Лекции - 2005 / lecture_6_2
.pdf(С) ИиКМ РХТУ январь 2004г. Калинкин Владимир Николаевич |
1 |
Лекция –6.2
Метод простых итераций.
Алгоритм метода состоит из трех этапов.
1. Приведение СЛАУ к итерационному виду, для этого разрешим каждое уравнение относительно соответствующего неизвестного.
a11 x1 |
+ |
|
a12 x2 |
+ ....... |
+ a1n xn |
= |
b1 |
|
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||||||
.a21 x1 |
+ |
|
a22 x2 |
+ ....... |
+ a2n xnm = b2 |
|
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||||||||
......... .......... ....... |
........... |
.... |
|
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|||||||||||
an1 x1 |
+ |
|
an2 x2 |
+ ....... |
+ ann xn |
= |
bn |
|
|
|
||||||
x1 |
= |
d1 |
|
− |
( 0 x1 |
+ c12 x2 |
|
+ c13 x3 |
+ ..... |
+ c1n xn |
) |
|||||
x2 |
= |
d2 |
|
− |
( c21 x1 |
+ 0 x2 |
|
+ c23 x3 |
+ ..... |
+ c2n xn |
) |
|||||
....... ........ ........... |
|
.......... |
|
........... ......... ........... |
|
|||||||||||
xn |
= |
dn |
− |
( cn1 x1 |
+ cn2 x2 |
|
+ cn3 x3 |
+ ..... |
+ 0 xn ) |
|||||||
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b |
|
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0 |
при i = j |
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|||
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||||
где di |
= |
|
i |
|
; cij = |
aij |
при i ≠ j |
; j=1,2,3,…,n; j=1,2,3,….,n |
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|||||||
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|||||||||||||
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aii |
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||||
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|||||||
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aii |
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||
→k+1 |
|
→ |
= |
→k |
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|||
x |
|
=d−C x |
где k = 0,1,2,3,….. |
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→
Вектор d -приведенный столбец свободных членов.
=
Матрица C -приведенная матрица коэффициентов
=
2.Проверяем условие сходимости || C ||≤1, если нет, то преобразуем исходную систему.
3.Осуществляем уточнение решение по полученной итерационной формуле. За начальное
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→0 |
→ |
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|||||||||||||
приближение принимается вектор x |
= d . Условием окончания является выполнение условия |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
→k +1 |
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→k |
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|| x |
− x ||≤ ε , |
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начало |
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→ |
→ |
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x0 |
= d |
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|||
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= → |
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ввод n, A , b ,ε |
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→ |
|
→ |
= |
→ |
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x1 |
= d −C |
x0 |
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формирование |
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|
= |
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матрицы C |
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|
→ |
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|
→ |
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|| x1− x0 ||≤ ε |
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|||||||||||
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|
пров. услов. сход |
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|||||
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|
= |
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|||
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|| C ||≤1 |
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→ → |
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Вывод |
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x0 = x1 |
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|
→ |
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||||||
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x1 |
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||
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|
конец
(С) ИиКМ РХТУ январь 2004г. Калинкин Владимир Николаевич |
2 |
Вывод условия сходимости
→k |
→ |
= →k −1 |
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x |
= d −C x |
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||||
→k +1 |
→ |
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|
= →k |
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x |
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= d −C x |
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|||
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→k +1 |
||||
|
→k +1 |
→k +1 |
→k |
|
= →k |
→k −1 |
= |
|
→k |
|
|
→k +1 |
|
= |
→k |
|
|| ∆x |
= |
|||||||||||
∆x |
= x |
− x |
= −C(x − x ) = −C ∆x ; |
|| ∆x |
|| ≤|| C || || |
∆x ||; |
|
|| |
≤|| C ||≤1 |
||||||||||||||||||||
|
→k |
|| |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|| ∆x |
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|||
Пример: с точностью ε=0.3 |
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|||||||||
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[A] |
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[b] |
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[C] |
|
|
|
[d] |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0.5 |
0.5 |
|
2 |
|
|
|| [C] || |
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
-1.5 |
-0.5 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
-0.6667 |
0 |
0.333 |
0.6667 |
1.2472 |
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
4 |
|
8 |
|
|
|
|
|
0.5 |
|
0.5 |
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(1)+(2) |
|
|
3 |
|
-0.5 |
0.5 |
|
3 |
|
|
|
|
|
0 |
|
-0.1667 |
0.167 |
1 |
|
|
|
|
|||||||
(2)*2-(1) |
|
|
0 |
|
-4 |
|
-2 |
|
-6 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0.5 |
|
1.5 |
|
0.8975 |
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
4 |
|
8 |
|
|
|
|
|
0.5 |
|
0.5 |
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
[x1] = |
|
|
[d] |
|
|
|
[C] |
|
|
|
|
|
|
[x]0 |
|
|
[x]1 |
|
[∆x1] |
|| [∆x1] || |
||||||||
|
|
|
1,00 |
|
|
0,00 |
-0,17 |
0,17 |
|
|
|
1,00 |
|
|
0,92 |
|
|
-0,08 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1,50 |
- |
|
0,00 |
0,00 |
0,50 |
|
* |
|
1,50 |
= |
|
0,50 |
|
|
-1,00 |
|
1,6029 |
|||||||
|
|
|
|
|
2,00 |
|
|
0,50 |
0,50 |
0,00 |
|
|
|
2,00 |
|
|
0,75 |
|
|
-1,25 |
|
|
|
|
|||||
|
[x2] = |
|
|
[d] |
|
|
|
[C] |
|
|
|
|
|
|
[x]1 |
|
|
[x]2 |
|
[∆x2] |
|
|| [∆x2] || |
|||||||
|
|
|
1,00 |
|
|
0,00 |
-0,17 |
0,17 |
|
|
|
0,92 |
|
|
0,96 |
|
|
0,04 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1,50 |
- |
|
0,00 |
0,00 |
0,50 |
|
* |
|
0,50 |
= |
|
1,13 |
|
|
0,63 |
|
0,8281 |
|||||||
|
|
|
|
|
2,00 |
|
|
0,50 |
0,50 |
0,00 |
|
|
|
0,75 |
|
|
1,29 |
|
|
0,54 |
|
|
|
|
|||||
|
[x3] = |
|
|
[d] |
|
|
|
[C] |
|
|
|
|
|
|
[x]2 |
|
|
[x]3 |
|
[∆x3] |
|
|| [∆x3] || |
|||||||
|
|
|
1,00 |
- |
|
0,00 |
-0,17 |
0,17 |
|
|
|
0,96 |
|
|
0,97 |
|
|
0,01 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1,50 |
|
0,00 |
0,00 |
0,50 |
|
* |
|
1,13 |
= |
|
0,85 |
|
|
-0,27 |
|
0,4297 |
||||||||
|
|
|
|
|
2,00 |
|
|
0,50 |
0,50 |
0,00 |
|
|
|
1,29 |
|
|
0,96 |
|
|
-0,33 |
|
|
|
|
|||||
|
[x4] = |
|
|
[d] |
|
|
|
[C] |
|
|
|
|
|
|
[x]3 |
|
|
[x]4 |
|
[∆x4] |
|
|| [∆x4] || |
|||||||
|
|
|
1,00 |
|
|
0,00 |
-0,17 |
0,17 |
|
|
|
0,97 |
|
|
0,98 |
|
|
0,01 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1,50 |
- |
|
0,00 |
0,00 |
0,50 |
|
* |
|
0,85 |
= |
|
1,02 |
|
|
0,17 |
|
0,2107 |
|||||||
|
|
|
|
|
2,00 |
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