vektor1

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
2.1.5. Векторная алгебра	Комплект № 1

_____________________________________________________________________________________

2.1.5. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
2.1.5. Векторная алгебра	Комплект № 1

_____________________________________________________________________________________

Вариант № 1

1.

Построить векторы

=

5

−

2

и

=

3

+ 4

в аффинном базисе

,

,если длины

a

m

n

b

m

n

m

n

2

2

= π .

векторов

m

=2 ,

n

=1 и угол между

векторами (

m

,

n

)

6

2.

Проверить,

будут

ли

коллинеарны

или

ортогональны

векторы

= 4

−3

,

= 9

−12

, построенные по векторам

= (−1;2;8) и

= (3;7;−1) .

a

c

d

b

d

c

с

d

3.

Найти длину вектора

= 2

−3

, заданного в аффинном базисе

:

=2,

=1,

a

b

c

a

b

a,

b

(a , b) = π .

3

4.

Найти скалярное произведение

,

= (2;−5;4) ,

= (1;0;1) . Указать

его

a

b

a

b

механический смысл. Найти проекцию вектора

на вектор

.

a

b

5.

Даны точки A( -1; 1; 0), B( 2; -2; 1), C( 3; 1; -1), D( -1; -2; -1).

a)Найти векторное произведениеAB × AC и указать его физический и механический смысл.

б) Найти смешанное произведение AB AC AD и указать его геометрический смысл.

в) Лежат ли точки A, B, C, D в одной плоскости?

6.Найти площадь и длину одной из диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a, b (см. задание 1).

7.Даны вершины пирамиды A( 2; 1; 8), B( 6; 5; 2) , C( 4; 5; 7) , D( 9; 4;10). Найти :

а) угол между ребрами AB и AC; б) площадь грани ABC;

в) объем пирамиды ABCD;

г) длину высоты пирамиды, опущенной из вершины D.

8.При каких значениях параметров α и β векторы a и b :

а) коллинеарны, если a = (α;7;−4), b = (2; β;2) ; б) ортогональны, если a = (−1;α;8), b = (9;3;−1) . Записать и построить полученные векторы.

9. Найти:

а) работу силы F = 3i + j −k по перемещению материальной точки из положения A( 2;-2; 1) в положение В( 6; 5; 2) по прямой;

б) величину и направление момента силы F = 3i + j −k , приложенной в точке A( 2;-2; 1) относительно точки В( 6; 5; 2).

10.Найти орт a ×b , где a = (2;−5;4) , b = (1;0;1) .

11.В параллелограмме ABCD: AB = a, AD = b . Через векторы a,b выразить MA, MB, MC, MD , где М - точка пересечения диагоналей.

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
2.1.5. Векторная алгебра	Комплект № 1

_____________________________________________________________________________________

Вариант № 2

1. Построить векторы

= −2

+

3

и

=

+ 2

в аффинном базисе

,

, если длины

a

m

n

b

m

n

m

n

2

π

векторов

m

=1 ,

n

=2 и угол между векторами (

) =

m

,

n

4

2.Проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны векторы a = 3d −6c и b = 2c −d , построенные по векторам с = (−1;4;2) иd = (3;−2;6) .

3. Найти длину вектора c = 3a +b , заданного в аффинном базисе a, b : a =1/2,

b=2, (a , b) = π4 .

4.Найти скалярное произведение a b , a = (−1;2;7) , b = (−1;2;0) . Указать его механический смысл. Найти проекцию вектора a на вектор b .

5.Даны точки A( 1; 0;-2), B( 1; 1; 2), C( 1; -2; 3), D( 1; 1; 3).

а)Найти векторное произведениеAB × AC и указать его физический и механический смысл.

б)Найти смешанное произведение AB AC AD и указать его геометрический смысл . в)Лежат ли точки A, B, C, D в одной плоскости?

6.Найти площадь и длину одной из диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a, b (см. задание 1).

7.Даны вершины пирамиды A( 3; 9; 6), B( 5; 6; 6) , C( 4; 5; 7) , D( 6; 9;4). Найти :

а) угол между ребрами AB и AC;

б) площадь грани ABC;

в) объем пирамиды ABCD;

г) длину высоты пирамиды, опущенной из вершины D.

8.

При каких значениях параметров α и β векторы

и

:

a

b

а) коллинеарны, если

= (3;−2;α),

= (−1; β;2) ;

a

b

б) ортогональны, если

= (−1;4;2),

= (5;6; β) .

a

b

Записать и построить полученные векторы.

9.

Найти:

а) работу силы

= 8i −5

по

перемещению материальной точки из положения

F

k

A( 3; 9; 6) в положение В( 5; 6; 6) по прямой;

б) величину и направление

момента силы

= 8i −5

, приложенной в точке

F

k

A( 3; 9; 6) относительно точки В( 5; 6; 6).

10.Найти орт a ×b , где a = (−1;2;7) , b = (−1;2;0) .

11.Векторы BC = a, CA = b, AB = c служат сторонами треугольника. Выразить через два из них векторы, совпадающие с медианами AM , BN , CP (например, через a, b ).

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
2.1.5. Векторная алгебра	Комплект № 1

_____________________________________________________________________________________

Вариант № 3

1.

Построить векторы

= −

1

+ 2

и

=

+

3

в аффинном базисе

,

, если длины

a

m

n

b

m

n

m

n

2

2

) = π

векторов

m

=2 ,

n

=2 и угол между

векторами (

m

,

n

3

2.

Проверить, будут ли

коллинеарны

или ортогональны

векторы

= 3

+5

и

a

c

d

= 5

−2

, построенные по векторам

= (0;3;−2)

и

= (1;−2;1) .

b

c

d

с

d

3.

Найти

длину вектора

, заданного

в

аффинном базисе

:

=3,

=

−

a

c

a

b

a,

b

=3, (

) = π .

b

a

,

b

6

4.

Найти

скалярное

произведение

,

= (1;−2;2) ,

=(−1;−2;3) .Указать

его

a

b

a

b

механический смысл. Найти проекцию вектора

на вектор

.

a

b

5.

Даны точки A( 2; 1;1), B( 5;-2; 1), C( 1; -2; 1), D( 1; 1;-1).

а)Найти

векторное

произведение

×

и

указать

его

физический и

AB

AC

механический смысл.

б)Найти смешанное произведение

и указать его геометрический смысл .

AB

AC

AD

в)Лежат ли точки A, B, C, D в одной плоскости?

6.

Найти площадь и длину одной из диагоналей параллелограмма, построенного на

векторах a, b (см. задание 1).

7.Даны вершины пирамиды A( 0; 7; 2), B( 8; 1; 2) , C( 2; 3;-3), D( 6; -1; 2). Найти:

а) угол между ребрами AB и AC; б) площадь грани ABC;

в) объем пирамиды ABCD;

г) длину высоты пирамиды, опущенной из вершины D.

8.При каких значениях параметров α и β векторы a и b :

а) коллинеарны, если	a	= (1;α;−1),			b		= (β;3;4) ;
б) ортогональны, если			= (1;α;3),			= (9;3;−2) .
		a		b

Записать и построить полученные векторы.

9.

Найти:

а) работу силы

= 3

−2

по перемещению материальной точки из положения

F

j

k

A( 0; 7; 2) в положение В( 8; 1; 2) по прямой;

б) величину и направление момента силы

= 3

−2

, приложенной в точке

F

j

k

A(0; 7; 2) относительно точки В(8; 1; 2).

10.

Найти орт

×

, где

= (1;−2;2) ,

=(−1;−2;3) .

a

b

a

b

11.

В треугольнике ABC проведены медианы

=

,

=

. Выразить векторы

BE

e

AD

d

,

,

,

(медиана).

AB

BC

AC

CG

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
2.1.5. Векторная алгебра	Комплект № 1

_____________________________________________________________________________________

Вариант № 4

1.

Построить векторы

=

2

+2

и

= 3

−

1

в аффинном базисе

,

, если длины

a

m

n

b

m

n

m

n

3

2

) = π .

векторов

m

=2 ,

n

=4 и угол между

векторами (

m

,

n

3

2.

Проверить,

будут ли

коллинеарны

или

ортогональны

векторы

= 5

−2

и

a

c

d

= 2

−5

,

построенные по векторам

= (2;0;−5)

и

= (1;−3;4) .

b

c

d

с

d

3.

Найти длину вектора

, заданного

в

аффинном

базисе

:

=4/5,

=

+

a

c

a

b

a,

b

b=1/5, (a , b) = π3 .

4.Найти скалярное произведениеa b , a = (−1;1;0) ,b =(2;3;1) .Указать его механический

смысл. Найти проекцию вектора a на вектор b .

5. Даны точки A( 1; 2;-2), B( 1; 1; 4), C( 2; -1;-1), D( 1; 1;-1).

а)Найти векторное произведениеAB × AC и указать его физический и механический смысл.

б)Найти смешанное произведение AB AC AD и указать его геометрический смысл . в)Лежат ли точки A, B, C, D в одной плоскости?

6.Найти площадь и длину одной из диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a, b (см. задание 1).

7.Даны вершины пирамиды A(2;10; 1), B( 2; 0; 1), C( 0; 4; 5), D( -2; 7; 1). Найти:

а) угол между ребрами AB и AC; б) площадь грани ABC;

в) объем пирамиды ABCD;

г) длину высоты пирамиды, опущенной из вершины D.

8.При каких значениях параметров α и β векторы a и b : а) коллинеарны, если a = (1;−3;α), b = (β;2;1) ;

б) ортогональны, если a = (α;−3;4), b = (2;0;−5) . Записать и построить полученные векторы.

9.Найти:

а) работу силы

по

перемещению материальной точки из

F

+3 j +4

k

= 2i

положения

A( 2; 10; 1)

в положение В( 2; 0;-1) по прямой;

б) величину и направление момента силы

, приложенной в точке

F

+3 j +4

k

= 2i

A( 2; 10; 1)

относительно точки В( 2; 0;-1).

10.Найти орт a ×b , где a = (−1;1;0) , b =(2;3;1) .

11.В треугольнике ABC проведены медианы AB = c, BC = a, CA = b .

Найти векторы, коллинеарные биссектрисам углов в треугольнике АВС.

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
2.1.5. Векторная алгебра	Комплект № 1

_____________________________________________________________________________________

Вариант № 5

1.

Построить векторы

=

1

−

5

и

= 2

−

3

в аффинном базисе

,

, если длины

a

m

n

b

m

n

m

n

2

2

2

) = π .

векторов

m

=2,

n

=2 и угол между

векторами (

m

,

n

6

2.

Проверить, будут ли

коллинеарны или ортогональны

векторы

= 3

−

и

a

d

c

= 2

+4

,

b

c

d

и

= (3;0;−1) .

построенные по векторам

= (1;−2;5)

с

d

3.

Найти длину вектора

,

заданного в аффинном

базисе

:

=2,

= 2

+3

a

c

a

b

a,

b

b=2, (a , b) = π4 .

4.Найти скалярное произведениеa b , a = (3;−1;5) , b =(0;−1;5) .Указать его механический

смысл. Найти проекцию вектора a на вектор b .

5. Даны точки A( 1; 3;-1), B( 1; 2; 2), C( 2; 5; 7), D( 1; 2;7).

а)Найти векторное произведениеAB × AC и указать его физический и механический смысл.

б)Найти смешанное произведение AB AC AD и указать его геометрический смысл . в)Лежат ли точки A, B, C, D в одной плоскости?

6.Найти площадь и длину одной из диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a, b (см. задание 1).

7.Даны вершины пирамиды A( 3; 5; 1), B( 3; 2; 3), C( -2; 0; 5), D( 0; 1;-1). Найти:

а) угол между ребрами AB и AC;

б) площадь грани ABC;

в) объем пирамиды ABCD;

г) длину высоты пирамиды, опущенной из вершины D.

8.

При каких значениях параметров α и β векторы

и

:

a

b

а) коллинеарны, если

= (3;α;−1),

= (1;−2; β) ;

a

b

б) ортогональны, если

= (3;0;−1),

= (1;−2; β) .

a

b

Записать и построить полученные векторы.

9.

Найти:

а) работу силы

F

− j +5k по

перемещению материальной точки из

= 3i

положения

A( 1; 2; 2) в положение В( -1; 2; 7) по прямой;

б) величину и направление момента силыF = 3i − j +5k , приложенной в точке A( 1; 2; 2) относительно точки В( -1; 2; 7).

10.Найти орт a ×b , где a = (3;−1;5) , b =(0;−1;5) .

11.Доказать, что сумма векторов, соединяющих центр правильного треугольника с его вершинами, равна нулю.

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
2.1.5. Векторная алгебра	Комплект № 1

_____________________________________________________________________________________

Вариант № 6

1.

Построить векторы

= 7

−4

и

= 3

+4

в аффинном базисе

,

, если длины

a

m

n

b

m

n

m

n

) = π .

векторов

m

=1,

n

=1 и угол между векторами

(

m

,

n

4

и

2.

Проверить, будут ли

коллинеарны или ортогональны

векторы

= 3

+2

a

c

d

= 2

+3

,

построенные по векторам

= (−2;7;−1) и

= (−3;5;2) .

b

c

d

с

d

3.

Найти длину вектора

, заданного в

аффинном

базисе

:

=1/3,

= 3

−

a

c

a

b

a,

b

=3, (

) = π .

b

a

,

b

6

4.

Найти

скалярное

произведение

,

= (1;−2;−3) ,

=(1;−3;2) .Указать

его

a

b

a

b

механический смысл. Найти проекцию вектора

на вектор

.

a

b

5.

Даны точки A( 1; 1;-1), B( 1; -1; 2), C( 3; 5; 0), D( 1;-1; 0).

а)Найти

векторное

произведение

×

и

указать

его

физический и

AB

AC

механический смысл.

б)Найти смешанное произведение AB AC AD и указать его геометрический смысл . в)Лежат ли точки A, B, C, D в одной плоскости?

6.Найти площадь и длину одной из диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a, b (см. задание 1).

7.Даны вершины пирамиды A( 4; 7; 8), B( 9; 1; 3), C( 2;-4; 1), D( 0; 1;-1). Найти:

а) угол между ребрами AB и AC; б) площадь грани ABC;

в) объем пирамиды ABCD;

г) длину высоты пирамиды, опущенной из вершины D.

8.

При каких значениях параметров α и β векторы

a

и

b

:

а) коллинеарны, если

= (α;5;2),

= (−2; β;4) ;

a

b

б) ортогональны, если

= (−3;5;2),

= (−2; β;−1) .

a

b

Записать и построить полученные векторы.

9.

Найти:

а) работу силы

F

+7 j −k по

перемещению материальной точки из

= −2i

положения

A( 1; 1; -1)в положение В( 1; -1; 2) по прямой;

б) величину и направление момента силыF = −2i +7 j −k , приложенной в точке

A( 1; 1; -1) относительно точки В( 1; -1; 2).

10.Найти орт a ×b , где a = (1;−2;−3) , b =(1;−3;2) .

11.В правильном шестиугольнике ABCDEF: AB = p, BC = q . Выразить через p, q

векторы CD, DE, EF, FA, AC, AD, AE .

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
2.1.5. Векторная алгебра	Комплект № 1

_____________________________________________________________________________________

Вариант № 7

1.

Построить векторы

= 2

+

5

и

= −3

+

1

в аффинном базисе

,

,

если

a

m

n

b

m

n

m

n

2

2

3π

длины векторов

m

=1,

n

=1 и угол между

векторами (

) =

.

m

,

n

4

2.

Проверить, будут ли

коллинеарны или

ортогональны

векторы

= 3

−6

и

a

d

c

= 2

−

,

построенные по векторам

= (5;0;−1) и

= (2;−2;0) .

b

c

d

с

d

3.

Найти длину вектора

, заданного в

аффинном

базисе

:

=4,

=

−4

a

c

a

b

a,

b

=1, (

) = π .

b

a

,

b

3

4.

Найти

скалярное

произведение

,

= (1;−2;2) ,

=(2;−2;0).Указать

его

a

b

a

b

механический смысл. Найти проекцию вектора

на вектор

.

a

b

5.

Даны точки A( 5; 3; 4), B( 1; 1; 1), C( 1; -1; 1), D( 5; 1; 1).

а)Найти

векторное

произведение

×

и

указать его

физический и

AB

AC

механический смысл.

б)Найти смешанное произведение AB AC AD и указать его геометрический смысл . в)Лежат ли точки A, B, C, D в одной плоскости?

6.Найти площадь и длину одной из диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a, b (см. задание 1).

7.Даны вершины пирамиды A( 1; -2; 3), B( 4; 7; 2), C( 6; 4; 2), D( 14; 18; 6). Найти:

а) угол между ребрами AB и AC; б) площадь грани ABC;

в) объем пирамиды ABCD;

г) длину высоты пирамиды, опущенной из вершины D.

8.При каких значениях параметров α и β векторы a и b :

а) коллинеарны, если

= (α;2; β),

= (4;−2;5) ;

a

b

б) ортогональны, если

= (7;2;3),

= (β;−6;3) .

a

b

Записать и построить полученные векторы.

9. Найти:

по перемещению материальной точки из положения

а) работу силы

F

+ j +k

= 5i

A( 1; -2; 3) в положение

В( 4; 7; 2) по прямой;

б) величину и направление момента силыF = 5i + j +k , приложенной в точке A( 1; -2; 3) относительно точки В( 4; 7; 2).

10.Найти орт a ×b , где a = (1;−2;2) , b =(2;−2;0).

11.В правильном шестиугольнике ABCDEF: AB = m, AE = n . Выразить через m, n

векторы AC, AD, AF, FE, DC, ED .

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
2.1.5. Векторная алгебра	Комплект № 1

_____________________________________________________________________________________

Вариант № 8

1.

Построить векторы

=

1

+

3

и

= 2

+3

в аффинном базисе

,

, если длины

a

m

n

b

m

n

m

n

2

2

векторов

m

=4,

n

=4 и угол между векторами (

m

,

n

) =

5π

.

6

2.

Проверить,

будут ли

коллинеарны или

ортогональны

векторы

= 3

−

и

a

c

d

=

+2

,

построенные по векторам

= (1;0;1) и

= (−2;3;5) .

b

c

d

с

d

3.

Найти длину вектора

, заданного

в аффинном

базисе

:

=2,

=

+4

a

c

a

b

a,

b

b=4, (a , b) = π4 .

4.Найти скалярное произведениеa b , a = (2;−2;1) , b =(1;1;−1) .Указать его механический

смысл. Найти проекцию вектора a на вектор b .

5. Даны точки A( 1; 1; 1), B( 2; 5; -4), C( 1; -1; -3), D( 1; 5; -3).

а)Найти векторное произведениеAB × AC и указать его физический и механический смысл.

б)Найти смешанное произведение AB AC AD и указать его геометрический смысл . в)Лежат ли точки A, B, C, D в одной плоскости?

6.Найти площадь и длину одной из диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a, b (см. задание 1).

7.Даны вершины пирамиды A( 7; 2; 1), B( 4; 3; 5), C( 3; 4;-2), D( 2;-5;-13). Найти:

а) угол между ребрами AB и AC; б) площадь грани ABC;

в) объем пирамиды ABCD;

г) длину высоты пирамиды, опущенной из вершины D.

8.При каких значениях параметров α и β векторы a и b :

а) коллинеарны, если

= (−2;α; β),

= (1;−2;3) ;

a

b

б) ортогональны, если

= (1;2;α),

= (−2;3;5) .

a

b

Записать и построить полученные векторы.

9. Найти:

по

перемещению материальной точки из

а) работу силы

+5

−4

F

j

k

= 3i

положения A( 1; 1; 1) в положение В( 4; 3; 5) по прямой;

б) величину и направление момента силыF = 5i + j +k , приложенной в точке A( 1; 1; 1) относительно точки В( 4; 3; 5).

10.Найти орт a ×b , где a = (2;−2;1) , b =(1;1;−1) .

11.В ромбе ABCD диагонали AC = a, BD = b . Выразить через них AB, BC, CD, DA. .

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
2.1.5. Векторная алгебра	Комплект № 1

_____________________________________________________________________________________

Вариант № 9

1.

Построить векторы

= 3

+2

и

=

1

−

3

в аффинном базисе

,

, если длины

a

m

n

b

m

n

m

n

2

2

векторов

m

=2,

n

=2 и угол между

векторами (

m

,

n

) =

2π

.

3

2.

Проверить,

будут ли

коллинеарны

или ортогональны

векторы

= 2

−

и

a

c

d

= 2

−4

,

построенные по векторам

= (8;3;−1) и

= (4;1;3) .

b

d

c

с

d

3.

Найти длину вектора

,

заданного в

аффинном

базисе

:

=1,

= 2

+ 2

a

c

a

b

a,

b

=2, (

π .

b

) =

a

,

b

6

4.

Найти

скалярное

произведение

,

= (2;−4;5) ,

=(0;2;−1).Указать

его

a

b

a

b

механический смысл. Найти проекцию вектора

на вектор

.

a

b

5.

Даны точки A( 7; 2; -6), B( -1; 3; -2), C( -4; -4; -3), D( 7; 3; -3).

а)Найти

векторное

произведение

×

и

указать его

физический и

AB

AC

механический смысл.

б)Найти смешанное произведение AB AC AD и указать его геометрический смысл . в)Лежат ли точки A, B, C, D в одной плоскости?

6.Найти площадь и длину одной из диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a, b (см. задание 1).

7.Даны вершины пирамиды A( 1; 7; 3), B( 3; 4; 2), C( 4; 8; 5), D( 7;12;14). Найти:

а) угол между ребрами AB и AC;

б) площадь грани ABC;

в) объем пирамиды ABCD;

г) длину высоты пирамиды, опущенной из вершины D.

8.

При каких значениях параметров α и β векторы

и

:

a

b

а) коллинеарны, если

= (α; β;3),

= (8;3;−1) ;

a

b

б) ортогональны, если

= (8;α;−1),

= (4;1;3) .

a

b

Записать и построить полученные векторы.

9.

Найти:

по

перемещению материальной точки из

а) работу силы

+3

−2

F

j

k

= 2i

положения A( 1; 7; 3) в положение В( 3; 4; 2) по прямой;

б) величину и направление момента силыF = 2i +3 j −2k , приложенной в точке A( 1; 7; 3) относительно точки В( 3; 4; 2).

10.Найти орт a ×b , где a = (2;−4;5) , b =(0;2;−1).

11.В равнобедренной трапеции ABCD нижнее основание AB = a и боковая сторона

AD = b , A = π3 . Разложить по a, b векторы BC, CD, BD, CA .