Планирование эксперимента - лекция12
.pdf
Лекция №12. Погрешности и гипотезы
Тема:
oПогрешности косвенных измерений
oУчет погрешности в конечном результате измерения.
o Темы курсовых работ
Погрешность косвенных измерений
Пусть исследуемую величину s определяют по результатам прямых измерений других независимых физических величин x, y, z:
s f x, y, z
Известны окончательные результаты прямых измерений:
x x |
y y |
z z |
Предполагается, что величины x, y, z являются случайными и к ним применимо нормальное распределение.
Погрешность косвенных измерений
Тогда для среднего значения s:
s
f 
x
, 
y
, 
z 
Для погрешности:
s |
fx 2 x2 f y 2 y2 fz 2 z2 |
|
где частные производные взяты в точке x , |
y , z |
|
Погрешность косвенных измерений
Внимание!
В формулу необходимо подставлять погрешности x, y, z, найденные для одного и того же
значения доверительной вероятности. Погрешность косвенного измерения <S> также будет соответствовать этому значению доверительной вероятности.
Сравнение между собой слагаемых под корнем позволяет выделить «критический» фактор, процесс измерения которого дает наибольший вклад в погрешность S. Для повышения точности измерения величины S в первую очередь надо повышать точность измерения «критического» фактора.
Расчетные формулы
Формулы для расчета погрешности для наиболее распространенных зависимостей:
Обозначения: – абсолютная погрешность; δ – относительная погрешность; A, B, C - константы.
Типичные ошибки
Одной из типичных ошибок планирования эксперимента является косвенное измерение величины S через разность измеряемых напрямую величин A и B, если их абсолютные значения много больше значения величины S. При этом погрешность S может быть порядка S или даже превосходить.
Примеры:
поиск толщины стенки трубы через измерение ее внешнего и внутреннего радиусов;
деление друг на друга больших величин (например, напряжение на сопротивление).
Степень с маленьким основанием и большим показателем (радиоактивный распад).
Радиоуглеродный анализ
Задача
Свежесрубленная древесина содержит изотоп 14С, распадающийся со скоростью 15,3 атома в минуту в расчете на 1 грамм углерода (это соответствует числу-частиц, испускаемых изотопом 14С за 1 минуту, измеренному счетчиком Гейгера). Установлено, что древесина деревьев, засыпанных пеплом при извержении вулкана Мазама на юге штата Орегон (США), дает 6,9 -распадов атомов 14С в минуту в расчете на 1 грамм углерода. Когда примерно произошло извержение вулкана? Т1/2=5668 лет.
Радиоуглеродный анализ
14С образуется от излучения Солнца. Предполагается, что концентрация 14С в свежесрубленной древесине не меняется.
|
dN |
kN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dt |
|
|
|
|
dN |
kdt |
|
N N0e |
kt |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
N 0 N0 |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
N0 |
|
No e |
kT1 2 |
|
|
|
|
k |
|
ln 2 |
|
N |
N0 2 |
t T1 2 |
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
t |
|
dN (t) |
|
|
|
kN |
|
(t) |
|
N (t) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
N0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
tx T1 2 log 2 |
N0 |
|
T1 2 log 2 |
0 |
|
6512 лет |
|
|
|
|||||||||||||||||
N |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Какова погрешность? |
|
||||||||||||
Радиоуглеродный анализ
tx |
|
|
tx 94 |
tx 6,5 0,1 103 лет |
|
||||
|
Ограничения на применимость метода:
Неизменность концентрации 14С в атмосфере – проверяется по кольцам старых деревьев (мамонтовое дерево). Сжигание нефти и газа «разбавляет» современный 14С, проведение ядерных испытаний увеличивает его концентрацию.
T > 2000 лет
Наличие даже незначительных примесей более «свежего» углерода (загрязненность) не позволяет измерять возраст очень старых образцов.
T < 20000 лет
Скорость радиоактивного распада не зависит от температуры.
Радиоуглеродный анализ
Реальная радиоактивность биологических образцов, обусловленная 14С
Белая ель (Юкон) - 14,84 ± 0,30
Норвежская ель (Швеция) - 15,37 ± 0,54
Ель обыкновенная (Чикаго) - 14,72 ± 0,54
Ясень (Швейцария) - 15,16 ± 0,30
Листья жимолости (США) - 14,60 ± 0,30
Вереск (Северная Африка) - 14,47 ± 0,44
Эвкалипт (Австралия) - 16,31 ± 0,43
Древнеегипетская мумия №1770 (Манчестерский музей): сама мумия датируется 1000 г. до н.э., а
ткань, в которую она обёрнута – 380 г. н.э.