Лекции - 2005 / lecture_8

(С) ИиКМ РХТУ сентябрь 2003г. Калинкин Владимир Николаевич

1

Численное интегрирование.

Пусть на отрезке [a; b] определена непрерывная функция f(x). Требуется определить

значение определенного интеграла I = ∫b f (x)dx = F(b)-F(a), которое числено равно площади

a

S, фигуры ограниченной графиком функции f(x) и осью x, на заданном отрезке [a; b]. Для приближенного вычисления S, разобьем наш отрезок [a; b] на n равных элементарных отрезков точками x0=a, x1= a+h, x2=x1+h,…xi=xi-1+y,….,xn=b, где h =(b-a)/n – шаг разбиения.

Значение функции f(x) в точках разбиения xi обозначим через yi

					yi		yn
			y1	yi-1		yi+1
	y0			h		h
x0		x1		xi-1	xi	xi+1	xn
a							b

Тогда площадь S можно вычислить как сумму элементарных площадей определенных для соответствующих элементарных отрезков длиной h.

S = s0+s1+s2+…si+…..+sn-1

Произвольную si площадь можно вычислить, как определенный интеграл на отрезке [xi;xi+1]

xi +1

от более простой функции φi(x), которой заменим реальную функцию f(x), si = ∫ϕi (x)dx

xi

Вид функции φi(x) будут определять и название метода.

Методы прямоугольников.

Значение функции φi(x) на отрезке [xi;xi+1]. принимается константой Метод прямоугольников вперед

φi(x) = yi

значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как:

xi+1			n −1	n −1
si = ∫yidx = yi x xi			= yi (xi +1 − xi ) = yi h; S = ∑si = h ∑yi
	xi	+1	i =0	i =0
xi

Метод прямоугольников назад

φi(x) = yi+1

значения элементарной si и общей площади можно вычислить как:

xi +1			n−1	n−1
si = ∫yi+1dx = yi+1 x		xi	= yi+1 (xi − xi−1 ) = yi+1 h; S = ∑si = h ∑yi+1
		xi −1
xi			i=0	i=0

Метод прямоугольников в среднем.

Определим точку xi +12 = xi + 12 h и значение функции yi +12 в середине элементарного отрезка

[xi;xi+1].

Принимаем φi(x) = yi +1	.
	2

Тогда значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как:

(С) ИиКМ РХТУ сентябрь 2003г. Калинкин Владимир Николаевич						2
xi+1	x xi			n −1	n −1
si = ∫yi +12dx = yi +12				= yi +12 (xi +1 − xi ) = yi +12 h; S = ∑si = h ∑yi +12
xi		xi	+1	i =0	i =0

Метод трапеций

Фукцию φi(x) будем определять как линейную на отрезке [xi;xi+1], т.е. ее график должен

проходить через две смежные точки (xi,yi) и (xi+1,yi+1). Функцию φi(x) можно будет представить, как интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по двум точкам

	xi и xi+1, φi(x) = Li(x) =	yi	( x − xi +1 )	+ yi +1	( x − xi )
			( xi − xi +1 )		( xi +1 − xi )

Тогда значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как:

xi +1

xi +1

(x

− xi +1 )

xi +1

(x − xi )

si = ∫Li (x)dx = ∫

∫

yi

dx

+

yi +1

dx

(x

− x

)

(x

− x )

x

x

i

i

i +1

x

i

i +1

i

1

сделаем замену переменной

t =

x

− xi

x=xi

ti=0

x=xi+1

ti+1 = 1

h

x = xi + ht

dx=hdt

(x-xi) = ht

(x-xi+1) = ht −h = h(t −1)

1

h(t −1)

1

ht

1

1

1

t2

1

t2

1

∫yi

hdt + ∫yi +1

hdt = h(∫yi (1 −t)dt + ∫yi +1tdt) = h(yi (t

−

) + yi +1

) =

(−h)

(h)

0

2

2

0

0

0

0

0

0

si =

h( y (1

−

1

) + y

1

)

= h

yi + yi +1

i

2

i +1 2

2

а общая площадь на отрезке [a;b] будет равна

n −1

n −1

S = ∑si =

∑h ( yi + yi +1 ) = h

( y0 + y1 + y1 + y2 + y2 +... + yn −1 + yn −1 + yn ) =

i =0

i =0 2

2

y0 + y n

h

n−1

( y0 + 2 y1 + 2 y2

+ 2 y3

+.... + 2 yn−1

+ yn ) = h

(

+∑yi )

2

2

i=1

Метод Симпсона

1

Определим точку x

= x +

h в середине элементарного отрезка [xi;xi+1]

и значение

2

i

+12

i

функции в этой течке yi +1

.

2

Функцию φi(x) будем определять как квадратичную на отрезке [xi;xi+1], т.е. ее график должен

проходить через три смежные точки (xi,yi),(xi+1/2,yi+1/2) и (xi+1,yi+1). Функцию φi(x) можно будет представить как интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по трем

точкам xi, xi+1/2 и xi+1.

φi(x) = Li(x) =

y

(x − xi +1/ 2 )(x − xi +1)

+ y

(x − xi )(x − xi +1 )

+ y

(x − xi )(x

− xi +1/ 2 )

)

)

i (x

− x

)(x

− x

)

i +1/ 2

(x

− x )(x

− x

i +1 (x

− x )(x

− x

i

i +1/ 2

i

i +1

i +1/ 2

i i +1/ 2

i +1

i +1

i i +1

i +1/ 2

Тогда значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как:

	xi+1			xi+1
si = ∫ϕi (x)dx =				∫Li (x)dx =
	xi			xi
xi+1		(x − xi +1/ 2 )(x − xi +1)
∫ ( yi							+ yi +1/ 2
		(x	− x	)(x	− x	)
xi		i	i +1/ 2	i	i +1

(x − xi )(x − xi +1)				+ yi +1	(x − xi )(x − xi +1/ 2 )				)dx
(x	− x )(x	− x	)		(x	− x )(x	− x	)
i +1/ 2	i i +1/ 2	i +1			i +1	i i +1	i +1/ 2

сделаем замену переменной t =	x − xi	x=xi ti=0 x=xi+1/2 ti+1/2=1/2 x=xi+1 ti+1 = 1
	h

(С) ИиКМ РХТУ сентябрь 2003г. Калинкин Владимир Николаевич																																			3
x = xi + ht ; dx=hdt ; (x-xi) = ht ; (x-xi+1/2) = ht −																													1 h = h(t −					1 ) ; (x-xi+1) = ht −h = h(t −1)
																													2					2
					h(t −					1	)h(t −1)																		hth(t −		1
	1																	hth(t −1)														)
										2																					2
si = ∫
			yi											+ yi +1 / 2					h			h		+ yi +1									hdt =
								(−		h	)(−h)							(		)(−			)						(h)(	h	)
	0
										2									2		2									2
				1																				1
1 ( yi		(t −					)(t −1)					) + yi +1 / 2			t(t −1)						t(t −						)	)hdt =
				2														+ yi +1								2
														1
∫				(	1																		(	1
0					2 )										(− 4)									2 )

1

h∫( yi (2t 2 −3t +1) − 4 yi +1 / 2 (t 2 −t) + yi +1 (2t 2 −t))dt =

0

h ( y	(2	t3	−3	t 2	+t		) − 4 y		(	t3
i		3		2				i +1/ 2		3

h ( yi ( 23 − 32 +1) − yi +1/ 2 4(13 − 12) si =h6 (yi +4yi+1/ 2 +yi+1)

S = ∑si	= ∑h		( yi +4 yi+1/ 2
n−1	n
i=0	i−1 6

S = h6 ( y0 + 4 y1/ 2 + 2 y1 + 4 y3 / 2

примеры:

	t 2	) + yi +1		t3	2
−			(2		−	t	) ) =
	2			3		2

+ yi +1( 23 − 12) ) = h( yi 16 + yi +1/ 2 64 + yi +1 16)

+yi+1 )

+2 y2 +... + 2 yn−1 + 4 yn−1/ 2 + yn )

f(x)=1/(1+x2)		h=0,2		(h/2)=	0,1
			PRVP	PRNZ	PRSR	TRAP	SIMPS
I	x	y	si=h*yi	si=h*yi+1	si=h*yi+1/2	si=h*(yi+yi+1)/2	si=(h/6)*(yi+4yi+1/2+yi+1)
0	0	1	0,2	0,192308	0,19802	0,196153846	0,197397817
1/2	0,1	0,990099
1	0,2	0,961538	0,192308	0,172414	0,183486	0,182360743	0,183111073
1+1/2	0,3	0,917431
2	0,4	0,862069	0,172414	0,147059	0,16	0,159736308	0,159912103
2+1/2	0,5	0,8
3	0,6	0,735294	0,147059	0,121951	0,134228	0,134505022	0,134320466
3+1/2	0,7	0,671141
4	0,8	0,609756	0,121951	0,1	0,110497	0,11097561	0,110656695
4+1/2	0,9	0,552486
5	1	0,5
		S=	0,833732	0,733732	0,786231	0,783731528	0,785398153