Эконометрика. Лабораторный практикум

	A	B	C	D	E
1	i	xi	yi	ui =1/ xi	vi = yi / xi
2	1	22	15	0.04545	0.68182
…	…	…	…	…	…
10	10	33	18	0.03030	0.54545

Для новых переменных оценка уравнения регрессии обычным МНК даёт следующий результат: vu = 4.700u + 0.442 .

При возвращении к старым переменным коэффициенты регрессии долж-

ны поменяться ролями:
y x = 0.442x + 4.700.	(*)

Сравнив этот результат с оценкой линейной регрессии для тех же данных обычным МНК (работа 6), обнаруживаем довольно существенную разницу.

24	Y, тыс.
	руб.
22
20
18
16
14
12				X , тыс. руб.
10
10	20	30	40	50

3. Выведем обе линии регрессии на одной диаграмме. Для этого можно ввести в таблицу дополнительный столбец, в котором будут рассчитаны значе-

ния y x по формуле (*), а затем добавить данные на диаграмму. На рисунке ли-

ния регрессии, полученная обычным МНК, показана штриховой линией, а результат применения обобщённого МНК (с целью устранения влияния гетероскедастичности остатков) – сплошной линией.

Контрольные вопросы

1.Попробуйте применить к заданию 7 тест Голдфелда-Квандта [14].

2.(Вопрос повышенной сложности). Теоретически известно, что при наличии гетероскедастичности оценки по обобщённому МНК оказываются эффективными, в отличие от

31

оценок по обычному МНК. Докажите это статистически методом Монте-Карло. Для этого смоделируйте случайную величину Y как

yi = axi +b + xiεi , i =1, n ,

где X принимает целые значения от 1 до 10, а величина εi определяется с помощью функции СЛЧИС (см. работу 1). Значения a и b подберите самостоятельно.

Работа 8

Моделирование динамики. Автокорреляционная функция

Время на выполнение и защиту – 2 часа.

Цель работы:

исследование динамики явлений, обнаружение линейного тренда и цикличности на основе построения автокорреляционной функции.

Изучение динамики явлений с помощью рядов динамики

Динамика явлений – это процесс их развития, процесс изменения во времени. Всякий ряд динамики (временной ряд) содержит, во-первых, показания времени (моменты или периоды), и, во-вторых, соответствующие им значения количественного признака Y, которые принято называть уровнями развития или уровнями ряда.

Ряд динамики (временной ряд) теоретически может быть представлен в виде суперпозиции следующих составляющих:

1)основная тенденция развития (тренд);

2)циклические колебания;

3)случайные колебания.

Весьма часто последующий уровень ряда динамики коррелирует с предыдущими уровнями. Это явление, имеющее место как при наличии тренда (тенденции), так и при наличии циклических колебаний, называется автокор-

реляцией уровней ряда.

Запаздывание на τ временных интервалов между уровнями временного ряда yt и yt−τ называется лагом.

Коэффициент автокорреляции с лагом 1 может быть вычислен по форму-

ле

r ≡ r	yt yt −1	=		yt yt −1	−	yt		yt −1	,
1				σtσt −1

где

32

yt =

1 ∑yt ;

yt −1 =

1 ∑yt −1 ;

yt yt −1 =

1 ∑yt yt −1 ;

n

n

n

n −1 t =2

n −1 t =2

n −1 t =2

yt2 =

1 ∑yt2 ; yt2−1 =

1 ∑yt2−1 ;

n

n

n −1 t =2

n −1 t =2

σt2 = yt2 − (yt )2 σt2−1 = yt2−1 − (yt −1 )2 .

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции более высоких порядков. Например, коэффициент автокорреляции второго порядка может быть вычислен по формуле

r ≡ r

yt yt

=

yt yt −2

−

yt

yt −2

,

2

−2

σtσt −2

где

yt

=

1

∑yt ;

n

yt −2 =

1 ∑yt −2 ;

n − 2

t =3

1 ∑yt yt −2 ;

yt yt −2 =

n

n

t =3

n − 2

t =3

;

yt2−2 =

n − 2

yt2 =

1 ∑yt2

1 ∑yt2−2 .

n

n

n − 2

t =3

n − 2

t =3

Последовательность коэффициентов автокорреляции с лагом 1, 2, … называется автокорреляционной функцией временного ряда. Если наиболее высоким оказался коэффициент с лагом 1, то имеется только линейная тенденция. Если наиболее высоким оказался коэффициент с лагом τ , то во временном ряде содержится циклическая составляющая с периодом τ .

Задание для лабораторной работы

В данной работе выполняется следующее задание (см. примеры 27 и 28

[14]).

Задание 8. Имеются данные о динамике обменного курса доллара за 12 месяцев отчётного года (Y – обменный курс в рублях, t – номер месяца).

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
yt	23,4	23,6	24,4	23,5	24,1	24,7	24,5	24,3	24,8	24,4	24,6	25,2

Требуется:

33

1)найти автокорреляционную функцию уровней ряда динамики (коэффициенты автокорреляции для лага 1, 2, 3);

2)сделать вывод о наличии линейной тенденции и цикличности;

3)оценить линейную тенденцию развития Y во времени уравнением

yt = a*t + b* ;

4)найти коэффициент детерминации модели;

5)дать прогноз обменного курса на основе линейной регрессии на июнь будущего года (если это возможно).

Смысл данной работы состоит в том, чтобы по ряду динамики научиться обнаруживать наличие линейной тенденции и цикличности, а также использовать полученную регрессионную зависимость для прогноза.

Инструкция по выполнению задания

Для проведения этих вычислений придётся ввести в таблицу дополнительные столбцы, каждый из которых смещён относительно предыдущего на 1 временной шаг.

	A	B	C	D	E
1	t	yt	yt −1	yt −2	yt −3
2	1	23.1	–	–	–
3	2	23.5	23.1	–	–
4	3	24.0	23.5	23.1	–
5	4	24.5	24.0	23.5	23.1
6	5	24.7	24.5	24.0	23.5
7	6	25.2	24.7	24.5	24.0
8	7	25.6	25.2	24.7	24.5
9	8	25.8	25.6	25.2	24.7
10	9	26.0	25.8	25.6	25.2
11	10	26.6	26.0	25.8	25.6
12	11	27.1	26.6	26.0	25.8
13	12	27.4	27.1	26.6	26.0

Разумеется, эту операцию следует делать не вручную, а применяя автозаполнение. После этого легко рассчитать коэффициенты автокорреляции по приведённым выше формулам. Однако это можно сделать и с помощью функции КОРРЕЛ. Примените оба способа.

Дать прогноз на основе линейного тренда можно только в том случае, если наиболее высоким оказался коэффициент с лагом 1. В противном случае необходимо смоделировать циклические колебания, что выходит за рамки данного задания.

Пункты 3-5 задания выполняются на основе знаний и умений, полученных при выполнении предыдущих лабораторных работ.

34

Контрольные вопросы

1.Как выявляется линейный тренд по анализу цепных приростов в ряде динамики?

2.Проделав все необходимые действия, вы не обнаружите в данном ряде динамики цикличности. Постройте диаграмму Y (t) и убедитесь, что она действительно не имеет при-

знаков цикличности. Теперь поэкспериментируйте со значениями Y , чтобы добиться появления циклической составляющей (сначала с циклом 2 месяца, затем с циклом 3 месяца).

3. Для моделирования циклических колебаний постройте модель с фиктивными переменными и попробуйте использовать её для прогноза.

Примеры тестовых заданий по эконометрике

1.Между двумя количественными признаками – количество осадков за последнюю неделю и уровень воды в реках:

существует функциональная зависимость 5 существует положительная корреляция

существует отрицательная корреляция

не существует никакой связи

2.Проверяется гипотеза о генеральном коэффициенте корреляции

H 0 : r(X ,Y ) = 0, H1 : r(X ,Y ) ≠ 0 .

Выборочный коэффициент корреляции оказался равным нулю. Может ли при таком результате быть отклонена основная гипотеза?

5 нет, не может

может, если мал объём выборки

может, если признаки имеют большое рассеивание

может, если задан высокий уровень значимости гипотезы

3.Регрессия - это:

прогрессия, в которой члены расположены в обратном порядке

функциональная зависимость между двумя случайными величинами

зависимость некоторой случайной величины от среднего значения другой случайной величины

5зависимость среднего значения некоторой случайной величины от другой случайной величины

4.В модели парной линейной регрессии

yi = axi +b +εi

(i =1, ..., n)

значения yi

5 известны из наблюдений

вычисляются по известным величинам, стоящим в правой части уравнения

оцениваются по методу наименьших квадратов

неизвестны

5.Установите соответствие между элементами групп

*ошибка регрессии	*случайная величина
**коэффициент регрессии	**неизвестная величина, оцениваемая по методу
	наименьших квадратов

35

***объясняющая переменная	***детерминированная величина, значения кото-
	рой известны из наблюдений

6. Модель парной линейной регрессии оценена уравнением y x = a* xi +b* , с a* = 4.4 и стандартным отклонением коэффициента регрессии sa = 2.2 . В таком случае t-статистика коэффициента регрессии a равна

520.59.686.6

7.В модели парной линейной регрессии

5коэффициент корреляции может принимать значения от -1 до +1

5коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляциикоэффициент корреляции равен квадрату коэффициента детерминации

5коэффициент детерминации может принимать значения от 0 до 1

8.Пусть Y − средняя дальность поездок в данной стране (км), X1 − густота сети (км на 100 кв. км территории), X 2 − средняя дальность грузоперевозок (км). Линейная регрессионная

модель yi = a1 x1i +a2 x2i +b +εi оценена уравнением

y x1 ,x2 = −2.6x1 +0.04x2 +56 .

В стране с густотой сети 4.3 км на 100 кв. км. территории и средней дальностью грузоперевозок 778 км предсказание средней дальности поездок составит

38 км

125 км

57 км

5 76 км

9. Пусть регрессионная модель Y от X1 и X 2 ( yi = a1 x1i +a2 x2i +b +εi ) оценена уравнением y x1 ,x2 = −2.6x1 +0.04x2 +56 по выборке объёма n =13 . Стандартные отклонения коэффициентов регрессии равны sa1 = 0.65 и sa2 = 0.03. Критическая точка распределения Стью-

дента t2.cr (α = 0.05, n −m −1 =10) = 2.23.

5 Влияние X1 значимо, влияние X 2 незначимо

Влияние X1 незначимо, влияние X 2 незначимо

Влияние X1 незначимо, влияние X 2 значимо

Влияние X1 значимо, влияние X 2 значимо

10.Пусть исследуемая зависимость имеет вид, близкий к функции

Y = a1 ln X1 + a2 X 2 + a3 X 32 +b .

Величины Y , X1, X 2 , X 3 являются переменными; их выборочные значения известны. Величины a1 ,a2 ,a3 ,b являются параметрами, истинные значения которых неизвестны и должны быть оценены. Записанная функция

линейна как по переменным, так и по параметрам

линейна по переменным, но нелинейна по параметрам 5 линейна по параметрам, но нелинейна по переменным

нелинейна и по параметрам, и по переменным

36

11. Регрессионная модель зависимости потребления продуктов питания в расчёте на одного члена семьи y (тыс. руб.) от среднедушевого дохода x (тыс. руб.) оценена уравнением

y x =1.85x0.62 . Это означает, что

5 при росте дохода на 1 процент потребление продуктов питания возрастает в среднем на 0.62 процента

при росте дохода на 1 тыс. рублей потребление продуктов питания возрастает в среднем на 620 рублей

при росте дохода на 1 процент потребление продуктов питания возрастает в среднем на 1.85 процента

при росте дохода на 1 тыс. рублей потребление продуктов питания возрастает в среднем на 1850 рублей

12.Линейная регрессионная модель зависимости веса человека от его роста имеет гетероскедастичный случайный член, поскольку

высокие люди больше весят

5 высокие люди имеют больший разброс по весу, чем низкорослыеочень высоких и очень низких людей мало по сравнению с людьми среднего ростарост слабо влияет на вес

13. Ряд динамики некоторого количественного признака содержит уровни, относящиеся к зиме, весне, лету и осени (4 момента времени в течение каждого года). Автокорреляционная функция, построенная по показаниям нескольких лет, такова, что наиболее высоким является коэффициент автокорреляции с лагом 2. Это говорит о том, чтовыявлена линейная тенденция развития во времени 5 выявлена цикличность с периодом полгода

выявлена цикличность с периодом 1 год

выявлена цикличность с периодом 2 года

Библиографический список

1.Айвазян С.А. Основы эконометрики /С.А.Айвазян – М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 432 с.

2.Гефан Г.Д. Корреляционно-регрессионный анализ и основы эконометрики / Г.Д. Гефан. – Иркутск : Изд-во ИрГТУ, 2002. – 60 с.

3.Гефан Г.Д. Статистический метод и основы его применения / Г.Д. Гефан.— Иркутск :

ИрГУПС, 2003. – 208 с.

4.Доугерти К. Введение в эконометрику / К. Доугерти. – М. : ИНФРА-М, 2001. – 402 с.

5.Кремер Н.Ш. Эконометрика / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко – М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 311 с.

6.Магнус Я.Р. Эконометрика. Начальный курс / Я.Р. Магнус, П.К. Катышев, А.А. Пересец-

кий. − М. : Дело, 1998. – 248 с.

7.Макарова Н.В. Статистика в Excel / Н.В. Макарова, В.Я Трофимец. – М. : Финансы и ста-

тистика, 2002. – 368 с.

8.Мардас А.Н. Эконометрика / А.Н. Мардас. – СПб. : Питер, 2001. – 144 с.

9.Орлов А.И. Эконометрика / А.И. Орлов – М. : Экзамен, 2002. – 576 с.

10.Скрипченко И.А. Анализ данных в Microsoft Excel / И.А. Скрипченко. – Иркутск : Изд-во ИрГТУ, 1999. – 70 с.

11.Тюрин Ю.Н. Статистический анализ данных на компьютере / Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров.

– М. : Инфра-М, 1998. – 528 с.

12.Практикум по эконометрике / Под ред. И.И Елисеевой. – М. : Финансы и статистика, 2003. – 192 с.

13.Эконометрика / Под ред. И.И. Елисеевой – М. : Финансы и статистика, 2003. – 344 с.

14.Гефан Г.Д. Эконометрика / Г.Д. Гефан. — Иркутск : ИрГУПС, 2005. – 84 с.

37

								Приложение 1
	Критические точки распределения Стьюдента
				t2.cr (α, n − 2)
Число сте-		Уровень значимости α (двусторонняя критическая область)
пеней сво-
боды k		0.10	0.05		0.02	0.01	0.002		0.001
1		6.31	12.7		31.82	63.7	318.3		631.0
2		2.92	4.30		6.97	9.92	22.33		31.6
3		2.35	3.18		4.54	5.84	10.22		12.9
4		2.13	2.78		3.75	4.60	7.17		8.61
5		2.01	2.57		3.37	4.03	5.89		6.86
6		1.94	2.45		3.14	3.71	5.21		5.96
7		1.89	2.36		3.00	3.50	4.79		5.40
8		1.86	2.31		2.90	3.36	4.50		5.04
9		1.83	2.26		2.82	3.25	4.30		4.78
10		1.81	2.23		2.76	3.17	4.14		4.59
11		1.80	2.20		2.72	3.11	4.03		4.44
12		1.78	2.18		2.68	3.05	3.93		4.32
13		1.77	2.16		2.65	3.01	3.85		4.22
14		1.76	2.14		2.62	2.98	3.79		4.17
15		1.75	2.13		2.60	2.95	3.73		4.07
16		1.75	2.12		2.58	2.92	3.69		4.01
17		1.74	2.11		2.57	2.90	3.65		3.96
18		1.73	2.10		2.55	2.88	3.61		3.92
19		1.73	2.09		2.54	2.86	3.58		3.88
20		1.73	2.09		2.53	2.85	3.55		3.85
25		1.71	2.06		2.49	2.79	3.45		3.72
30		1.70	2.04		2.46	2.75	3.39		3.65
40		1.68	2.02		2.42	2.70	3.31		3.55
60		1.67	2.00		2.39	2.66	3.23		3.46
120		1.66	1.98		2.36	2.62	3.17		3.37
∞		1.64	1.96		2.33	2.58	3.09		3.29

38

Приложение 2

Критические точки распределения Фишера-Снедекора

Fcr (0.05, kx , k y )

Уровень значимости α = 0.01

ky \ kx	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	4052	4999	5403	5625	5764	5889	5928	5981	6022	6056	6082
2	98.49	99.01	90.17	99.25	99.33	99.30	99.34	99.36	99.36	99.40	99.41
3	34.12	30.81	29.46	28.71	28.24	27.91	27.67	27.49	27.34	27.23	27.13
4	21.20	18.00	16.69	15.98	15.52	15.21	14.98	14.80	14.66	14.54	14.45
5	16.26	13.27	12.06	11.39	10.97	10.67	10.45	10.27	10.15	10.05	9.96
6	13.74	10.92	9.78	9.15	8.75	8.47	8.26	8.10	7.98	7.87	7.79
7	12.25	9.55	8.45	7.85	7.46	7.19	7.00	6.84	6.71	6.62	6.54
8	11.26	8.65	7.59	7.01	6.63	6.37	6.19	6.03	5.91	5.82	5.74
9	10.56	8.02	6.99	6.42	6.06	5.80	5.62	5.47	5.35	5.26	5.18
10	10.04	7.56	6.55	5.99	5.64	5.39	5.21	5.06	4.95	4.85	4.78
11	9.86	7.20	6.22	5.67	5.32	5.07	4.88	4.74	4.63	4.54	4.46
12	9.33	6.92	5.95	5.41	5.06	4.82	4.65	4.50	4.39	4.30	4.22
13	9.07	6.70	5.74	5.20	4.86	4.62	4.44	4.30	4.19	4.10	4.02
14	8.86	6.51	5.56	5.03	4.69	4.46	4.28	4.14	4.03	3.94	3.86
15	8.68	6.36	5.42	4.89	4.56	4.32	4.14	4.00	3.89	3.80	3.73
16	8.53	6.23	5.29	4.77	4.44	4.20	4.03	3.89	3.78	3.69	3.61
17	8.40	6.11	5.18	4.67	4.34	4.10	3.93	3.79	3.68	3.59	3.52

Уровень значимости α = 0.05

ky \ kx	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	161	200	216	225	230	234	237	239	241	242	243
2	18.51	19.00	19.16	19.25	19.30	19.33	19.36	19.37	19.38	19.39	19.40
3	10.13	9.55	9.28	9.12	9.01	8.94	8.88	8.84	8.81	8.78	8.76
4	7.71	6.94	6.59	6.39	6.26	6.16	6.09	6.04	6.00	5.96	5.93
5	6.61	5.79	5.41	5.19	5.05	4.95	4.88	4.82	4.78	4.74	4.70
6	5.99	5.14	4.76	4.53	4.39	4.28	4.21	4.15	4.10	4.06	4.03
7	5.59	4.74	4.35	4.12	3.97	3.87	3.79	3.73	3.68	3.63	3.60
8	5.32	4.46	4.07	3.84	3.69	3.58	3.50	3.44	3.39	3.34	3.31
9	5.12	4.26	3.86	3.63	3.48	3.37	3.29	3.23	3.18	3.13	3.10
10	4.96	4.10	3.71	3.48	3.33	3.22	3.14	3.07	3.02	2.97	2.94
11	4.84	3.98	3.59	3.36	3.20	3.09	3.01	2.95	2.90	2.86	2.82
12	4.75	3.88	3.49	3.26	3.11	3.00	2.92	2.85	2.80	2.76	2.72
13	4.67	3.80	3.41	3.18	3.02	2.92	2.84	2.77	2.72	2.67	2.63
14	4.60	3.74	3.34	3.11	2.96	2.85	2.77	2.70	2.65	2.60	2.56
15	4.54	3.68	3.29	3.06	2.90	2.79	2.70	2.64	2.59	2.55	2.51
16	4.49	3.63	3.24	3.01	2.85	2.74	2.66	2.59	2.54	2.49	2.45
17	4.45	3.59	3.20	2.96	2.81	2.70	2.62	2.55	2.50	2.45	2.41

39

Гефан Григорий Давыдович

ЭКОНОМЕТРИКА

Лабораторный практикум для студентов специальностей

«Бухгалтерский учёт, анализ и аудит», «Финансы и кредит», «Мировая экономика»

Редактор М.Н. Щербакова

Компьютерная верстка Г.Д. Гефана

Подписано в печать 28.08.2008 Формат 60х84 116 . Бумага офсетная. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 2,5. Уч.-изд. л. 2,38

Тираж 200 экз. Заказ

Отпечатано в типографии ИрГУПСа, Иркутск, ул. Чернышевского, 15

40