- •ЛЕКЦИЯ 10
- •Выборочные точечные оценки параметров
- •Выборочные точечные оценки параметров
- •Вспомним, что:
- •Числовые характеристики выборки
- •Выборочное среднее по статистическому ряду
- •Найдем дисперсию случайной X X1 X2 … Xn величины X по
- •Выборочная дисперсия
- •Исправленная выборочная дисперсия
- •Замечание
- •Замечание
- •Выборочное среднеквадратическое отклонение
- •Выборочный начальный момент порядка l
- •Выборочный центральный момент порядка l
- •Выборочный коэффициент асимметрии
- •Подробные формулы выборочного коэффициента асимметрии
- •Выборочный коэффициент эксцесса
- •Подробные формулы выборочного коэффициента эксцесса
- •Коэффициент вариации
- •Характеристики, вычисляемые по группированному ряду
- •Характеристики, вычисляемые по группированному ряду
- •Обозначения
- •Характеристики, вычисляемые по группированному ряду
ЛЕКЦИЯ 10
Теория вероятностей и математическая статистика
Выборочные характеристики
Выборочные точечные оценки параметров
Выборочное среднее
Выборочная дисперсия
Выборочная исправленная дисперсия
Выборочное среднеквадратическое отклонение
Выборочный начальный момент порядка l
Выборочный центральный момент порядка l
2
Выборочные точечные оценки параметров
Выборочный коэффициент асимметрии
Выборочный коэффициент эксцесса
Коэффициент вариации
Выборочная мода
Выборочная медиана
Выборочная квантиль порядка q
3
Вспомним, что:
Эмпирическая функция распределения выборки совпадает с функцией распределения дискретной случайной величины X, заданной рядом распределения:
X X1* |
X2* |
… Xn* |
P 1/n |
1/n |
… |
1/n |
4 |
|
||||
|
|
|
|
Числовые характеристики выборки
X |
X1 |
X2 |
… |
Xn |
Выборочное среднее |
|
|
|
|
|
(по вариационному ряду |
|
|
|
|
|
x1,x2,…,xn) |
P |
1/n |
1/n |
… |
1/n |
|
MX 1 n xi n i 1
x 1 n xi
n i 1
5
Выборочное среднее по статистическому ряду
X
P
X1 |
X2 |
… |
Xk |
n1 /n |
n2 /n |
… |
nk /n |
Выборочное
среднее
(по статистическому ряду)
MX 1 k xi ni n i 1
x 1 k xi ni
n i 1
6
Найдем дисперсию случайной X X1 X2 … Xn величины X по
вариационному ряду x1,x2,
…,xn
P 1/n 1/n … 1/n
DX M ( X MX )2 1 n (xi MX )2 . n i 1
Или :
MX 2 (MX )2 1 n xi 2 (MX )2 n i 1
7
Выборочная дисперсия
S 2 |
1 xi x |
2 |
1 xi 2 |
x 2 |
||
|
||||||
|
n |
|
n |
|
|
|
|
n i 1 |
|
n i 1 |
|
|
|
|
|
1 |
k |
2 |
|
1 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S 2 |
|
xi |
|
|
ni |
xi |
2ni |
|
2 |
||
x |
x |
||||||||||
|
|
n i 1 |
|
|
|
n i 1 |
|
|
|
8
Исправленная выборочная дисперсия
S 2 |
1 xi x |
2 |
n S 2 |
|||
|
||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 i 1 |
|
n 1 |
|
|
1 |
|
k |
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S 2 |
|
xi |
|
|
ni |
S 2 |
||||
|
x |
|||||||||
n |
|
n 1 |
||||||||
|
|
1 i 1 |
|
|
|
|
9
Замечание
Чтобы из формулы числовой характеристики сл.в. получить формулу выборочной характеристики, нужно:
заменить обозначение сл.в. обозначением элемента выборки (xi)
заменить знак математического ожидания М[..] на
1 n [..] n i 1
10