Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
92
Добавлен:
03.06.2015
Размер:
265.22 Кб
Скачать

3. Применение матрично-топологических методов расчета линейных электрических цепей

3.1. Общие и методические замечания

При изложении методов расчета электрических цепей удобно пользоваться некоторыми топологическими понятиями, относящимися к теории графов. При этом сравнительно просто можно определить число независимых уравнений, составленных для схемы по законам Кирхгофа, по методам узловых потенциалов и контурных токов. Упрощается выбор независимых контуров.

Систему уравнений, записанных одним из этих методов можно представить в матричной форме. Очень важен тот факт, что это наиболее удобная форма записи информации при решении системы уравнений с помощью ЭВМ.

3.2. Понятие о графе схемы

Рассмотрим некоторые топологические понятия на примере схемы рис. 3.1. На рис. 3.2 приведен ориентированный граф схемы. Ориентированным графом мы будем называть скелетную схему, содержащую все узлы, называемые вершинами, обозначенные на схеме и на графе цифрами над кружочками, и все ветви схемы, или ребра графа, стрелки на которых указывают положительные направления токов в ветвях, а цифры номера ветвей. Сплошными линиями на графе выделены ребра, составляющие дерево графа. Деревом графа мы будем называть часть графа, содержащую все узлы (вершины) графа, и те ребра, которые не образуют замкнутый путь. На схеме рис. 3.2 это ребра с номерами 3, 4 и 5. Следовательно, деревьев может быть несколько, скажем дерево, образованное ребрами 1, 3 и 2 на рис. 3.2 и т. д.

Пунктиром на. графе рис. 3.2 указаны ребра связи (соответственно 1 и 2 ребра). Ребра (ветви) связи дополняют дерево до полного графа.

Замкнутые пути, образованные ребрами дерева графа и ребрами связи, образуют замкнутые контуры. Независимым контуром называется контур, содержащий хотя бы одно новое ребро связи.

По количеству ветвей связи определяют число независимых контуров и соответственно независимых уравнений по второму закону Кирхгофа. На рис. 3.2 контуры обозначены стрелками с римскими цифрами I и II. Количество уравнений по первому закону Кирхгофа определяется по числу вершин (узлов) графа минус единица.

3.3. Матрицы и операции с ними

Матрица есть прямоугольная таблица чисел

или

где i = 1, 2 ... n – строки, j = 1, 2 ... m– столбцы матрицы.

Каждое число a ij – элемент матрицы. Произведение nm определяет размер или порядок матрицы. При n = m – матрица квадратная; при nm – матрица прямоугольная.

Если у квадратной матрицы все элементы а ij = 0 при i j , то матрица называется диагональной, т. е.

или

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной 1 = diag (1, 1, ... 1).

Матрица, состоящая из одной строки, называется строчной, а из одного столбца – столбцовой, например

- строчная матрица; - столбовая матрица

Транспонированная матрица получается путём перестановки строк со столбцами. Пусть дана матрица А = а ij, тогда транспонированная матрица.

Например, и

Сложение матриц возможно только для матриц одинакового размера. Пусть даны матрицы

А = а ij и B = b ij, тогда

где

Аналогично производится вычитание матриц.

Отметим два свойства сложения:

свойство коммутативности А + В = В + А;

свойство ассоциативности А + (В + С) = (А + В) + С.

Умножение матрицы на число производится так. Дана матрица А = а ij и k – число (скалярное). Тогда kA = [ka ij], т. е. на число k умножается каждый элемент матрицы, причем

kA = Ak.

Умножение матриц производят только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Пусть даны матрица А = а ij размером nm и матрица B = b ij размером mq. Тогда умножением слева матрицы A на матрицу В получают матрицу

, где

Следовательно, чтобы получить элементы с ij матрицы С, надо элементы i - й строки матрицы A умножить на элементы k - го столбца матрицы В и сложить.

Например,

где

Отметим, что в общем случае АВВА, т. е. произведение матриц не коммутативно. Кроме того, важны еще два свойства матриц.

1. А(ВС) = (АВ)С – свойство ассоциативности,

2. (А + В)С = АС + АВ – свойство дистрибутивности.

Обращение матрицы. Пусть дана квадратная матрица А, тогда обратная ей матрица обозначается А-1;

При этом АА-1 = А-1А = 1

Если А = а ij, то

где = det A - определитель матрицы A; ij - алгебраическое дополнение элемента q i.

Например, пусть

Определитель A = det A = (a11а22а12а21), алгебраические дополнения:

11 = а22; 12 = - а21; 21 = - а12; 22 = а11;

Тогда обратная матрица

Умножение на обратную матрицу заменяет операцию деления, которая в обычном представления в матричной алгебре отсутствует.

Рассмотрим несколько случаев в записи матриц. Для схемы рис. 3.1 запишем систему уравнений по законам Кирхгофа

(3.1)

Система линейных алгебраических уравнений может быть записана более компактно в матричной форме.

(3.2)

или (3.3)

где-матрица-столбец токов;– матрица-столбец активных параметров;

[а] – квадратная матрица коэффициентов.

Матричное уравнение (3.3) может быть решено матричными методами относительно неизвестных токов с помощью обратной матрицы. Действительно, если уравнение (3.3) умножить слева на обратную матрицу [а]-1, то получим

(3.4)

Так как [а]-1[а] = 1, то уравнение (3.4) примет вид

(3.5)

Решение системы уравнений (3.2) может быть осуществлено с помощью численных методов на ЭВМ. В этом случае матричное уравнение (3.3) удобнее записывать в другой форме через более простые матрицы. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Соседние файлы в папке Пособие по ТОЭ-1ч