shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

Если в < к, то метод Аронова — Бьерхаммара выгодно применять липп для выделения регионального влияния. При этом понадобится меньше приближений, если в качестве исходных аномалий принять не точечные, а средние аномалии по квадратам размером й X й (расстояние д, больше расстояния и отвечает условию й^>к).

После выделения регионального влияния вычисления должны выполняться в поле остаточных аномалий. Чтобы использовать электронную машину, выгодно задать аномалии и соответствующие им высоты в узлах более густой квадратной сетки, стороны которой меньше среднего расстояния между гравиметрическими пунктами.

§51. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ «ЧИСТЫХ» АНОМАЛИЙ

Внастоящее время спутниковые методы позволяют определять высоть. квазигеоида с ошибкой порядка нескольких метров. Таким образом появляется возможность вычислять чистые аномалии силы тяжести.

Связь между чистой и смешанной аномалией на основании (VIII.4) устанавливается в виде

(ём ~ Ум) = (ём - Ум) - (-^г)м I

или

(ем — Ум )мгл = (ём — Ум)мгл — 0 , 3 0 8 6 2 ; м .

Переходя к средним квадратическим ошибкам, получим

тЬм~Ум) =|»(«м-Т№) + 0 ' 0 9 5 т ! -

Принимая ошибку т% определения высоты квазигеоида по спутниковым данным порядка 10 м, получим

тЬм~Ум) = тЬм~Ун) + (3>

Следовательно, чистая аномалия получается несколько грубее смешанной, однако при учете влияния дальних зон в областях разреженной гравиметрической съемки, где приходится прибегать к интерполированию аномалий, применение чистых аномалий вместо смешанных дает определенные преимущества. Имея в виду, что расчеты, связанные с использованием чистых аномалий, носят приближенный характер, дадим вывод формул для возмущающег' потенциала и составляющих уклонений отвеса в стоксовом приближении.

Граничное условие для возмущающего потенциала в точках физической поверхности Земли дается формулой (VIII.2). Отнесем это условие к поверх-

ности сг сферы радиуса В		.
дт	.
др [Г+В	" (ём	Тм).

Задача определения возмущающего потенциала в такой постановке сводится к внешней сферической задаче Неймана. Для ее решения воспользуемся интегралом Пуассона (11.41) и применим его к функции р (дТ/др) (эта функция, так же как и Т, будет гармонической на основании леммы, приведенной в § 12:

Будем иметь

( д т \

1 СГ ~ ЭТ р2 —Л2 ,

с

240'

Но на поверхности а сферы р = Е, дТ/др = — — Ум), поэтому

а

ии. так как при интегрировании по сфере р будет величиной постоянной

о

Интегрируя это выражение по р, в пределах от р до оог и замечая, что* Т — 0, получим

р

Г

Из соотношения (11.37) легко получить формулу, аналогичную (11.44)

ргЗ	г гр ^	др V г ) '
Таким образом,
р
г
3	ргз
со

Поскольку

Г1

лгр Я

г'Лучаем

	л	2	1	,	№ — Дрс051|)+ Иг
	рг»		Л			р
Но при р оо, г -*• оо, Нш			=	1, и потому
	/ ^ — ДрсоягЬЧ-йг				=Е(1	..
	11П1	*	-			— С08
'Следовательно,
О	рг»	! г	н		рп	(1 — 0081)3)
оо
Окончательно	получим	-V,,)[4-- 1 г г ; г з
г.	^

а

Эта формула дает возможность вычислить возмущающий потенциал во- ».-г:;шем пространстве по заданным чистым аномалиям на сфере. Можно вос- а- --.ьзоваться ею для вычисления Т на поверхности о сферы; в этом случае-

слглует положить р = Е, г = 2Е зт-^-'

I'-' 3»иая 1379

244

Будем иметь

Та	— [ с о з е с — 1п(Ч+ собес
а
Соответственно формула для вычисления высоты квазигеоида
где	0
II (яр) = созес		1п ^ 1 + созес
Для составляющих уклонений отвеса получим формулы, аналогична
/VIII. 57)			008М(*>
1= И { ё м "Ум)
^ =	И м -	Ум)	81п
	а

Глава IX

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕСТНОЙ ГРАВИМЕТРИЧЕСКОЙ СЪЕМКИ В ГЕОДЕЗИИ

§ 52. НАЗНАЧЕНИЕ МЕСТНОЙ ГРАВИМЕТРИЧЕСКОМ СЪЕМКИ

В предыдущей главе были подробно рассмотрены способы определения

возмущающего	потенциала Земли Т, а также величин	| и т] в произвольных
точках земной	поверхности.

Выведенные в этой главе формулы дают возможность вычислить геодезические координаты В, Ь и Н точек земной поверхности относительно принятого

общего земного эллипсоида,	т. е. в конечном счете определить фигуру	Земли
в целом.
Важной отличительной	особенностью полученных в предыдущей	главе

формул является необходимость интегрирования аномалий силы тяжести по всей поверхности Земли.

В настоящее время при обработке геодезических измерений и решения практических задач геодезии в пределах одного или нескольких государств, расположенных на одном континенте, в качестве координатной поверхности принимают поверхность референц-эллипсоида.

Референц-эллипсоидом называется эллипсоид определенных размеров, ориентированный в теле Земли так, что геодезические координаты какого-либо одного пункта поверхности Земли (выбираемого в качестве исходного) принимаются равными некоторым заданным величинам.

Можно, например, положить, что геодезические координаты В0					и Ь0 исход-
ного пункта в точности равны астрономическим			ср0 и к0. Однако практически
оказывается, что геодезические координаты: широта В0,				долгота Ьй, азимут		А0
и высота Н0 исходного пункта несколько отличаются от астрономических						<р0,
Я0, аа и нормальной высоты Щ	на некоторые		малые	величины	(Б0 — ср0),
(Ь0 — Я0), (Ап — ас ) и (Н0 — Щ ) .	В	этом случае возникает задача их точного
определения.
Задача подбора геодезических		координат В0, Ьс,		Ап и Н0,	в исходном

пункте триангуляции, а также сжатия а и большой полуоси а референц-эллип- соида называется установлением исходных геодезических дат. Она может быть решена различными методами, подробно рассматриваемыми в курсе высшей геодезии.

Поскольку геодезические координаты в исходном пункте земной поверхности считаются известными, задача определения геодезических координат относительно референц-эллипсоида в других пунктах фактически сводится к определению лишь приращений координат.

16*

243-

Для определения приращений геодезических координат вся территорг подлежащая изучению, покрывается триангуляционными, трилатерационнк« или полигонометрическими сетями, а также нивелирными полигонами.

Геодезические координаты любого пункта, соединенного с исходна в системе референц-эллипсоида, вычисляют по формулам

	В = В0 + АВ	\
	1 = Ь0 + АЬ	,
Я	= Я 0 + Д Я А Г	]
где В0, Ь0, Я0 — геодезические	координаты	исходного пункта триангулянг"

АВ и АЬ — приращения широты и долготы, получаемые в результате решег прямой геодезической задачи на эллипсоиде; А Я а г — приращение геоде

ческой высоты над референц-эллипсоидом 1.

Геодезическая высота Я имеет двоякое значение: во-первых, является одб

из пространственных координат и потому должна определяться не менее точно, ч другие координаты, во-вторых, необходима для получения плановых коордпг методом проектирования. Приращение геодезической высоты А Я А г может б;

получено без использования результатов гравиметрической съемки нето~ тригонометрического нивелирования. Например, формула М. С. Молоденск позволяет вычислять АЯдг > используя измеренные зенитные расстояния

А # а г = -у- (соз2!.2 — с о з 2 2 + ( / У 2 — А ^ + АЯА Г ) з ш 2 - | - ,

где 5 — расстояние между точками 1 ж 2; г12 — зенитное расстояние направо ния из первой точки на вторую; г а л — обратное зенитное расстояние; . и N2 — радиусы кривизны первого вертикала эллипсоида в точках 1 и 2; V угол между координатными линиями Н г и Н2 .

Однако необходимо учитывать, что на точность измеренных зенитш расстояний большое влияние оказывает вертикальная рефракция. Вследст; этого метод тригонометрического нивелирования при высокоточном опред(." нии геодезических высот не применяется.

Для точного определения приращений Д # а г приходится раздельно оп;

делять приращения нормальных высот АНУ и высот квазигеоида Д^дг		от:
сительно референц-эллипсоида, после чего из соотношения
А Я А Г = = Д Л 1 ,	+ А С А Г ,	( I X .
полученного из (VI.22), находят АЯдг-	ДЛЯ вычисления приращений	А.

и А^аг требуется местная (региональная) гравиметрическая съемка, выполг

емая в определенной ограниченной области.

Прежде чем определять приращения геодезических координат АВ и методами сфероидической геодезии, необходимо линейные и угловые измеренг производимые на физической поверхности Земли, редуцировать на пове[ ность референц-эллипсоида. Для этого требуется знать так называемое аст; номо-геодезическое уклонение отвеса и и геодезическую высоту Я над пове; ностью референц-эллипсоида. Астрономо-геодезическим уклонением отв1 называется угол (п, §) (см. рис. 34) в точке наблюдения, образованный отвесн

1 Здось и далее все величины, вычисляемые относительно референц-эллипсоида СУ жены подстрочным индексом — АГ, означающим астрономо-геодезическую величину.

244'

шией и нормалью к поверхности референц-эллипсоида. Составляющие этого •да в плоскостях меридиана и первого вертикала получают по разностям трономических и геодезических координат

	(1Х.2)
|	Угол (у, §) (см. рис. 34) в дальнейшем будем называть гравиметрическим

уклонением отвеса, поскольку он определяется через аномалии силы тяжести. Как видно из сопоставления выражений (VI.5) и (IX.2), составляющая 1аг

•строномо-геодезического уклонения отвеса в плоскости меридиана отличается •т составляющей % гравиметрического уклонения отвеса в той же плоскости ва величину поправки АВ — поправки за кривизну силовой линии нормальной сшлы тяжести

Что касается возможности вычисления составляющих уклонений отвеса |аг

• Чаг по формуле (IX.2), то следует иметь в виду, что астрономические коорди-

•аты ф и X могут определяться не на каждом пункте триангуляции. При построении государственной геодезической сети в СССР предусмотрено размеще- п е на обоих концах выходных сторон триангуляции 1 класса, находящихся шл расстоянии 200—250 км друг от друга, так называемых пунктов Лапласа,

• которых определяются ср, X и а, а в середине звеньев (примерно через 70— 1100 км) — промежуточных астрономических пунктов, в которых определяются лшшь ф и X. Поэтому составляющие уклонений отвеса могут быть вычислены шо формуле (IX.2) только в тех пунктах триангуляции, где измерены астрономические широты и долготы. Во всех остальных пунктах составляющие уклонений отвеса получают путем интерполирования с использованием гравиметрических уклонений отвеса.

Таким же путем можно получить геодезические координаты пунктов, на которых выполнены одни лишь астрономические определения.

Следовательно, местная гравиметрическая съемка используется для реше-

кая следующих задач:
1) получения поправок	в измеренные превышения при вычислении раз-
| «остей нормальных высот	АНу;

•2) определения приращений высот квазигеоида А^лг;

	3) вычисления интерполированных уклонений отвеса в пунктах триангу-
1 дяппп;
|	4) получения геодезических координат астрономических пунктов, не явля-

юшпхся пунктами триангуляции.

§ 53. СИСТЕМЫ ВЫСОТ

Задача точного определения высот пунктов, расположенных на физической •оверхности Земли над принятым референц-эллипсоидом, достаточно сложна.

Высоты вследствие сложной формы земной поверхности подвержены резким |колебаниям и не могут быть получены непосредственно из измерений. Обычно |кх принято делить на две части: наиболее резко меняющуюся (так называемую пшсометрическую), отражающую всю сложность физической поверхности

1 При условии, если за уровенный эллипсоид принят референц-эллипсоид. В противаом случае должна быть учтена поправка за несовпадение нормалей к уровенному эллипсвкху и к референц-эллипсоиду.

245'

Земли, и более спокойную, меняющуюся плавно на довольно значителырасстояниях. Назовем ее условно геоидальной частью.

Выделение из геодезической высоты гипсометрической части имеет ва;г ^ значение и вызвано многовековой практикой человечества, связанной с ре;: нием различных практических задач. Гипсометрическая часть геодезичес:- - высоты получила название высоты над уровнем моря. Геоидальную ча,:_ высоты можно рассматривать как высоту уровня моря над поверхностью ре_ - ренц-эллипсоида.

Рассмотрим способы определения гипсометрической части высоты. По*. жем, что гипсометрическая часть высоты не может быть получена лишь в резул. тате чисто геометрического процесса нивелирования.

Поверхность Земди

Получаемая в процессе нивелирования разность отсчетов к.2 — кг = ^ по рейкам называется измеренным превышением. Это превышение равно отрез?

отвесной линии между уровенными поверхностями,		которые пересекают физ;
ческую поверхность Земли в точках стояния нивелирных реек.
При выполнении нивелирования между	значительно удаленными		др;
от друга точками возникает необходимость	вставлять промежуточные		точь
и нивелировать линию по частям. В результате		суммирования нивелирнк

превышений вдоль линии нивелирования от уровня моря (начальной точк: до определяемой точки В получается измеренная высота (рис. 53)

#изм = 2дл.

о

Если считать перемещения вдоль линии нивелирования и сами величины бесконечно малыми, то

в

о

Измеренные превышения Ак (йк) в разных местах между одними и теми ^ уровенными поверхностями будут различными вследствие непараллельное:, уровенных поверхностей и потому измеренная высота, получаемая как сумм измеренных превышений, зависит от направления ходовой линии.

246'

В этом легко убедиться. Положим, что нивелирование совершается по двум направлениям (см. рис. 53): 1) от уровня моря (точка О) до точки И, затем вдоль уровенной поверхности до точки В и 2) от точки О вдоль уровня моря

до точки С, а затем до точки В. В первом случае 2			& к = 0 0 ,	а во втором —
		олв
2 Ай =	СВ,	т. е. измеренная высота точки, полученная		по	ходам ОВВ
осв	имеет	неодинаковое значение. Следовательно,	поскольку		измеренные
и ОСВ,

таким образом высоты не определяются однозначно, они непригодны для практического использования в геодезии.

Для определения гипсометрической части высоты рассмотрим две системы высот: нормальную Ну и ортометрическую Н8.

Разумеется, что любая система определения гипсометрической части высоты должна быть связана с задачей определения высот точек земной поверхности над принятым эллипсоидом, для чего необходимо решить вопрос о соответствующем определении другой части геодезической высоты — геоидальной.

Система нормальных высот, введенная в СССР по предложению М. С. Молоденского, полностью соответствует теории определения фигуры Земли и задаче определения геодезических высот точек земной поверхности.

При разложении					возмущающего				потенциала		в ряд Тейлора (§ 31) был
опущен член	дЮ	^	(В,	О)		„у		„
				—		НУ-АВ.		Подсчитаем его значение.
Поскольку							дЦ(В,		О)
										- V .
то, используя	(У.41),				получим			дЮ'
						дт(В,		О)	ду	о •	о
						дНУдВ		=	~дВ =	81П	ф'
а приняв зш 2ф =				1,	р	Узос» АВ =			0,6'
						д2П	0)	НУАВ = 10~6 • V» • Я7
						<)НУдВ				Уе	'

Поскольку далее аномалия высоты ^ получается делением возмущающего потенциала Т на значение нормальной силы тяжести у, то погрешность высоты,

обусловленная членом 9 дууд^ НУАВ, будет порядка (Ю-6 уеНу)/у ^ 10~6Я7.

Таким образом, сумма высоты квазигеоида и нормальной высоты определяет высоту точки над отсчетной поверхностью даже при Ну = 10 км с ошиб-

кой менее 1 см, а при ВТ* = 1 км — с ошибкой менее 1 мм.

Следовательно, даже в первом приближении задача определения геодезических высот решается в теории М. С. Молоденского с точностью, вполне удовлетворяющей решение практических задач.

Ортометрической высотой называется расстояние между точкой физической поверхности Земли и поверхностью геоида, отсчитываемое по отвесной линии, проходящей через рассматриваемую точку. На рис. 53 отрезок СВ отвесной

линии — ортометрическая высота точки В.

Ортометрическая высота может быть получена через разность потенциалов точек В и О. Поскольку точки О я С лежат на одной и той же уровенной поверх-

ности

Ы

247'

Считая, что на отрезке СВ известно среднее значение силы тяжести

заменим переменное значение § ее средним значением, т. е. положим

ллх>

[ Вйк =

е»\Ак.

Сумма элементарных превышений от С до В, очевидно, равна отрезку СБ. т. е. ортометрической высоте точки В, которую обозначим И%. Таким образо«_

	ёт^в	= |	Л
отсюда	в
ТТ&	б	=	5	.	( I X .
Н В =	5

8т 8т

Из (IX.3) видно, что ортометрические высоты определяются однозначн. поскольку разность потенциалов между точками физической поверхности Земли О и В не зависит от направления нивелирного хода.

Всоответствии с ортометрической высотой должна быть определена и вторая составляющая геодезической высоты, т. е. ее геоидальная часть.

Вданном случае геоидальной частью высоты является отрезок В0С (см.

рис. 53), который называют высотой геоида над эллипсоидом (обозначим ег' через П -

Если бы значение возмущающего потенциала в точке геоида С было бь точно известно то величина % определялась бы согласно (VI. 19) аналогично* формулой

Г'- Тс	I Цр-Ко	'
V	V

где Тс — значение возмущающего потенциала в точке геоида С. Однако определить потенциал внутри притягивающих масс, не зная с достаточной точность:- их плотность, не представляется возможным.

В свою очередь оказывается, что нельзя вычислить точное значение ортометрической высоты по формуле (IX.3) из-за невозможности точного определения величины

Остановимся на этом вопросе несколько подробнее. В принципе величина дт может быть найдена либо из наблюдений, либо — в результате вычислений.

Для того чтобы использовать первый путь, необходимо вдоль линии ВС

пробурить скважину и измерить силу тяжести на различных глубинах вплоть до поверхности геоида. Тогда может быть выведена как среднее значени» из всех измеренных величин. Очевидно, такой способ определения § нереален. Другой метод определения § т состоит в вычислении значения § т с использованием редукции Прея. Этот метод был разработан швейцарским геодезистом Нитхаммером в 1932 г.

Редукция Прея дает возможность получить действительное значение силы тяжести внутри притягивающих масс, в данном случае в точке Б (средней точке ортометрической высоты) (см. рис. 53).

Достигнуто это может быть следующим образом.

218'

Из измеренного значения силы тяжести в точке В — дв вычитается вли- ввне внешних притягивающих масс, лежащих между точкой наблюдений В

• точкой Б. Точное значение этого влияния должно быть вычислено по формуле

1*11.3)

х

п е б — плотность в текущей точке внутри притягивающих масс и интегрирование распространяется на всю учитываемую область. После введения этой «оправки будет получено значение силы тяжести в точке В, которое было бы

жри отсутствии внешних притягивающих масс. Далее необходимо перенести днзчение силы тяжести в точку Б при помощи редукции в свободном воздухе

л , де ВС

В результате определено значение силы тяжести, которое было бы в точке Б •рн отсутствии внешних притягивающих масс; дд/дп — вертикальный градиент

действительной силы тяжести.

Для получения значения силы тяжести в точке Б, которое бы наблюдалось •ра наличии внешних притягивающих масс, следует ввести поправку Ад'

и влияние этих масс на значение силы тяжести в точке Б, вычисляемое по +>рмуле (УП.З).

В общем случае Ад Ф Ад', поскольку вычисление влияния притягивающих шее производится в разных точках (в первом случае — в точке В, во втором случае — в точке Б). Окончательно будем иметь

л	. , . дё	ВС
&> = 6п = Яв —Д*—А* +		— 2 '

Отсюда видно, что для получения значения величины дт необходимо знать

»лкон распределения плотностей внешних масс и вертикальный градиент действительной силы тяжести. Поскольку ни то, ни другое точно неизвестно, •риходится идти на упрощения. Так, при вычислении редукции Прея привжмается дд/дп = ду/дп = 0,3086 мгл/м, а поправка за влияние внешних

кзитягивающих масс вычисляется как притяжение плоского однородного

ВС

кжлпндра, для которого Д^ = Ад' = 0,0418 б — .

В таком случае

			ёв = §в + Адп,
гзе Адп =	+0,3086	ВС	вс
			2 X 0,04186 - у . Эта величина называется редук-

сгей Прея.

Способ, предложенный Нитхаммером, испытан В. Ф. Еремеевым на разлжчных моделях. Оказалось, что основную часть погрешности вносит исполь- »эвание нормального градиента силы тяжести, так как при этом остается неучтенным влияние внутренних аномальных масс. Разумеется, что незнание точного закона распределения плотностей во внешней массе также вносит дополнительные ошибки. Для трех моделей Еремеева общие погрешности способа, предложенного Нитхаммером, составили заметную величину (0,5; 1,3; 0,1 м).

Таким образом, поскольку плотность внешних масс и аномалия вертикальвого градиента силы тяжести, вызванная внутренними аномальными массами, т;чно неизвестны, ортометрическая высота не может быть точно вычислена.

249'