Лекции - 2004 / Лекции / lecture_10

(С) ИиКМ РХТУ сентябрь 2003г. Калинкин Владимир Николаевич

1

Система нелинейных уравнений.

2x

− x 2

−1 =0

введем обозначение

f 1(x1 , x2 ) = 2x1 −x22 −1

3x 21

− x2

− 2 =0

f (x , x

) =3x2

−x

−2

1

2

2

1

2

1

2

В общем случаи систему нелинейных уравнений можно записать как:

f

(x

, x

,x

,....., x

n

) = 0

1

1

2

3

f2 (x1 , x2 ,x3

,....., xn ) = 0

→ →

→

или

f ( x) = 0 .

. . . . . . . . .

f

n

(x

, x

2

,x

3

,....., x

n

) = 0

1

→

Решением СНУ является такой вектор x* при подстановке которого в систему последняя

обращается в тождество.

Метод простых итераций.

→

→ →

Преобразуем Систему нелинейных уравнений к эквивалентному виду x

=ϕ( x) . Выберем

→(0)

некоторое начальное приближение x

, и последующие приближения найдем по

→

(1)

→ →(0)

→(2)

→ →(1)

→(3)

→ →(2)

формулам x

=ϕ( x ) , x

=ϕ

( x

) , x

=ϕ

( x ) , ……., а произвольное приближение

→(k +1)

→ →(k )

→(k )

→(k +1)

→(k )

запишем как: x

=ϕ( x ) . На каждой итерации вычисляем вектор ∆ x

= x

− x .

→(k )

|| ≤ ε

, где ε заданная

И проверяем условие окончания итерационного процесса || ∆ x

точность.

Решить приведенную выше систему. Преобразуем каждое уравнение.

→

2

x =ϕ

(x)

=

x2 +1

→0

0.5

1

1

3

. За начальное приближение примем x =

x

=ϕ

→

2x2

−1

0.5

2

2

(x) =

1

x

(1)

→(0)

(0.52

+1

0.625

→(0)

0.125

→(0)

1

=

ϕ

1

( x

)

=

2

=

;

∆ x

=

;

|| ∆ x

|| =1.7544

→(0)

−

x2

ϕ

( x

3

0.52

2

−1.25

-1.75

2

)

x

(2)

→(1)

(−1.252

+1

1.281

→(1)

0.656

→(1)

1

=

ϕ

1

( x

)

=

2

=

;

∆ x

=

;

|| ∆ x

|| = 0.7802

x

→(1)

2

0.422

2

0.625

−

2

−0.828

ϕ

( x

)

3

2

x

(3)

→(2)

(−0.8282

+1

0.843

→(2)

0 - 0.438

→(2)

1

=

ϕ

1

( x

)

=

2

=

;

∆ x

=

; || ∆ x

|| = 3.7784

x

→(2)

2

2.924

3.753

2

3

−

2

ϕ

( x

)

1.281

2

Итерационный процесс расходится.

Попробуем, по другому осуществить преобразование.

x =ϕ

→

=

x2 +2

(x)

1

1

3

→

x2 =ϕ

2 (x) = 2 x1 −1

→(k )

∂ x

(С) ИиКМ РХТУ сентябрь 2003г. Калинкин Владимир Николаевич

2

x1

(1)

→(0)

0.5 + 2

0.913

→(0)

0.413

→(0)

=

ϕ1

( x

(0)

)

=

3

∆ x

→

=

;

=

; || ∆ x || = 0.648

x2

0.000

−0.500

ϕ

( x

)

2 0.5 −

1

2

x

(2)

0.816

→(1)

||= 0.9138

x

(3)

0.985

||

→(2)

||= 0.202

1

=

;

|| ∆ x

1

=

;

∆ x

x2

0.909

x2

0.796

x

(4)

0.965

→(3)

||= 0.189

x

(5)

0.997

||

→(4)

||= 0.038

1

=

;

|| ∆ x

1

=

;

∆ x

x2

0.985

x2

0.965

Процесс сходится к решению.

Если не удаётся преобразовать исходную СНУ к итерационному виду, который будет сходится, то можно воспользоваться общим приемом.

→ → → = → → → → → = → →
f ( x)	= 0;	λ f ( x) = 0; x = x+λ f ( x) . Итерационную формулу запишем
→(k +1)	→(k )	= → →(k )	=
x	= x	+λ f ( x	) , где матрицу λ можно представить диагональной, а подбором

значений элементов, можно добиться сходимость итерационного процесса.

Метод Ньютона-Рафсона

			→(k )		→
Пусть известно некоторое приближение x				к решению x* тогда запишем исходную
→ →(k )	→(k )	→	→(k )	→	→(k )
систему в виде f ( x	+ ∆ x	) = 0 , где ∆ x		= x* − x . Разложим функцию в ряд Тейлора

и ограничимся линейными членами.

→ →(k ) →(k )		→ →(k )	→ →(k )	→(k )
			∂ f ( x )		→
f ( x	+ ∆ x ) =	f ( x ) +		∆ x	= 0 и

→→(k )

∂f ( x

→(k )

∂x

)	→(k )	→ →(k )
	∆ x	= − f ( x ) .

→(k )

Это система линейных уравнений относительно ∆ x . Обозначим матрицу частных производных, как матрицу

			→(k )	→(k )			→(k )
			∂f1 ( x )	∂f1 ( x )		.	∂f1 ( x		)
			∂x	∂x			∂x
								n
	→ →(k )		1		2
			→(k )	→(k )			→(k )
= (k )	= ∂ f ( x )		∂f2 ( x )	∂f 2 ( x )		.	∂f 2 ( x		)
Якоби[J (k ) ]= J		=
	→(k )		∂x1	∂x2			∂xn
	∂ x		.	.		.	.
			→(k )	→(k )			→(k )
			∂fn ( x )	∂f n ( x )		.	∂f n ( x		)
			∂x	∂x			∂x
					2			n
			1

	→(k )
Тогда ∆ x		= [J (k )
→(k +1)	→(k )	→(k )
x	= x	+ ∆ x

]−1	→ →(k )
	(− f ( x	)) , а новое приближение к решению СНУ будет иметь вид:
	→(k +1)	→(k )	+[J (k ) ]−1	→ →(k )
или x		= x		(− f ( x )) . Условие окончания

итерационного процесса является выполнения неравенства

→(k )	→(k )	→(k +1)	→(k )
∆ x	≤ ε, где ∆ x	=|| x	− x || .

(С) ИиКМ РХТУ сентябрь 2003г. Калинкин Владимир Николаевич

3

→0

=

0.5

2

−2 x

Решить приведенный выше пример. x

0.5 и

[J ]= 6 x

−1

2

1

x1

(1)

x1

(0)

2

−2

x20

−1

→(0)

0.5

2

−1

−1

−0.25

−

f1

( x

)

=

x

=

x

6

x0

−1

→

(0)

=

0.5

−

3

−1.75

−1

2

2

1

f

2

( x

)

0.5

−1

1

−0.25

2

→(0)

=

1.5

→(0)

−

=

∆ x

;

|| ∆ x || = 3.132

0.5

−3

2

−1.75

3.25

2.75

x

(2)

1.323

→(1)

||=1.53

x

(3)

1.070

→(2)

||= 0.684

1

=

;

|| ∆ x

1

=

;

|| ∆ x

x2

1.878

x2

1.243

x

(4)

1.007

→(3)

||= 0.223

x

(5)

1.000

→(4)

||= 0.029

1

=

;

|| ∆ x

1

=

;

|| ∆ x

x2

1.029

x2

1.001