Демонстрационная презентация курса

Теория вероятностей и математическая статистика

Для студентов Института экономики СФУ 2011

Т.В. Крупкина

Лекция 1. Введение в теорию вероятностей

Предметом теории вероятностей является математический анализ случайных явлений, то есть разработка и применение математического аппарата для изучения явлений, имеющих случайную природу.

Главным обстоятельством, которое определяет границы применимости теории вероятностей, является наличие у изучаемых явлений свойства

«статистической устойчивости».

СФУ Т.В. Крупкина

2

Равновозможные исходы

Рассмотрим некоторый опыт с конечным числом n всевозможных взаимоисключающих друг друга исходов, которые являются равновозможными. Пусть А – некоторое событие, связанное с этим исходом.

Вероятность p(A) можно определить, как долю тех исходов, в результате которых это событие осуществляется.

СФУ Т.В. Крупкина

3

Классическое определение вероятности

Пусть n – число всех исходов, n(A) – число благоприятных исходов, в результате которых осуществляется событие A.

P A n A n

СФУ Т.В. Крупкина

4

Формулы комбинаторики

Число перестановок

Число перестановок из n элементов равно

Pn n!

СФУ Т.В. Крупкина

5

Выбор без возвращения

Число размещений

С помощью этой формулы можно подсчитать, сколько существует различных способов выбрать и разместить по различным местам k из n различных элементов.

Формула числа размещений имеет вид:

Ak	n!
n	(n k )!

СФУ Т.В. Крупкина

6

Выбор без возвращения

Число сочетаний

С помощью этой формулы можно подсчитать, сколько существует различных способов выбора из n элементов k, не учитывая порядок элементов в выбранной последовательности. Формула числа сочетаний имеет вид:

	Cnk	n!
		(n k)!k!

СФУ Т.В. Крупкина

7

Статистическое определение

вероятности

Пусть рассматриваемый опыт можно повторять многократно, и пусть N – число всех повторений опыта, а N(А) – число тех из них, в которых осуществлялось событие А. Отношение N(А)/N называется частотой

события А в данной серии испытаний.

СФУ Т.В. Крупкина

8

Статистическое определение

вероятности

Практика показывает, что для многих событий частота при больших п мало меняется, колеблясь около некоторого постоянного значения P*, которое можно

назвать статистической вероятностью события А,

P A N A

N

СФУ Т.В. Крупкина

9

Лекция 2. Основания теории вероятностей

Пространством элементарных исходов Ω

называется множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называют элементарными исходами и обозначают буквой ω.

1, 2 ,K , n

СФУ Т.В. Крупкина

10