- •ЛЕКЦИЯ 12
- •Статистическое оценивание характеристик распределения генеральной совокупности
- •Точечные оценки
- •Пример
- •Очевидно, что оценка является функцией элементов выборки, т. е.,
- •Несмещенность
- •Несмещенные оценки в N(a,σ)
- •Состоятельность
- •Пример
- •Теорема
- •Оптимальность
- •Нижняя граница дисперсий
- •Эффективность
- •Методы нахождения оценок:
- •Пример
- •Замечание
- •Свойства о.м.м.
- •Методы нахождения оценок: метод
- •Функция правдоподобия L(X,θ)
- •Метод максимального правдоподобия
- •Метод максимального правдоподобия
- •Пример. Найти оценку параметра a в
Оптимальность
Для параметра θ может быть предложено несколько несмещенных оценок. Мерой точности несмещенной оценки считают ее дисперсию D( ).
Несмещенная оценка параметра θ называется оптимальной, если она имеет минимальную дисперсию среди всех несмещенных оценок этого параметра.
11
Нижняя граница дисперсий
Для дисперсии несмещенной оценки
параметра θ выполняется неравенство Рао – Крамера:
D( )
In
In
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
In |
|
|
|
|
|||
nM |
|
ln fX X , |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
nM |
|
ln p X , 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
12 |
Эффективность
Несмещенная оценка параметра θ называется эффективной, если ее дисперсия равна нижней границе Рао –Крамера:
|
1 |
D( ) In
13
Методы нахождения оценок:
метод моментов
Теоретические моменты случайной величины зависят от параметра, а выборочные моменты зависят от элементов выборки. Но выборочные приближенно равны теоретическим. Приравняем их, и получим уравнения, связывающие параметр и элементы выборки. Выразим из них параметр. Полученная функция и называется оценкой метода моментов (о.м.м.).
14
Пример
Пусть (X1, X2,..., Xn) — выборка объема n из распределения R[0,θ] (равномерного на отрезке [0,θ]).
|
|
|
|
|
|
||
• MX 2 . |
|
|
|
||||
2 |
|
|
|||||
• MX |
|
|
X |
|
|||
X |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
• X 2 |
|
|
|
15
Замечание
Для оценивания одного параметра обычно приравнивают выборочное среднее и математическое ожидание, для двух – выборочную и теоретическую дисперсии:
•MX X
•DX S 2
16
Свойства о.м.м.
Если оценка параметра, полученная по методу моментов, является непрерывной функцией, то она состоятельна.
p
17
Методы нахождения оценок: метод
максимального правдоподобия
Суть метода в том, что в качестве «наиболее правдоподобного» значения параметра берут значение, максимизирующее вероятность получить при опытах данную выборку
(X1, X2,..., Xn).
18
Функция правдоподобия L(X,θ)
L( X , ) f ( X1, ) f ( X 2 , ) f ( X n , ) |
|
|
n |
|
|
f ( Xi , ) |
для непр. сл. в. |
|
i 1 |
|
|
L( X , ) P ( X X1 ) P ( X X 2 ) P ( X X n ) |
|
|
n |
|
|
P ( X Xi ) |
для дискр. сл. в. |
|
i 1 |
|
|
19
Метод максимального правдоподобия
Оценкой максимального правдоподобия (о.м.п.) неизвестного параметра θ называют значение, при котором функция правдоподобия достигает максимума (как
функция от θ при фиксированных (X1, X2,..., Xn). Это значение параметра зависит от выборки и является искомой оценкой.
20