Типовой расчет по теме«Оценивание, проверка статистических гипотез»

Специальность «Управление персоналом», «Менеджмент».

I. Из генеральной совокупностиXсделана выборка объемаn = 200. Требуется на основании этой выборки сделать аргументированное заключение о законе распределения генеральной совокупности и её основных числовых характеристиках.Для этого необходимо:

а) найти статистический ряд с числом интервалов, равным, например, 12;

б) построить гистограмму;

в) найти статистическую функцию распределения и построить ее график;

г) найти точечные оценки математического ожидания и дисперсии;

д) найти доверительный интервал для математического ожидания с заданной надёжностью (доверительной вероятностью);

е) на основании критерия согласия (Пирсона) проверить гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности.

II. По данным таблицы - группированной выборки двумерного вектора (X,Y), требуется найти выборочное уравнение прямой – линии линейной регрессииY на X.

Каждому студенту преподаватель выдает для обработки выборку объема

n = 200 из таблицы нормально распределенных случайных чисел и группированную выборку двумерного вектора в виде таблицы.

Рассмотрим каждый этап выполнения работы.

1. Составление статистического ряда, гистограммы и нахождение точечных оценок математического ожидания и дисперсии.

В заданной выборке находим наименьший аи наибольшийbэлементы. Частное округляем до десятых, и полученное число берем в качестве шага разбиенияh. Вводим отрезок, длина которого 12 h, причем числа и подобраны так, чтобы ; и, кроме того, чтобы и имели не более двух знаков после запятой для простоты дальнейших вычислений.

Отрезок разбиваем точкам ,x₁, x₂,…, x₁₂ = ,на 12 равных частичных интерваловзатем определяем частотыn_i,то есть число элементов выборки, попавших в каждый из частичных интерваловΔ_iи относительные частоты,i=1, …,12.

Примечание. Если некоторые элементы выборки не попали на отрезок , то их условимся относить к ближайшему крайнему интервалу. Числа, совпадающие с границами частичных интервалов, условимся относить к левому интервалу. В качестве членов статистического рядаберем числа, являющиеся серединами частичных интервалов:

Результаты оформляются в виде таблицы (табл. 1).

Таблица1

Номера интервалов	1	2	3	…	12	Примечания
Границы Интервалов				…
				…
				…
				…

Пример.Пусть нам дана следующая выборка

-0,669 0,392 -0,337 0,369 -1.694	0,035 0,106 0,199 -1,990 0,710	-2,077 1,430 -0,160 -1,190 -0,655	1,077 -0,204 0,625 0,666 -0,546	0,525 -0,326 -0,891 -1,614 1,654	-0,154 0,825 -1,464 0,082 0,134	-0,537 1,214 1,353 -0,184 -0,529	-1,036 0,091 0,466 -1,324 -0,915	0,882 -0,032 1,000 0,741 -0,898	-0,402 -1,264 1,511 -0,264 0,799
0,985 -1,063 0,033 0,597 -1.601	0,340 -0,594 -1,527 0,362 -0,570	0,276 -1,526 1,422 -3,760 0,133	0,911 -0,787 0,308 1,159 -0,660	-0,170 0,873 0,845 0,874 1,485	-0 ,551 -0,405 -0,151 -0,794 0, 682	-0,036 1,469 1,642 -0,358 0,104	0,679 -0,318 0,033 0,162 1,215	-0,432 0,922 -0,838 0,064 0,686	0,678 0,522 -0,872 1,594 0,676
-0266 0,901 -1,433 1,327 -0,248	-1,309 1,531 -1,008 0,703 0,788	0,597 -0,889 -0,990 -1,724 0,577	0,989 -1,019 0,090 -0,709 0,122	0,934 0,084 0,940 -1,100 -0,536	1,079 1,531 0,207 -1,346 0,293	-0,999 0,638 -2,243 0,183 -0,126	0,015 1,297 -0,039 -0,163 1,627	-0,094 -0,139 0,276 1,212 0,658	-1,920 -0,157 -0,551 -0,452 1,348
-0,401 0,344 0,441 0,824 1,385	-0,679 0,324 -0,372 0,040 1,320	0,921 0,686 -1,336 -1,734 -0,509	0,476 -1,487 0,062 0,261 -0,381	1,121 -0,136 1,506 0,054 -1,671	-0,864 0,803 -0,315 -0,379 -0,524	-0,656 -0,745 1,207 -0,961 1,298	-0,220 0,932 0,838 -2,716 -1,248	-1,566 -0,833 -0,304 0,823 0,346	-0,144 -0,946 0,128 -0,112 -0,805

Составляем статистический ряд с 12 интервалами. Наименьший элемент выборки a= -3,760, наибольшийb = 1,654. Частное == 0,451. Округляя, получаемh=0,5.

12 h = 12 ^.0,5 = 6. Поэтому удобно взять

Составляем табл.2.

Построим гистограмму (рис. 1). Гистограммапредставляет собой ступенчатую фигуру, составленную из прямоугольников, основания которых - частичные интервалы Δ_i = ;расположенные на оси абсцисс, высоты пропорциональны, а площади равны соответствующим частотам. В нашем примере все эти данные берем из таблицы 2 .

Гистограмма Рис. 1

Далее строим эмпирическую функцию распределения. Она имеет вид где - число элементов выборки, меньших х; здесь х - любое вещественное число.График эмпирической функции распределения представ-ляет собой ступенчатую линию, определенную на всей числовой оси (рис.2). Значения этой функции заключены в промежутке [0,1]. Из таблицы 2 находим

Отсюда график эмпирической функции распределения имеет вид

1

0.960

0.870

0.680

0.495

0.325

0.155

0.075

0.020

x

0.010

0.005

-2.75

-2.25

-1.75

-1.25

-0.75

-0.25

-3.25

-3.75

0 0.25

0.75

1.25

1.75

График эмпирической функции распределения

рис.2

Замечание. Для наглядности, при построении гистограммы и эмпирической функции распределения масштаб по оси абсцисс и оси ординат может быть выбран различным.

Найдем точечные оценки математического ожидания и дисперсии. В качест-ве таких оценок выбирают среднее выборочное значение и выбо-рочную дисперсию, где.

Результаты заносим в таблицу вида 3.

Таблица 3

Номер интервала

1

2

3

...

12

Некоторые результаты

...

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

...

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

...

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

...

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Таблица 3 строится по данным табл.2, затем вычисляются EMBED Equation.DSMT4 иS ². В нашем примере результаты приведены в табл.4, после ее создания найдены EMBED Equation.DSMT4 иS ².