МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

Глава 6 . Системы линейных уравнений

229

-сложение строк с номерами i и j матрицы A осу-

ществляется путем ее умножения слева

на матрицу

S

3

размера m × n ,

которая получается из единич-

m

E

путем замены в по-

ной матрицы порядка

следней нулевого элемента,

стоящего в i -й строке и

j -м столбце, на единицу (при этом результат сумми-

рования окажется на месте

i -й строки исходной мат-

рицы

A

).

В дальнейшем (см. теорему 8.4.3) будет показано, что если матри-

ца

S

квадратная и невырожденная и возможно умножение матри-

цы

S

на матрицу

A

, то справедливо равенство

rg (

S

A

) = rg

A

.

Поскольку det

S

1 = -1 ,

det

S

2

= l ¹ 0 и det

S

3 = 1, то

A

ранг

при рассмотренных выше преобразованиях не меняется.

Проверьте самостоятельно, что будут также справедливы следую- щие теоремы.

Теорема Последовательное применение нескольких элементар-

6.8.1.ных преобразований есть новое преобразование, кото- рое имеет матрицу, являющуюся произведением мат- риц данных элементарных преобразований.

Теорема Если умножение матрицы

A

слева на квадратную

6.8.2.

S

реализует

некоторое

преобразование

матрицу

над строками

A

, то умножение

A

справа на

S

T

реализует то же самое преобразование матрицы

A , но выполненное над ее столбцами.

230	Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Отмеченные свойства элементарных преобразований позволяют в ряде случаев упрощать вычислительные процедуры с матричными

выражениями. Пусть, например, S есть матрица преобразования,

переводящего невырожденную матрицу

A

в единичную. Тогда

преобразование с

матрицей

S

переведет

единичную

матрицу

E

в матрицу

A

−1 , поскольку в силу

E

=

S

A

и невы-

рожденности

A

справедливы равенства

E

A

−1 =

S

A

A

−1 или

A

−1 =

S

E

.

Из этих соотношений следует, что вычисление произведения квадрат-

ных матриц

A

−1

B

может быть сведено к последовательности

элементарных преобразований матрицы

A |

B

(то есть матрицы,

образованной добавлением столбцов матрицы

B

к матрице

A

),

приводящих подматрицу

A

к единичной.

В результате искомое

произведение оказывается на месте подматрицы

B

.

Проиллюстрируем применение метода Гаусса на примере решения следующей системы линейных уравнений.

Задача Решить систему уравнений:

6.8.1.

ξ1

+ ξ2

+ ξ3

+ ξ4

+ ξ5

=

7,

+ 2ξ2

+ ξ3

+ ξ4

− 3ξ5

= − 2,

3ξ1

ξ2

+

2ξ3

+

2ξ4

+

6ξ5

=

23,

5ξ

1

+ 4ξ

2

+

3ξ

3

+

3ξ

4

−

ξ

5

=

12.

Глава 6	. Системы линейных уравнений									231
Решение.
1°. Составляем расширенную матрицу системы
					1	1	1	1	1		7
					3	2	1	1	− 3		− 2				.
					0	1	2	2	6		23
					5	4	3	3	−1		12

2°. Приводим ее к верхнему треугольному виду. Для этого

а) преобразуем в нули все элементы первого столбца, кроме элемента, стоящего в первой строке. Например, для зану- ления элемента, стоящего во второй строке первого столб- ца, заменим вторую строку матрицы строкой, которая яв- ляется суммой первой строки, умноженной на ( − 3 ), и второй строки. Аналогично поступаем с четвертой стро- кой: ее заменяем линейной комбинацией первой и четвер- той строк с коэффициентами ( − 5 ) и 1 соответственно. Третью, естественно, не меняем: там уже имеется необхо- димый для треугольного вида ноль. В итоге матрица при- обретает вид

	1	1	1	1	1	7
	0	−1	− 2	− 2	− 6	− 23	;
	0	1	2	2	6	23
	0	−1	− 2	− 2	− 6	− 23

б) выполняем теперь операцию зануления элементов второго столбца, стоящих в его третьей и четвертой строках. Для этого третью строку матрицы заменяем суммой второй и третьей, а четвертую – разностью второй и четвертой. По- лучаем

232	Аналитическая геометрия и линейная алгебра

	1	1	1	1	1	7
	0	− 1	− 2	− 2	− 6	− 23	;
	0	0	0	0	0	0
	0	0	0	0	0	0

в) поскольку в данном конкретном случае элемент, располо- женный в четвертой строке третьего столбца, оказался равным нулю, то приведение расширенной матрицы к верхнему треугольному виду завершено.

3°. Полученная матрица является расширенной матрицей системы линейных уравнений, равносильной исходной системе. Ранг этой матрицы совпадает с рангом исходной. Потому заключаем, что

а) система совместна, поскольку ранг основной матрицы ра- вен рангу расширенной и равен 2 (по теореме 6.6.1 Кроне- кера– Капелли);

б) однородная система уравнений будет иметь по теореме

6.7.1 n − rg A = 5 − 2 = 3 линейно независимых ре-

шения.

4°. Поскольку общее решение неоднородной системы есть общее решение однородной плюс частное решение неоднородной, то нам достаточно найти три любых линейно независимых решения однородной системы и какое-нибудь одно решение неоднород- ной.

Перепишем исходную систему в преобразованном виде, приняв первое и второе неизвестные за основные, а третье, четвертое и пятое – за свободные:

ξ1	+ ξ2	=	7 −	ξ3	−	ξ4	−	ξ5	,
	ξ2	=	23 −	2ξ3	−	2ξ4	−	6ξ	(6.8.1)
									5 .

Глава 6 . Системы линейных уравнений

233

Второе уравнение для удобства вычислений умножим на (−1) , а

третье и четвертое уравнения отбросим как удовлетворяющиеся тождественно.

Положив в системе (6.8.1) свободные неизвестные равными ну-

−16

	23
лю, находим частное решение неоднородной системы	0 .
	0
	0

Значения основных неизвестных определяются из легко решае- мой системы линейных уравнений

		ξ1 +	ξ2	=	7,
			ξ2	=	23.
Для однородной системы
ξ1	+ ξ2	= 0 − ξ3			− ξ4	− ξ5 ,
	ξ2	= 0	− 2ξ3		− 2ξ4	− 6ξ5

строим нормальную фундаментальную систему решений по схе- ме, использованной при доказательстве теоремы 6.7.1. Первое

		1
	− 2
независимое решение		1		находится из системы
		0
		0
ξ1		+		ξ2	=	−1,
				ξ2	=	− 2.

234 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

	1		5
	− 2		− 6
Аналогично получаются	0	и	0	– второе и третье ре-
	1		0
	0		1
шения.

Окончательно общее решение исходной неоднородной системы в мат- ричном виде может быть записано как:

ξ1			1								1				5				− 16
ξ2			− 2								− 2				− 6				23
ξ3		= λ1	1				+ λ 2				0			+ λ3	0			+	0			λ1 , λ 2 , λ3 .
ξ4			0								1				0				0
ξ5			0								0				1				0

Замечание: поскольку существует свобода выбора как частного решения неоднородной системы, так и линейно незави- симых решений однородной, то общее решение неод- нородной системы может быть записано в различных, но, естественно, равносильных формах.

Глава 7 . Линейное пространство

235

Глава 7

ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО

§ 7.1. Определение линейного пространства

Определение Множество L , состоящее из элементов x, y, z,K,

7.1.1.для которых определена операция сравнения8, назы-

вается линейным пространством, если

1°. Каждой паре элементов x, y этого множества

поставлен в соответствие третий элемент этого же множества, называемый их суммой и обо- значаемый x + y , таким образом, что выпол-

нены аксиомы

а) x + y = y + x ;

б) x + ( y + z) = (x + y) + z ;

в) существует нулевой элемент o , та-

кой, что для любого x Î L имеет место x + o = x ;

г) для каждого x существует проти-

воположный элемент (-x) , та-

кой, что x + (-x) = o .

8 Эта операция дает возможность устанавливать факты «равенства x и y»

(x = y) или «неравенства x и y» (x ¹ y) для любой пары двух элемен-

тов принадлежащих множеству L .

	236			Аналитическая геометрия и линейная алгебра
			2°.	Для любого элемента x и любого числа λ су-
				ществует такой принадлежащий Λ элемент,
				обозначаемый λ x и называемый произведени-
				ем числа на элемент, что выполнены аксиомы:
				а) 1x = x ;
				б) (λμ)x = λ(μ x) .
			3°. Для операций сложения элементов и умножения
				элемента на число выполнены аксиомы дистри-
				бутивности:
				а) (λ + μ)x = λ x + μ x ;
				б) λ(x + y) = λ x + λ y x, y Λ ; и
				для любых чисел λ,μ .
	Замечания.	1°.		Под “ числами” в аксиомах второй и третьей
				групп подразумеваются действительные или
		2°.		комплексные числа.
				Первая группа аксиом равносильна требова-
				нию, чтобы Λ являлось абелевой группой от-
				носительно операции сложения (см. § 5.6).
	Пример	Линейным пространством является 9:
	7.1.1.		1°. Множество всех векторов на плоскости.
			2°. Множество всех векторов в пространстве.
		3°.		Множество всех n -компонентных столбцов.
		4°.		Множество всех многочленов степени не выше,
				чем n .
		5°.		Множество всех матриц размера m × n .

9 Предполагается, что операции сложения и умножения на число выполняют- ся в соответствии с ранее данными определениями.

Пусть операции вводятся “ естественным” образом. В этом случае множество положительных чисел не образует линейного пространства, поскольку в нем отсутствует нулевой элемент.

Если операцию “ сложения” определить как обыч- ное произведение двух чисел, а “ умножение на число λ ” определить как возведение положитель-

ного числа в степень λ , то множество положи- тельных чисел будет являться линейным простран- ством, в котором роль нулевого элемента играет число “1”.

Глава 7 . Линейное пространство

237

Задача

7.1.1.

6°. C[α,β] – множество всех функций, непрерывных на [α, β] .

7°. Множество всех решений однородной системы m линейных уравнений с n неизвестными.

Показать, что	в общем случае множество радиусов-
	→ →
векторов точек,	принадлежащих плоскости (n, r ) = δ ,

не является линейным пространством. Выяснить, при каких значениях параметра δ данное множество будет линейным пространством.

Задача Показать, что множество, состоящее из одного нулевого

7.1.2.элемента, является линейным пространством.

Задача

7.1.3.

Решение.

Будет ли линейным пространством множество всех по-

ложительных чисел R + ?

Ответ зависит от способа введения операций сложения и умножения на число элементов рассматриваемого множе-

ства. 1°.

2°.

238	Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Теорема	Линейное пространство имеет единственный нулевой

7.1.1.элемент.

Доказательство.

Пусть существуют два различных нулевых элемента o1 и o2 .

Тогда, согласно аксиоме 1°(в) из определения 7.1.1 линейного пространства, будут справедливы равенства

o1 + o2 = o1 и o2 + o1 = o2 .

Откуда в силу коммутативности операции сложения получаем

o1 = o2 .

Теорема доказана.

Теорема Для каждого элемента x линейного пространства

7.1.2.имеет место равенство 0 x = o .

Доказательство.

Из аксиоматики линейного пространства имеем

x = 1x = (0 + 1)x = 0x +1x = 0x + x.

Прибавляя к обеим частям равенства x = 0x + x элемент y ,

противоположный элементу x , получаем, что 0x = o .

Теорема доказана.

Теорема Для каждого элемента линейного пространства суще-

7.1.3.ствует единственный противоположный элемент.

Доказательство.

Пусть для элемента x существуют два различных противопо-

ложных элемента y1 и y2 . Тогда, согласно аксиоме 1°(г) ли-

нейного пространства, будут справедливы равенства x + y1 = o и x + y2 = o . Прибавим к обеим частям первого равенства элемент y2 , получим