Lektsii (1) / Lecture 21

ICEF, 2012/2013 STATISTICS 1 year LECTURES

Лекция 21

19.02.13

HYPOTHESIS TESTING (continued)

Определение. Величина Pr(Tn−1 >t) называется Р-значением (P-value) этого теста.

Иными словами, P-value − это вес «хвоста» t(n −1) −распределения вправо от значения t. Очевидно (нарисуйте соответствующий график) что

t >tα (n −1) P-value <α .

Отсюда следует, что при наличии P-value исходный тест модифицируется так:

1)вычислить тест-статистику t = xs /−µn0 и найти P-value;

2)если P-value >α , то H0; если P-value <α , то Hа.

Отметим, что P-value не связано с уровнем значимости α .

Пример. Пусть проверяется гипотеза H0: µ =100 против альтернативы Hа: µ <100 . По выборке объема n = 25 значение тестовой статистики получилось равным t = −1.65 . Используя Excel, получаем, что Pr(T24 < −1.65) = 0.056 . Таким образом, P−value = 0.056, и

на 5% уровне значимости нулевая гипотеза не отвергается.

Подчеркнем, что понятие P-value относится к стандартному тесту, в данном случае, к t−тесту для среднего значения нормальной генеральной совокупности при правосторонней альтернативе. Если альтернатива левосторонняя, то P-value − это вес «хвоста» слева от t. При двусторонней альтернативе P-value − это вес двух симметричных «хвостов» (сообразите сами, каких).

СТАНДАРТНЫЕ ТЕСТЫ

Перечислим кратко стандартные тесты, которые необходимо знать.

1. t-тест для (одиночного) среднего. X N (µ,σ) , H0: µ = µ0 , выборка x1,..., xn .

Тест-статистика t = xs /−µn0 . При нулевой гипотезе t имеет распределение t(n −1) .

P-value =

•Hа: µ > µ0 : вес «хвоста» справа от t для распределения t(n −1) ;

•Hа: µ < µ0 : вес «хвоста» слева от t для распределения t(n −1) ;

•Hа: µ ≠ µ0 : вес двух симметричных «хвостов» от t и от −t для распределения t(n −1) .

2.1. t-тест для двух средних, независимые выборки. X N (µ1,σ), Y N (µ2 ,σ) ,

H0: µ1 = µ2 , независимые выборки x1,..., xm , y1,..., yn .

	Тест-статистика t =		x − y				. При нулевой гипотезе t имеет распределение t(m +n −2) .
		sp	1		+	1
				m		n

P-value =

•Hа: µ1 > µ2 : вес «хвоста» справа от t для распределения t(m +n −2) ;

•Hа: µ1 < µ2 : вес «хвоста» слева от t для распределения t(m +n −2) ;

•Hа: µ1 ≠ µ2 : вес двух симметричных «хвостов» от t и от −t для распределения t(m +n −2) .

2.2. t-тест для двух средних, парные (matched) выборки. Парная выборка

(x1, y1 ),..., (xn , yn ) . Все как в п.1, но для разностей d1 = x1 − y1 ,..., dn = xn − yn .

3. z-тест для одной пропорции. Популяционная пропорция π , H0: π =π0 , выборка объема n, p − выборочная пропорция.

Тест-статистика z =	p −π0	. При нулевой гипотезе z имеет приближенно
	π0 (1−π0 )
	n

стандартное нормальное распределение.

P-value =

•Hа: π >π0 : вес «хвоста» справа от z для стандартного нормального распределения;

•Hа: π <π0 : вес «хвоста» слева от z для стандартного нормального распределения;

•Hа: π ≠π0 : вес двух симметричных «хвостов» от z и от −z для стандартного нормального распределения.

4. z-тест для разности двух пропорций. Две независимых популяции, две популяционные пропорции π1 , π2 , H0: π1 =π2 . Две (независимых) выборки объёмов n1, n2 ,

соответственно, и две выборочных пропорции p1, p2 .

Тест-статистика z =	p1 − p2					, где	p =	n1 p1 +n2 p2	− пропорция по объединенной
				1				n1 +n2
	p(1− p)	1	+
	n1			n2

выборке. При нулевой гипотезе z имеет приближенно стандартное нормальное распределение.

P-value =

•Hа: π1 >π2 : вес «хвоста» справа от z для стандартного нормального распределения;

•Hа: π1 <π2 : вес «хвоста» слева от z для стандартного нормального распределения;

•Hа: π1 ≠π2 : вес двух симметричных «хвостов» от z и от −z для стандартного нормального распределения.

В ситуациях 3, 4 необходимо проверять выполнение условий нормального приближения для выборочных пропорций.