Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекция / Лекция 11. Свойства выборочных харрактеристик.ppt
Скачиваний:
51
Добавлен:
01.06.2015
Размер:
388.1 Кб
Скачать

ЛЕКЦИЯ 11

Теория вероятностей и математическая статистика

Свойства выборочных характеристик

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

Свойства среднего выборочного

 

 

 

xi

 

 

 

x

 

i 1

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть X – выборка объема n значений случайной величины, имеющей матожидание a, дисперсию σ2. Тогда

1. M x a.

 

 

 

 

 

 

Доказательство.

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

Mxi

 

 

 

 

 

M x M

xi

n

 

 

 

n

i

 

 

i

 

1

a na

a.

 

 

 

 

n

i

n

 

 

 

 

 

2

Свойства среднего выборочного

2.

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Dx n .

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство.

 

 

 

 

 

 

 

 

1

xi

 

 

 

1

Dxi

 

 

 

 

 

 

Dx

D

 

 

 

 

n

2

 

 

 

 

n

i

 

 

 

 

 

 

i

 

1

2

 

n 2

 

 

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

2

n

2

 

n

 

 

i

 

 

 

 

 

 

3

Свойства среднего выборочного

4.

3.

 

 

 

 

 

 

 

a,

 

 

.

 

 

p

 

 

 

u N

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

Свойства начальных моментов

 

 

 

p

 

 

 

al l .

Ma

.

 

l l

 

 

 

 

 

 

 

 

Dal D l .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

al u N

 

l ,

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

n

 

 

 

S2

 

(xi

 

)2

 

 

Свойства выборочной дисперсии

x

 

 

 

 

 

n i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

n

 

 

 

 

 

 

MS 2

 

2 .

 

 

 

 

 

 

S2

xi 2 (

 

)2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

n i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S2X

S2(X-c) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DS 2

O

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

,O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u N

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

Распределение χ2

Распределением 2 с k степенями свободы

называется распределение случайной величины 2(k), равной сумме квадратов k

независимых нормально распределенных по закону N(0,1) случайных величин Ui i=1,2,…,k,

т.е. распределение случайной величины

2 k U12 U22 Uk2

7

Плотность распределения χ2 при k=7

8

Плотность распределения χ2 при разных k

k

k

1 < k

2 < k

3

1

 

 

 

k 2

k 3

9

Плотность распределения χ2(k)

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

2 x

 

 

 

 

 

x

 

k

k

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

k 2

 

x

x 0

e

 

 

 

,

x 0

2

2

M 2 k k

D 2 k 2k

10