Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекции - 2005 / lecture_6_2

.pdf
Скачиваний:
22
Добавлен:
03.10.2013
Размер:
106.88 Кб
Скачать

(С) ИиКМ РХТУ январь 2004г. Калинкин Владимир Николаевич

1

Лекция –6.2

Метод простых итераций.

Алгоритм метода состоит из трех этапов.

1. Приведение СЛАУ к итерационному виду, для этого разрешим каждое уравнение относительно соответствующего неизвестного.

a11 x1

+

 

a12 x2

+ .......

+ a1n xn

=

b1

 

 

 

.a21 x1

+

 

a22 x2

+ .......

+ a2n xnm = b2

 

 

 

......... .......... .......

...........

....

 

 

 

an1 x1

+

 

an2 x2

+ .......

+ ann xn

=

bn

 

 

 

x1

=

d1

 

( 0 x1

+ c12 x2

 

+ c13 x3

+ .....

+ c1n xn

)

x2

=

d2

 

( c21 x1

+ 0 x2

 

+ c23 x3

+ .....

+ c2n xn

)

....... ........ ...........

 

..........

 

........... ......... ...........

 

xn

=

dn

( cn1 x1

+ cn2 x2

 

+ cn3 x3

+ .....

+ 0 xn )

 

 

 

b

 

 

 

0

при i = j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где di

=

 

i

 

; cij =

aij

при i j

; j=1,2,3,…,n; j=1,2,3,….,n

 

 

 

 

 

 

 

 

aii

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aii

 

 

 

 

 

 

k+1

 

=

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

=dC x

где k = 0,1,2,3,…..

 

 

 

Вектор d -приведенный столбец свободных членов.

=

Матрица C -приведенная матрица коэффициентов

=

2.Проверяем условие сходимости || C ||1, если нет, то преобразуем исходную систему.

3.Осуществляем уточнение решение по полученной итерационной формуле. За начальное

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

приближение принимается вектор x

= d . Условием окончания является выполнение условия

 

k +1

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|| x

x ||ε ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

начало

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

= d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= →

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ввод n, A , b ,ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

= d C

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

формирование

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

матрицы C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|| x1x0 ||ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пров. услов. сход

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|| C ||1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→ →

 

 

 

 

 

Вывод

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0 = x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

конец

(С) ИиКМ РХТУ январь 2004г. Калинкин Владимир Николаевич

2

Вывод условия сходимости

k

= →k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

= d C x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k +1

 

 

= →k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

= d C x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k +1

 

k +1

k +1

k

 

= →k

k 1

=

 

k

 

 

k +1

 

=

k

 

|| x

=

x

= x

x

= −C(x x ) = −C x ;

|| x

|| || C || ||

x ||;

 

||

|| C ||1

 

k

||

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|| x

 

Пример: с точностью ε=0.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[A]

 

 

 

[b]

 

 

 

 

 

 

 

[C]

 

 

 

[d]

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

1

 

4

 

 

 

 

 

0

 

0.5

0.5

 

2

 

 

|| [C] ||

 

 

 

 

 

1

 

-1.5

-0.5

 

-1

 

 

 

 

 

-0.6667

0

0.333

0.6667

1.2472

 

 

 

 

 

2

 

2

 

4

 

8

 

 

 

 

 

0.5

 

0.5

0

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)+(2)

 

 

3

 

-0.5

0.5

 

3

 

 

 

 

 

0

 

-0.1667

0.167

1

 

 

 

 

(2)*2-(1)

 

 

0

 

-4

 

-2

 

-6

 

 

 

 

 

0

 

0

0.5

 

1.5

 

0.8975

 

 

 

 

 

2

 

2

 

4

 

8

 

 

 

 

 

0.5

 

0.5

0

 

2

 

 

 

 

 

[x1] =

 

 

[d]

 

 

 

[C]

 

 

 

 

 

 

[x]0

 

 

[x]1

 

[x1]

|| [x1] ||

 

 

 

1,00

 

 

0,00

-0,17

0,17

 

 

 

1,00

 

 

0,92

 

 

-0,08

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,50

-

 

0,00

0,00

0,50

 

*

 

1,50

=

 

0,50

 

 

-1,00

 

1,6029

 

 

 

 

 

2,00

 

 

0,50

0,50

0,00

 

 

 

2,00

 

 

0,75

 

 

-1,25

 

 

 

 

 

[x2] =

 

 

[d]

 

 

 

[C]

 

 

 

 

 

 

[x]1

 

 

[x]2

 

[x2]

 

|| [x2] ||

 

 

 

1,00

 

 

0,00

-0,17

0,17

 

 

 

0,92

 

 

0,96

 

 

0,04

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,50

-

 

0,00

0,00

0,50

 

*

 

0,50

=

 

1,13

 

 

0,63

 

0,8281

 

 

 

 

 

2,00

 

 

0,50

0,50

0,00

 

 

 

0,75

 

 

1,29

 

 

0,54

 

 

 

 

 

[x3] =

 

 

[d]

 

 

 

[C]

 

 

 

 

 

 

[x]2

 

 

[x]3

 

[x3]

 

|| [x3] ||

 

 

 

1,00

-

 

0,00

-0,17

0,17

 

 

 

0,96

 

 

0,97

 

 

0,01

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,50

 

0,00

0,00

0,50

 

*

 

1,13

=

 

0,85

 

 

-0,27

 

0,4297

 

 

 

 

 

2,00

 

 

0,50

0,50

0,00

 

 

 

1,29

 

 

0,96

 

 

-0,33

 

 

 

 

 

[x4] =

 

 

[d]

 

 

 

[C]

 

 

 

 

 

 

[x]3

 

 

[x]4

 

[x4]

 

|| [x4] ||

 

 

 

1,00

 

 

0,00

-0,17

0,17

 

 

 

0,97

 

 

0,98

 

 

0,01

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,50

-

 

0,00

0,00

0,50

 

*

 

0,85

=

 

1,02

 

 

0,17

 

0,2107

 

 

 

 

 

2,00

 

 

0,50

0,50

0,00

 

 

 

0,96

 

 

1,09

 

 

0,13

 

 

 

 

Соседние файлы в папке Лекции - 2005