Лекции - 2005 / lecture_3

(С) ИиКМ РХТУ январь 2004г. Калинкин Владимир Николаевич

1

Лекция -3

Ошибки измерений Обработка результатов измерения одной величины.

Измерения, проводимые в опытах эксперимента, сопровождаются ошибками, ввиду конечной точности приборов и не идеальности условий эксперимента. Ошибки делятся на три типа.

1)Систематические

2)Грубые

3)Случайные

Ввиду наличия ошибок, точное значение измеряемой величина a установить не удается. Поэтому при n повторных измерений одной и той же величины a получают серию различных результатов x1, x2, x3, x4, . . ., xn и наиболее

вероятной оценкой измеряемой величины a будет являться среднее значение результатов серии.

		x	+ x		+ x		+.... + x			∑n	xi
x =				2		3		n	=
		1								i=1
					n					n

Замена точного значения измеряемой величины a значением x влечёт ошибку, значение которой точно указать нельзя, а можно определить приближенно с необходимой доверительной вероятностью β. И нам надо определить величину

εβ в неравенстве a − x ≤εβ

Очевидно, εβ будет тем больше, чем с больше вероятностью β мы будем её

определять, чем грубее был проведен эксперимент и чем меньше n (количество опытов в серии измерений).

Для оценки качества измерений, вводят понятие дисперсии, которая вычисляется по формуле:

∑n (xi − x )

sx2 =	i=1		, где f число степеней свободы f = n-1
		f

Среднеквадратичным отклонением или стандартом называют величину равную

2

sx = sx В статистике доверительную ошибку вычисляют по формуле:

εβ	= t f , p	s2	, где р =1-β уровень значимости f = n-1
		x
t f , p		n
	- Критерий Стьюдента
		f/p		0.10	0.05	0.01
			2	2.92	4.30	9.92
			3	2.35	3.18	5.84
			4	2.13	2.78	4.60
			5	2.01	2.57	4.03
			6	1.94	2.45	3.78
			7	1.89	2.36	3.50

(С) ИиКМ РХТУ январь 2004г. Калинкин Владимир Николаевич

2

пример зависимость εβ		от β и от n
n=3 xi = 47.12;	47.08;	47.13		= 47.11			sx2 = 0.0007
			x
β=0.95 p=0.05	t2, 0.05 = 4.30			εβ		= 4.30* 0.0153=0.066
β=0.90 p=0.10	t2, 0.1 = 2.92			εβ		= 2.92* 0.0153=0.045
добавим еще два опыта 47.09 и 47.13						=47.11	sx2 = 0.00055
					x
β=0.95 p=0.05	t4, 0.05 = 4.30			εβ		= 2.78* 0.0105=0.029
β=0.90 p=0.10	t4, 0.1 = 2.92			εβ		= 2.13* 0.0105=0.022

Можно сказать, что интервал, который с доверительной вероятностью β накрывает точное значение a определяется, значением εβ и называется доверительным и определяется как:

x - εβ < a < x + εβ

так, для предыдущего примера, при n=5 и β=0.90 доверительный интервал можно записать как: 47.11-0.022 < a <47.11+0.022 т.е. 47.088a<47.132

Грубые ошибки

Для определения, является ли измеренное значение грубой ошибкой можно воспользоваться U критерием.

U расч. =			xпод −			x			,
			sx2		n −1
					n
где xпод - минимальное или максимальное значение из серии.
Из таблицы по заданным : p– уровню значимости f – числа степеней свободы
Определяют Uтаб. Если Uрасч > Uтаб , подозреваемое значение вероятностью β,
является грубой ошибкой. Грубая ошибка исключается из серии.
	Uf,p			f = n-2;						p = 1-β
	f\p			0.05						0.01
	1			1.412						1.414
	2			1.689						1.723
	3			1.869						1.955
	4			1.996						2.130
	5			2.093						2.265
	6			2.172						2.374
	7			2.237						2.464

Пример: p = 0.05 β = 0.95 n = 6
				i		1		2		3	4	5	6
				xi		6.28		6.47		6.54	7.02	6.45	6.40
			= 39.16/6 = 6.527				S2x = 0.0659
	x
Uтаб			для f = 6-2 = 4			p = 0.05 имеет значение 1.996

(С) ИиКМ РХТУ январь 2004г. Калинкин Владимир Николаевич

3

Под. значение = 6.28

U расч.

=

6.28 −6.527

= 1.053

0.0659

6 −

1

не является грубой ошибкой

6

Под. значение. = 7.02

U расч.

=

7.02 −6.527

= 2.105

0.0659

6 −1

6

является грубой ошибкой и удаляется из серии

n = 5

i

1

2

3

4

5

xi

6.28

6.47

6.54

6.45

6.40

_

S2x = 0.0094

x = 32.14 / 5 = 6.428

Uтаб для f = 5-2 = 3

p = 0.05 имеет значение 1.869

Под.знач =

6.28 U расч. =

6.28 −6.428

= 1.709

0.0659

5 −1

Не является грубой ошибкой

5

Под. Знач. = 6.54

U расч. =

6.54 −6.428

= 1.294

0.0659

5 −1

Не является грубой ошибкой

5

для последней серии строим доверительный интервал

tтаб0.05, 4 = 2.78

εβ = 2.78

0.0094

= 0.12

5

6.308 < a < 6.548

Сравнение двух серий измерений Одна и та же величина может измеряться несколькими сериями. Это

необходимо при сравнении надежности прибора, методики эксперимента. Сравнивать можно серии, у которых дисперсии однородны.

1. Проверяем однородность двух дисперсий, используя критерий Фишера

			S 2
	F	=	x(больш)	. Если F	< F	, то дисперсии однородны. F(табл)
			Sx2( меньш)
	( расч)			( расч)	(табл)

является функцией P –уровня значимости, f(больш) - число степеней свободы большей дисперсии и f(меньш) - число степеней свободы меньшей дисперсии.

2. Вычисляем общую дисперсию по формуле

	S 2	f	(перв)	+ S 2	f	(втор)
S x2(общ) =	x(перв)			x(втор)
		f(перв) + f(втор)

(С) ИиКМ РХТУ январь 2004г. Калинкин Владимир Николаевич

4

3. Проверяем различие между оценками средних используя критерий

	Стьюдента t( расч) =	x	(перв) −		x	(втор)				. Если различие незначимо,
				1				1
	S x2(общ) (						+			)
								n(втор)
				n(перв)

то эти серии сравнимы и мы можем их объединить.