Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекция / Лекция 12. Статистическое оценивание.ppt
Скачиваний:
59
Добавлен:
01.06.2015
Размер:
418.3 Кб
Скачать

Оптимальность

Для параметра θ может быть предложено несколько несмещенных оценок. Мерой точности несмещенной оценки считают ее дисперсию D( ).

Несмещенная оценка параметра θ называется оптимальной, если она имеет минимальную дисперсию среди всех несмещенных оценок этого параметра.

11

Нижняя граница дисперсий

Для дисперсии несмещенной оценки

параметра θ выполняется неравенство Рао – Крамера:

D( )

In

In

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

In

 

 

 

 

nM

 

ln fX X ,

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nM

 

ln p X , 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

Эффективность

Несмещенная оценка параметра θ называется эффективной, если ее дисперсия равна нижней границе Рао –Крамера:

 

1

D( ) In

13

Методы нахождения оценок:

метод моментов

Теоретические моменты случайной величины зависят от параметра, а выборочные моменты зависят от элементов выборки. Но выборочные приближенно равны теоретическим. Приравняем их, и получим уравнения, связывающие параметр и элементы выборки. Выразим из них параметр. Полученная функция и называется оценкой метода моментов (о.м.м.).

14

Пример

Пусть (X1, X2,..., Xn) — выборка объема n из распределения R[0,θ] (равномерного на отрезке [0,θ]).

 

 

 

 

 

 

• MX 2 .

 

 

 

2

 

 

• MX

 

 

X

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• X 2

 

 

 

15

Замечание

Для оценивания одного параметра обычно приравнивают выборочное среднее и математическое ожидание, для двух – выборочную и теоретическую дисперсии:

MX X

DX S 2

16

Свойства о.м.м.

Если оценка параметра, полученная по методу моментов, является непрерывной функцией, то она состоятельна.

p

17

Методы нахождения оценок: метод

максимального правдоподобия

Суть метода в том, что в качестве «наиболее правдоподобного» значения параметра берут значение, максимизирующее вероятность получить при опытах данную выборку

(X1, X2,..., Xn).

18

Функция правдоподобия L(X,θ)

L( X , ) f ( X1, ) f ( X 2 , ) f ( X n , )

 

n

 

 

f ( Xi , )

для непр. сл. в.

 

i 1

 

 

L( X , ) P ( X X1 ) P ( X X 2 ) P ( X X n )

 

n

 

 

P ( X Xi )

для дискр. сл. в.

 

i 1

 

 

19

Метод максимального правдоподобия

Оценкой максимального правдоподобия (о.м.п.) неизвестного параметра θ называют значение, при котором функция правдоподобия достигает максимума (как

функция от θ при фиксированных (X1, X2,..., Xn). Это значение параметра зависит от выборки и является искомой оценкой.

20