- •ЛЕКЦИЯ 11
- •Свойства среднего выборочного
- •Свойства среднего выборочного
- •Свойства начальных моментов
- •Распределение χ2
- •Плотность распределения χ2 при разных k
- •Плотность распределения χ2(k)
- •Замечание
- •Распределение Стьюдента
- •Замечание
- •Плотность распределения Стьюдента
- •Плотность распределения Стьюдента
- •Замечание
- •Распределение Фишера
- •Плотность распределения Фишера
- •Плотность распределения Фишера
- •Матожидание распределения Фишера
- •Замечание
- •Замечание
- •Теорема Фишера
- •Теорема 1
ЛЕКЦИЯ 11
Теория вероятностей и математическая статистика
Свойства выборочных характеристик
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
Свойства среднего выборочного |
|
|
|
xi |
|
|
|
|
x |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть X – выборка объема n значений случайной величины, имеющей матожидание a, дисперсию σ2. Тогда
1. M x a.
|
|
|
|
|
|
|||
Доказательство. |
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
Mxi |
|
|
|
|
|
|||||
M x M |
xi |
n |
|
|||||
|
|
n |
i |
|
|
i |
|
|
1 |
a na |
a. |
|
|
|
|
||
n |
i |
n |
|
|
|
|
|
2
Свойства среднего выборочного
2. |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dx n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
xi |
|
|
|
1 |
Dxi |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Dx |
D |
|
|
|
|
||||||||
n |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
n |
i |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
1 |
2 |
|
n 2 |
|
|
2 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n |
2 |
n |
2 |
|
n |
||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
3
Свойства среднего выборочного
4.
3.
|
|
|
|
|
|
|
a, |
|
|
. |
|
|
|
p |
|
|
|
u N |
|||||
|
|
|
|
x |
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
Свойства начальных моментов
|
|
|
p |
|
|
|
al l . |
Ma |
. |
|
|
l l |
|
|
|
|
|
|
|
|
Dal D l . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
D l |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
al u N |
|
l , |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
||
|
|
S2 |
|
(xi |
|
)2 |
|
|
|
Свойства выборочной дисперсии |
x |
|
|||||
|
|
|
|
n i 1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
MS 2 |
|
2 . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
S2 |
xi 2 ( |
|
)2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
n i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2X |
S2(X-c) . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
DS 2 |
O |
1 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
n |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
,O |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u N |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
Распределение χ2
Распределением 2 с k степенями свободы
называется распределение случайной величины 2(k), равной сумме квадратов k
независимых нормально распределенных по закону N(0,1) случайных величин Ui i=1,2,…,k,
т.е. распределение случайной величины
2 k U12 U22 Uk2
7
Плотность распределения χ2 при k=7
8
Плотность распределения χ2 при разных k
k |
k |
1 < k |
2 < k |
3 |
1 |
|
|
|
k 2
k 3
9
Плотность распределения χ2(k)
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
2 x |
|
|
|
|
|
x |
|
k |
k |
|
||||
|
|
2 |
|
|
|||
|
2 |
|
|
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
k 2 |
|
x |
x 0 |
|
e |
|
|||
|
|
, |
x 0 |
|
2 |
2 |
M 2 k k |
D 2 k 2k |
10