Стохастический факторный анализ (корреляционный анализ, дисперсионный анализ, регрессионный анализ)

Дисперсионный анализ – статистический метод, предназначенный для оценки влияния различных факторов на результат эксперимента, для последующего планирования аналогичных экспериментов (а именно для выявления причинно-следственных связи между вариацией факторов и вариацией результативных признаков).

Среди факторов будем различать случайные и неслучайные величины, измеряемые в любой из шкал: интервальной, порядковой или номинальной.

Суть дисперсионного анализа состоит в разложении дисперсии признака на составляющие, обусловленные влиянием конкретных (контролируемых) факторов и остаточную дисперсию, объясняемую неконтролируемым влиянием или случайными обстоятельствами, и проверке гипотез о значимости их влияния.

Модели дисперсионного анализа будем классифицировать:

1) в зависимости от числа факторов на однофакторные, двухфакторные и т.д.;

2) по природе факторов на детерминированные (М₁), случайные (М₂) и смешанные, в зависимости от того какими являются уровни факторов.

Однофакторный дисперсионный анализ

Пусть имеются т партий изделий. Из каждой из которых отобрано соответственно изделий (для простоты пусть). Значения показателя качества этих изделий можно представить в виде матрицы наблюдений:

Следует проверить существенность влияния партии изделий на их количество. Положим, что элементы строк матрицы наблюдений – это численные значения (реализации) случайных величин , выражающих качество изделий и имеющих нормальный закон распределения с математическими ожиданиями соответственнои одинаковыми дисперсиями. Задача сводится к проверке нулевой гипотезы, осуществляемой в дисперсионном анализе.

Пусть усреднение по какому-либо индексу будет обозначено через «звездочку» (или точкой) вместо индекса, тогда средний показатель качества изделий i-й партии, или групповая средняя для i-го уровня фактора примет вид:

(1)

а общая средняя –

 

(2)

Представим схему дисперсионного анализа в виде таблицы:

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средний квадрат
Межгрупповая		m – 1
Внутригрупповая		m·n – m
Общая		m·n – 1	–

Справедливо следующее тождество: .

В дисперсионном анализе анализируются не сами суммы квадратов отклонений, а так называемые средние квадраты, являющиеся несмещенными оценками соответствующих дисперсий, которые получаются деление сумм квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы. {Для расчета среднего квадрата используютсят групповых средних, связанных одним уравнением (2), Поэтому число степеней свободы: . Для расчетаиспользуютсятn наблюдений, связанных между собой т уравнениями (1), – число степеней свободы: }.

Проверка нулевой гипотезы сводится к проверке существенности различия несмещенных выборочных оценок  идисперсии.

Гипотеза Н₀  отвергается, если фактически вычисленное значение статистики больше критического, определенного на уровне значимостиα при числе степеней свободы ,, и принимается, если.

Применительно к данной задаче опровержение гипотезы Н₀  означает наличие существенных различий в качестве изделий различных партий на рассматриваемом уровне значимости.

Задача 1

При исследовании влияния стажа работы на производительность труда (количество деталей в день) в одном из цехов завода получен следующий однофакторный дисперсионный комплекс (таблица А1):

Таблица А1

Номер наблюдения			Стаж работы рабочих (лет)
			До 5				5-10		10-15		15-20
1			155				154		153		164
2			153				158		162		162
3			149				157		164		163
4			150				161		163
5									167
	ИТОГИ
	Группы	Счет		Сумма	Среднее	Дисперсия
	Столбец 1	4		607	151,75	7,583333333
	Столбец 2	4		630	157,5	8,333333333
	Столбец 3	5		809	161,8	27,7
	Столбец 4	3		489	163	1
	Дисперсионный анализ
	Источник вариации	SS		df	MS	F		P-Значение		F критическое
	Между группами	301,3875		3	100,4625	7,50887574		0,00432931		3,490294821
	Внутри групп	160,55		12	13,37917
	Итого	461,9375		15

Х**=158,4375