки
Рассмотрим параметрическую модель (Fθ) и выборку (X1, X2,..., Xn) . (То есть это выборка наблюдений случайной величины, у которой известен вид функции распределения F, и F зависит от одного неизвестного параметра θ). Точечной оценкой неизвестного параметра θ называется функция элементов выборки, используемая для получения приближенного значения θ.
3
Пример
Выборочное среднее есть оценка математического ожидания.
Отсюда следует, что выборочное среднее есть оценка параметра a в N(a,σ).
aˆ x
4
Очевидно, что оценка является функцией элементов выборки, т. е.,
x1, x2 ,...xn
Замечание. Любую функцию элементов выборки называют статистикой.
Т.о., оценка – это статистика, используемая для приближенного нахождения значения параметра.
5
Несмещенность
Оценка параметра θ называется
несмещенной, если
M ( )
Доказывали, что M x a.
Значит, в любом распределении, у которого
матожидание равно параметру, выборочное среднее есть несмещенная оценка этого параметра.
6
Несмещенные оценки в N(a,σ)
|
|
|
|
MS 2 n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
2 2 . |
|
M |
|
a. |
|
|
MS |
||||
x |
|
||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В N(a,σ):
выборочное среднее – несмещенная оценка параметра a,
выборочная дисперсия – смещенная оценка σ2,
исправленная выборочная дисперсия – несмещенная оценка σ2.
7
Состоятельность
Оценка параметра θ называется
состоятельной, если
p
т.е.,
P 0
при n
8
Пример
p
x a.
Значит, в любом распределении, у которого математическое ожидание равно параметру, выборочное среднее есть состоятельная оценка этого параметра.
9
Теорема
Если |
|
|
|
M ( ) , |
D( ) 0 |
||
|
|||
|
n |
n |
|
|
|
|
то ─ состоятельная оценка параметра θ.
10