ЛЕКЦИЯ 15

Теория вероятностей и математическая статистика

Проверка параметрических гипотез

Общая схема проверки параметрических гипотез

1.Сформулировать статистическую параметрическую модель, нулевую и альтернативную гипотезы, задать уровень значимости α.

2. Выбрать статистику Т, такую, что она сама зависит от параметра θ, а ее распределение

от θ не зависит, и различается при H0 и при H1. 3. Найти критическую область V.

4.Рассчитать по выборке значение ст –ки Тв.

5.Если Тв попадает в критическую область V, то нулевая гипотеза отвергается (в пользу альтернативной). Если Тв не попадает в

критическую область V, то нулевая гипотеза не

отвергается.

6. Сформулировать ответ в терминах вопроса.

Замечание. Гипотеза H0 отвергается или не отвергается с уровнем значимости α.

Пример

Автомат производит шарики диаметра 10 мм,

σ=0,3 мм. Выборочному контролю были подвергнуты 100 случайно взятых шариков.

Оказалось, что средний диаметр равен 10,06

мм. Можно ли считать это отклонение

случайным, или следует признать, что автомат

производит нестандартную продукцию?

Решение. N=100, a0=10, a1=10,06,

σ=0,3

1. Модель: N(θ,σ). (Далее будем

неизвестный параметр θ обозначать, как обычно, a.)

H0: a = a 0, H1: a > a0 .

α=0,05.

2. В случае, если справедлива H0 :

T x a0 N (0,1)

n

•3. Критическая область V =(t*,+∞), где

•t*=u1 –α/2 (квантиль нормального распределения порядка 1 –α/2). Область правосторонняя, поскольку в случае, когда справедлива H1, распределение статистики T сместится вправо.

T x a0 .

n

Если MX a0 , то

MT 0.

• 3. (Продолжение).

α =0,05; 1 –α =0,95. u1 –α/2=1,64.

Т.о., критическая область V =(1,64;+∞).

• 4.

T 10,06 10 2.

в	0,3
	100

•5. Тв попадает в критическую область V (поскольку 2>1,64). Следовательно, с уровнем значимости α =0,05 нулевая гипотеза H0 отвергается (в пользу альтернативной H1).

•6. Ответ. Отклонение нельзя считать

случайным, следует признать, что автомат

производит нестандартную продукцию.

Проверка гипотез о параметрах нормального распределения

Гипотезы о параметрах одного распределения (одна выборка).

Гипотеза о дисперсии.

(X1,, X2,...,Xn)€, N(a,θ), то есть параметр σ не известен.

H0: σ = σ0.

Гипотеза о дисперсии. H0: σ = σ0.

	nS 2		(n 1)		2
T				S		.
	2		2

При справедливой гипотезе H0

	nS 2	2 n 1
	2