Теория вероятности и статистика

дМОСКОВСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТКафедра ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИКИ

Сборник учебно-методических материалов по дисциплине МАТЕМАТИКА теория вероятности и математическая статистика

Для студентов заочной формы обучения

Москва 2013

Сборник учебно-методических материалов подготовлен в рамках программы дисциплины «Информатика и математика», составленной в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта и образовательного стандарта Московского гуманитарного университета и содержит:

– основные положения программы дисциплины; – учебно-методические рекомендации к организации самостоятельной работы студентов; – учебный материал для самостоятельной работы студентов.

Составители сборника: Выжигин А. Ю. – к. т. н., доцент, заведующий кафедрой информатики и математики МосГУ Телепин А. М. – доцент кафедры информатики и математики МосГУ Башмакова Е. И. старший преподаватель кафедры информатики и математики МосГУ

Сборник учебно-методических материалов рекомендован к изданию на заседании кафедры 01.10.2013 г., протокол №2.

Оглавление

Сборник учебно-методических материалов по дисциплине МАТЕМАТИКА теория вероятности и математическая статистика 1

Для студентов заочной формы обучения 1

Организация самостоятельной работы 56

1. Элементы теории вероятностей. ДЕ-1.1,6/2.01, 05, 06 57

Вопросы 58

1.1 Определение вероятности случайного события. ДЕ-1.1, 4, 5, 6/2.01, 05, 06 59

Вопросы 61

1.2 Правила вычисления вероятностей. ДЕ-1.2/2.02, 08 62

Вероятности несовместных событий. 2.08 62

Вероятности противоположных событий 63

Вероятности совместных событий. 2.08 64

Вопросы 67

1.3 Законы распределения случайной величины. ДЕ-1.3, 2.10/2.03, 04, 3.04 67

Закон нормального распределения. 2.04 70

Вопросы 74

Элементы математической статистики. ДЕ-2.7/3.03 76

Вопросы 76

1.4 Вариационные ряды. ДЕ-2.08, 09, 10/3.02, 03 76

Вопросы 79

1.5 Показатели дискретного ряда. ДЕ-2.8, 9/3.02, 03 80

Среднее арифметическое значение. ДЕ-2.8, 9/3.02, 03 80

Медиана. ДЕ-2.8, 9/3.02, 03 84

Мода 85

Стандартное отклонение и дисперсия. ДЕ-2.8, 9/3.02, 03 86

Вопросы 88

1.6 Выборочный метод. ДЕ-2.9/3.03 90

Вопросы 93

Файлы электронных версий учебных пособий для решения практических задач 94

Рекомендуемая литература 95

1. Литература основная 95

№		1. Теория вероятностей
2.01	Классическое определение вероятности	знать: классическое определение вероятности уметь: вычислять вероятность случайного события
2.02	Теоремы умножения вероятностей	знать: теоремы умножения вероятностей уметь: вычислять вероятность произведения случайных событий
2.03	Дискретные случайные величины	знать: - формулировку закона распределения вероятностей дискретной случайной величины; - определение математического ожидания дискретной случайной величины уметь: вычислять математическое ожидание дискретной случайной величины
2.04	Нормальный закон распределения вероятностей	знать: нормальный закон распределения вероятностей уметь: определять вид графика плотности нормального распределения
2.05	Основные понятия теории вероятности	знать: основные понятия теории вероятностей уметь: применять основные понятия для решения задач
2.06	Свойства вероятностей	знать: основные свойства вероятностей уметь: применять свойства вероятностей для решения задач
2.08	Теоремы сложения вероятностей	знать: теоремы сложения вероятностей уметь: вычислять вероятность суммы случайных событий
		2. Математическая статистика
3.01	Основные понятия математической статистики	знать: определение выборочной совокупности объема n уметь: находить объем выборочной совокупности
3.02	Характеристики вариационного ряда	знать: определение характеристик вариационного ряда уметь: находить среднее выборочное
3.03	Статистическое распределение выборки	знать: - определение статистического распределения выборки; - определение полигона частот уметь: вычислять частоты статистического распределения выборки
3.04	Закон распределения вероятностей	знать: закон распределения вероятностей уметь: составлять закон распределения вероятностей по данной выборке

Организация самостоятельной работы

Составители рекомендаций: Выжигин А. Ю. – к. т. н., доцент, заведующий кафедрой информатики и математики МосГУ Телепин А. М. – доцент кафедры информатики и математики МосГУ

Самостоятельная работа — важная составляющая часть высшего образования. Ее организация во многом определяет эффективность учебного процесса и способствует вырабатыванию навыков самообразования. В соответствии с учебным планом данной дисциплины на самостоятельную работу студентов отведено не менее половины академических часов.

Самостоятельная работа включает подготовку студентов к практическим занятиям, тестированию и зачету. Эта подготовка состоит в знакомстве с содержанием разделов данного учебного пособия и выполнении заданий, предлагаемых для самоконтроля. Планом практических занятий предусмотрено, что задания на самостоятельную работу частично могут выполняться студентом на занятиях.

1. Элементы теории вероятностей. Де-1.1,6/2.01, 05, 06

В природе, технике, обществе, всюду встречаются явления, в которых присутствует элемент случайности.

Исследованием фактора случайности и созданием методов его изучения занимается теория вероятностей.

Теория вероятностей — математическая наука, изучающая закономерности массовых случайных явлений с целью создания математического аппарата для анализа этих закономерностей. Случайными называются такие явления, которые при одних и тех же исходных условиях могут давать разный результат. В основу теории вероятности заложен принцип, отражающий важное свойство реального мира, которое говорит о том, что при большом числе наблюдений случайные воздействия в значительной мере взаимно компенсируются и получаемый результат оказывается вполне предсказуемым.

Если теория вероятностей исследует закономерности случайных явлений, применяя абстрактные, теоретические вероятностные модели, то математическая статистика имеет дело с непосредственными данными наблюдений над случайными явлениями. Используя вероятностные модели теории вероятностей, математическая статистика позволяет оценивать неслучайные характеристики случайных данных и степень точности получаемых выводов.

Другими словами, теория вероятностей позволяет определять свойства случайных явлений на теоретическом уровне, не проводя экспериментальные исследования, а математическая статистика оценивает по экспериментальным данным вероятность явлений или осуществляет проверку предположений (гипотез) относительно этих вероятностей. При этом можно заметить аналогичность понятий теории вероятностей и математической статистики: например, понятие математического ожидания в теории вероятностей имеет аналог в виде среднего значения в математической статистике и т. д.

Вопросы

1. Какую роль играет случайность в явлениях природы и в гуманитарной сфере деятельности? В чем их аналогичность, а в чем — различие?

2. Чем занимается теория вероятностей? Назовите примеры применения теории вероятностей в гуманитарной сфере?

1. Определение вероятности случайного события. Де-1.1, 4, 5, 6/2.01, 05, 06

Одним из основных понятий теории вероятностей является случайное событие.

Случайнымназывается событиеА, которое в результате испытания (опыта) может либо произойти, либо не произойти. Классическим примером случайного события служит появления герба или реверса («орла» или «решки») при подбрасывании монеты.

Вероятность Р(А) — число, характеризующее объективную возможность появления случайного события в данном испытании.

Если можно теоретически подсчитать число возможных исходов, то применяется формула вычисления классическойвероятности:

^,

где

m— число возможных исходов опыта, в которых происходит событиеА;

n— общее число возможных исходов опыта.

Другими словами, вероятность Р(А) есть доля случаев, в которых теоретически может происходить событиеА.

Если проводится большое количество испытаний, то относительная частота (частость) появления события Астабилизируется и вероятность событияАбудет равна относительной частоте его появления:

^{, где}

m— число испытаний, в которых появилось событиеА,;

n — общее число испытаний.

В данном определении вероятность Р(А) есть доля случаев, в которых событиеА фактически появилось, и подобная вероятность называетсястатистической.

В сфере гуманитарных отношений часто применяется субъективная вероятность. Например, аналитик оценивает возможный результат предстоящих выборов. При этом не существует объективного набора равновероятных исходов. Следовательно, оценка аналитиком вероятности наступления события будет субъективной, основывающейся на индивидуальных суждениях, интуиции, личном знании. Однако, необходимо понимать, что, применяя любой способ оценки вероятности, мы должны использовать один и тот же набор математических правил.

Вероятность достоверного события, то есть такого, которое обязательно должно произойти, равна 1.Вероятность невозможного события, то есть такого, которое вообще не может произойти, равна 0.

Основное соглашение теории вероятностей:

.

Пример 1. Бросают обычную игральную кость с шестью гранями. С какой вероятностью выпадет «шестерка».

Решение. «Шестерка» выпадет в одном (m =1) из шести(n =6) возможных равновероятных исходов. В этом случае говорят, что «шестерка» выпадает с вероятностьюР =1/6.

Задача 1. Бросают обычную игральную кость с шестью гранями. С какой вероятностью выпадет количество очков больше 4?

Ответ: 1/6 +1/6=2/6.

Задача 2. Студент при подготовке к экзамену выучил 20 билетов из 25. С какой вероятностью студент: а) сдаст экзамен; б) не сдаст экзамен?

Ответ: а) 20/25; б) 5/25.

Задача 3. При 160 налоговых проверках частота нарушений составила 75%. Сколько было выявлено нарушений?

Ответ: 120.

Задача 4. В пачке 50 выигрышных лотерейных билетов. Мы должны организовать лотерею с вероятностью выигрыша 10%. Сколько должно быть в пачке невыигрышных билетов?

Ответ: 450.