Лекции 18-06-2013_16-38-06 / Лекция Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
.docМодель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ)
Эффективное функционирование экономики предполагает наличие баланса между отдельными отраслями, каждая из которых может выступать как производителем некоторой продукции, так и потребителем продукции, вырабатываемой другими отраслями. Таблицы межотраслевого анализа служат для наглядного выражения взаимной связи между отраслями. Впервые эти таблицы были опубликованы в 1926 г. в России. Математическая модель межотраслевого анализа появилась в 1936 г в трудах американского экономиста Василия Леонтьева.
Цель балансового анализа - ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой - как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями. Экономическая система, для которой применяется метод межотраслевого анализа, может быть большой (экономика региона) или малой (экономика региона или одного предприятия).
Связь между отраслями, как привило, отражается в таблицах межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 г. американским экономистом В. Леонтьевым.
Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию («чистых» отраслей. «Чистая» отрасль – это условное понятие – некоторая часть народного хозяйства, более или менее цельная (например, энергетика, машиностроение, сельское хозяйство и т.п.).) Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.
Таблица межотраслевого анализа
– описывает потоки товаров и услуг между всеми секторами народного хозяйства в течение фиксированного периода времени, например года, например:
Предполагается, что все числа в таблице или количества или индексы количеств определенных товаров или услуг. Если единицы измерения всех указанных величины натуральные (кубометры, тонны, штуки и т.п.) – то рассматривается натуральный межотраслевой баланс, если стоимостные – стоимостный баланс.
Всю производимую отраслями продукцию удобно разделить на две части: промежуточный и конечный продукт. Промежуточный продукт – это та часть совокупного дохода, которой производители обмениваются между собой или используют для собственных нужд. Конечный продукт – это продукция, предназначенная для потребителя. Сектор конечного спроса это сектор, где потребляется конечный продукт – домашнее хозяйство экспорт, правительственные закупки.
Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год).
Введем следующие обозначения:
xi - общий (валовой) объем продукции i-й отрасли (i = 1,2,...,n);
xij - объем продукции i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью в процессе производства (i,j = 1,2,...,n);
yi - объем конечного продукта i-й отрасли для непроизводственного потребления.
Так как валовой объем продукции любой i-й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями и конечного продукта, то
xi = (xi1 + xi2+ ... + xin) + yi , (i = 1,2,...,n).
Эти уравнения (их n штук) называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в эти уравнения, имеют стоимостное выражение.
Введем коэффициенты прямых затрат (технологические коэффициенты (их еще называют коэффициентами прямых материальных затрат):
aij = xij / xj , (i,j = 1,2,...,n),
показывающие затраты продукции i-й отрасли на производство единицы стоимости j-й отрасли.
Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты aij будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е.
xij = aijxj , (i,j = 1,2,...,n),
вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной.
Теперь соотношения баланса примут вид:
xi = (ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn) + yi , (i = 1,2,...,n),
Обозначим
|| x1 || || a11 a12 ... a1n || || y1 ||
|| x2 || || a21 a22 ... a2n || || y2 ||
X = || ... || , A = || ... ... ... ... || , Y = || ... || ,
|| xn || || a1n a2n ... ann || || yn ||
где
X - вектор валового выпуска;
A - матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица);
Y - вектор конечного продукта.
Тогда соотношения баланса можно записать в виде:
X = AX + Y.
С помощью этой модели можно выполнять три вида плановых расчетов:
-
задавая для каждой отрасли величины валовой продукции:
можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли У: У =(I–A)Х;
-
задавая величины конечной продукции всех отраслей (У) можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Х): Х =(I–A)-1 ۰У;
-
задавая для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей – объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.
Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.
Перепишем матричное уравнение в виде:
(E - A) X = Y.
Если матрица (E - A) невырожденная, т.е. ее определитель не равен нулю, тогда:
X = (E - A)-1 Y.
Матрица S = (E - A)-1 называется матрицей полных затрат.
Чтобы выяснить экономический смысл элементов матрицы S = (sij), будем задаваться единичными векторами конечного продукта:
|| 1 || || 0 || || 0 ||
|| 0 || || 1 || || 0 ||
Y1 = || ... || , Y2 = || ... || , ... , Yn = || ... || .
|| 0 || || 0 || || 1 ||
Тогда соответствующие векторы валового выпуска будут:
|| s11 || || s12 || || s1n ||
|| s21 || || s22 || || sn2 ||
Х1 = || ... ||, Х2 = || ... ||, ... , Хn = || ... || .
|| sn1 || || sn2 || || snn ||
Следовательно, каждый элемент sij матрицы S есть величина валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли.
В соответствии с экономическим смыслом задачи значения xi должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях yi и aij.
Матрица А называется продуктивной, если для любого вектора Y существует решение X уравнения (E - A) X = Y. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.
Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Один из них говорит о том, что матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы.
Задача.
В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период в усл. ден. ед.:
Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроения сохранится на прежнем уровне.
Решение.
Имеем x1 = 100, x2 = 150, x11 = 7, x12 = 21, x21 = 12, x22 = 15, y1 = 72, y2 = 123.
По формуле aij = xij / xj находим коэффициенты прямых затрат: a11 = 0,07; a12 = 0,14; a21 = 0,12; a22 = 0,10.
Т.е. матрица прямых затрат
|| 0,07 0,14 ||
A = || 0,12 0,10 ||
имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности:
max {0,07 + 0,12; 0,14 + 0,10} = max {0,19; 0,24} = 0,24 < 1.
Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска X по формуле X = (E - A)-1 Y.
Напишем матрицу полных затрат S = (E - A)-1:
|| 0,93 - 0,14||
E - A = || - 0,12 0,90 || .
Так как |E - A| = 0,8202, то
|| 0,90 0,14 ||
S = | E - A |-1 = 1 / 0,8202 || 0,12 0,93 || .
По условию вектор конечного продукта:
|| 144 ||
Y = || 123 || .
Тогда по формуле X = (E - A)-1 Y получаем вектор валового выпуска:
|| 0,90 0,14 || || 144 || = || 179,0 ||
X = 1 / 0,8202 || 0,12 0,93 || || 123 || = || 160,5 || ,
т.е. валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179,0 усл. ед., а в машиностроительной - до 160,5 усл. ед.
Задача (для самостоятельного решения).
В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период, усл. ден. ед.:
Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт первой отрасли должен увеличиться в 2 раза, а второй отрасли - на 20%.
Ответ: (945,6; 691,2)'.