ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ)))))

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	3.3.5. Плоскость и прямая в пространстве	Комплект № 1

_____________________________________________________________________________________

3.3.5.ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ

ВПРОСТРАНСТВЕ

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	3.3.5. Плоскость и прямая в пространстве	Комплект № 1

_____________________________________________________________________________________

Вариант № 1

1.Записать уравнение плоскости с заданным вектором нормали n = {2; 3; 1}, проходящей через точку М(1; 1; -1).

2.Записать уравнение плоскости, проходящей через три точки М1(1; –1; 2),

М2 (2; 1; 2), М3(1; 1; 4).

3. Построить плоскости:

π1: 3х+6=0; π2: 3х+2у=6 ; π3: 3х+2у–4z=12.

Определить углы между плоскостями.

4.Построить линию пересечения плоскостей х = –2 и у = 3.

5.Записать каноническое и параметрические уравнения прямой с известным направляющим вектором l = {0; 1; 2}, проходящей через точку М(-2; 4; 7).

6.Записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точки М1(1; –2; 3), М2(3; 0; –1). Проверить, лежит ли точка М0(1; 4; –7) на этой прямой?

7.Записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М(2; 5; –3) перпендикулярно плоскости π : х – 3у + z + 5 = 0.

8. Найти точку пересечения прямой L : x 6−1 = y 1−3 = z +3 5 и плоскости

π: 3х–2у+5z–3=0 и угол между ними.

9.Привести общее уравнение прямой к каноническому виду.

а) 5x	+ 2y - z =11,	б) x + y - 2z =0,
4x - y + 2 z = 14 ;		x + y − z =1.

10.Даны вершины пирамиды: А1(3; 1; 4), А2(–1; 6; 1), А3(–1; 1; 6), А4(0; 4; –1).

Найти: а) уравнение ребра А1 А2; б) угол между ребрами А1 А2 и А1 А4;

в) уравнение грани А1 А2 А4; г) уравнение высоты, опущенной из вершины А3 на грань А1 А2 А4 и ее длину.

Замечание. Во всех задачах сделать чертежи.

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	3.3.5. Плоскость и прямая в пространстве	Комплект № 1

_____________________________________________________________________________________

Вариант № 2

1.Записать уравнение плоскости с заданным вектором нормали n = {4; 1; -2}, проходящей через точку М(2; 3; -1).

2.Записать уравнение плоскости, проходящей через три точки М1(2; -4; -3),

М2(-1; 3; -3), М3(5; -6; 0).

3.Построить плоскости: π1: 4x – 8 = 0; π2: 4x – 3y = 12 ; π3: 4x + 3y – 6z = 12.

Определить углы между плоскостями.

4.Построить линию пересечения плоскостей х = 2 и у = –3 .

5.Записать каноническое и параметрические уравнения прямой с известным направляющим вектором l = {2; –1; 1}, проходящей через точку М(6; 12; –1).

6.Записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точки М1(1; 0; 1), М2(–2; 3; 5). Проверить, лежит ли точка М0(–4; 3; 3) на этой прямой?

7.Записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М(–3; 6; 4) перпендикулярно плоскости π : 2x – y + 6z – 16 = 0.

8.Найти точку пересечения прямой L: x−−11 = y 4+5 = z −2 1 и плоскости

π: x–3y+7z–24=0 и угол между ними.

9. Привести общее уравнение прямой к каноническому виду .

а) 2x + 3y - z =8,	б)	2x	− y − z = −18,
x - 2y + z = - 3;		2x + y + 3 z =−1;

10.Даны вершины пирамиды: А1(3; 3; 9), А2(6; 9; 1), А3(1; 7; 3), А4(8; 5; 8).

Найти: а) уравнение ребра А1 А2;

б) угол между ребрами А1 А2, и А1 А4; в)уравнение грани А1 А2 А4;

г) уравнение высоты, опущенной из вершины А3 на грань А1 А2 А4 и ее длину.

Замечание. Во всех задачах сделать чертежи.

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	3.3.5. Плоскость и прямая в пространстве	Комплект № 1

_____________________________________________________________________________________

Вариант № 3

1.Записать уравнение плоскости с заданным вектором нормали n = {–1; 1; 3} проходящей через точку М(2; –2; 4).

2.Записать уравнение плоскости, проходящей через три точки М1 (–3; –5; 6),

М2 (2; 1; –4), М3(0; –3; –1).

3.Построить плоскости: π1: x + 3 = 0; π 2: x + 2y = 6 ; π3: 2x – y + 3z = 6.

Определить углы между плоскостями.

4.Построить линию пересечения плоскостей х = –3 и у + 4 = 0.

5.Записать каноническое и параметрические уравнения прямой с известным направляющим вектором l = {2; 1; –7}, проходящей через точку М(1; –4; 4).

6.Записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точки М1(-2; 4; 1), М2(1; –2; 7). Проверить, лежит ли точка М0(5; –10; 5) на этой прямой?

7.Записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М(7; –5; 0) перпендикулярно плоскости π : x – 3y + z – 1= 0.

8.Найти точку пересечения прямой L : x 3−7 = y −1 3 = z−+21 и плоскости

π: 2x + y + 7z – 3 = 0 и угол между ними.

9. Привести общее уравнение прямой к каноническому виду .

а) x +7 y - 3 z = 9 ,	б)	2x + 2y + z =- 1,
3x - 5y + z =1;		x − y −3 z =4.

10.Даны вершины пирамиды: А1(3; 5; 4), А2(5; 8; 3), А3(1; 9; 9), А4(6; 4; 8).

Найти: а) уравнение ребра А1 А2; б) угол между ребрами А1 А2 и А1 А4; в)уравнение грани А1 А2 А4;

г) уравнение высоты, опущенной из вершины А3 на грань А1 А2 А4 и ее длину.

Замечание. Во всех задачах сделать чертежи.

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	3.3.5. Плоскость и прямая в пространстве	Комплект № 1

_____________________________________________________________________________________

Вариант № 4

1.Записать уравнение плоскости с заданным вектором нормали n = {2; 1; –2}, проходящей через точку М(–1; 2; –3).

2.Записать уравнение плоскости, проходящей через три точки М1 (–2; 0; 3),

М2 (2; 1; –1), М3(2; –2; –4).

3. Построить плоскости:

π1: 2x – 3 = 0; π 2: 3x – 2y = 12 ; π3: –2x + 3y – 4z = 12.

Определить углы между плоскостями.

4.Построить линию пересечения плоскостей х = 3 и у – 4 = 0 .

5.Записать каноническое и параметрические уравнения прямой с известным направляющим вектором l = {4; –6; 1}, проходящей через точку М(–9; 5; 5).

6.Записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точки М1(1; 2; –3), М2(2; –1; –1). Проверить, лежит ли точка М0(0; –5; 1) на этой прямой?

7.Записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М(–1; 2; –2) перпендикулярно плоскости π : 4x – 5y + 3z – 1 = 0 .

8.Найти точку пересечения прямой L: x 0+ 3 = y−−32 = z +1115 и плоскости

π: 5x+7y+9z–20=0 и угол между ними.

9. Привести общее уравнение прямой к каноническому виду .

а) x +4y + 2z =12,	б)	x − 3y + z =0,
3x −2 y − z =6;		−3 x + y + z =− 2.

10.Даны вершины пирамиды: А1(2; 4; 3), А2(7; 6; 3), А3(4; 9; 3), А4(3; 6; 7).

Найти : а) уравнение ребра А1 А2; б) угол между ребрами А1 А2 и А1 А4; в)уравнение грани А1 А2 А4;

г) уравнение высоты, опущенной из вершины А3 на грань А1 А2 А4 и ее длину.

Замечание. Во всех задачах сделать чертежи.

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	3.3.5. Плоскость и прямая в пространстве	Комплект № 1

_____________________________________________________________________________________

Вариант № 5

1.Записать уравнение плоскости с заданным вектором нормали n = {–7; 0; –1}, проходящей через точку М(–3; –1; 1)

2.Записать уравнение плоскости, проходящей через три точки М1 (1; 2; 0),

М2 (1; –1; 2), М3(–3; 0; 1).

3. Построить плоскости:

π1: 5x – 8 = 0; π 2: 5x – 4y – 20 = 0 ; π3: 5x – 4y + 10z = 20.

Определить углы между плоскостями.

4.Построить линию пересечения плоскостей х = 5 и у = 4 .

5.Записать каноническое и параметрические уравнения прямой с известным направляющим вектором l = {1; 3; –7}, проходящей через точку М(–5; –5; 3).

6.Записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точки М1(3; 5; 4), М2(5; 9; 7). Проверить, лежит ли точка М0(–1; –1; –1) на этой прямой?

7.Записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М(5; 3; –1) перпендикулярно плоскости π : x – 4y – z + 9 = 0.

8.Найти точку пересечения прямой L: x −1 5 = y−−13 = z −0 2 и плоскости

π: 3x+y–5z–12=0 и угол между ними.

9. Привести общее уравнение прямой к каноническому виду .

а) 9x + 2y + z =8,	б) −2 x + y − 2z =2,
4x + y −4z = 3;	4x + 2 y − z = 0.

10.Даны вершины пирамиды: А1(9; 9; 5), А2(–3; 7; 1), А3(5; 7; 8), А4(6; 9; 2).

Найти : а) уравнение ребра А1 А2; б) угол между ребрами А1 А2 и А1 А4; в) уравнение грани А1 А2 А4;

г) уравнение высоты, опущенной из вершины А3 на грань А1 А2 А4 и ее длину.

Замечание. Во всех задачах сделать чертежи.

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	3.3.5. Плоскость и прямая в пространстве	Комплект № 1

_____________________________________________________________________________________

Вариант № 6

1.Записать уравнение плоскости с заданным вектором нормали n = {2; 1; –1}, проходящей через точку М(1; –1; 1)

2.Записать уравнение плоскости, проходящей через три точки М1 (1; 0; 2),

М2 (2; –2; 1), М3(2; 1; 0).

3. Построить плоскости:

π1: 2y + 6 = 0; π 2: 2y – 3z = –6; π3: 3x – 2y – 3z = –6.

Определить углы между плоскостями.

4.Построить линию пересечения плоскостей y = –3 и z = 1.

5.Записать каноническое и параметрические уравнения прямой с известным направляющим вектором l = (5; –1; 8), проходящей через точку М(13; –2; 7).

6.Записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точки М1(1; 4; –2), М2(1; 1; –1). Проверить, лежит ли точка М0(–1; –7; 3) на этой прямой?

7.Записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М(-3; -1; 7) перпендикулярно плоскости π : 3x – y + 2z + 15 = 0 .

8.Найти точку пересечения прямой L: x 3+1 = y−−43 = z +5 1 и плоскости π: x+2y–5z+20=0 и угол между ними.

9.Привести общее уравнение прямой к каноническому виду .

а) 4x + y + 3z =8,	б) 3x + y + 2z =−1,
2x − y +6z =−2;	− x + 2y − z = 2.

10.Даны вершины пирамиды: А1(0; 7; 1), А2(4; 1; 5), А3(4; 6; 3), А4(3; 9; 8).

Найти : а) уравнение ребра А1 А2;

б) угол между ребрами А1 А2, и А1 А4; в) уравнение грани А1 А2 А4;

г) уравнение высоты, опущенной из вершины А3 на грань А1 А2 А4 и ее длину.

Замечание. Во всех задачах сделать чертежи.

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	3.3.5. Плоскость и прямая в пространстве	Комплект № 1

_____________________________________________________________________________________

Вариант № 7

1.Записать уравнение плоскости с заданным вектором нормали n = {2; –1; 3}, проходящей через точку М(1; 2; 0)

2.Записать уравнение плоскости, проходящей через три точки М1 (1; 2; –3),

М2 (–2; –1; 6), М3(0; –5; –4).

3. Построить плоскости:

π1: 3y – 6 = 0; π 2: 4 y + 3z = 12 ; π3: 2x – 4y + 3z = 12.

Определить углы между плоскостями.

4.Построить линию пересечения плоскостей y= 2 и z = –1 .

5.Записать каноническое и параметрические уравнения прямой с известным направляющим вектором l = (–6; 1; 1), проходящей через точку М(–19; 1; –7).

6.Записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точки М1(1; -2; 5), М2(3; -1; 0). Проверить, лежит ли точка М0(1; 3; -10) на этой прямой?

7.Записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М(1; -5; 2) перпендикулярно плоскости π : 6x + 2y –4z + 17 = 0 .

8.Найти точку пересечения прямой L: x 1−1 = y 0−3 = z−+22 и плоскости

π: 3x–7y–2z+7=0 и угол между ними.

9. Привести общее уравнение прямой к каноническому виду.

а) x −2 y −7z =8,	б) x + y + z =1,
x + y + 3z =−2;	3x − y −3z =−3.

10.Даны вершины пирамиды: А1(5; 5; 4), А2(3; 8; 4), А3(3; 5; 10), А4(5; 8; 2).

Найти : а) уравнение ребра А1 А2; б) угол между ребрами А1 А2 и А1 А4; в) уравнение грани А1 А2 А4;

г) уравнение высоты, опущенной из вершины А3 на грань А1 А2 А4 и ее длину.

Замечание. Во всех задачах сделать чертежи.

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	3.3.5. Плоскость и прямая в пространстве	Комплект № 1

_____________________________________________________________________________________

Вариант № 8

1.Записать уравнение плоскости с заданным вектором нормали n = {2; –2; 1}, проходящей через точку М(–1; 2; 1)

2.Записать уравнение плоскости, проходящей через три точки М1 (–2; 3; –5),

М2 (–6; 0; –3), М3(1; –1; 2).

3. Построить плоскости:

π1: 4y – 12 = 0; π 2: 4y – 6z = 12 ; π3: 4x – 2y + 6z = – 12.

Определить углы между плоскостями.

4.Построить линию пересечения плоскостей y = 3 и z + 2 = 0 .

5.Записать каноническое и параметрические уравнения прямой с известным направляющим вектором l = {2; –17; 4}, проходящей через точку М(3; –3; 4).

6.Записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точки М1(3; 4; –1), М2(2; –1; 1). Проверить, лежит ли точка М0(–2; –9; 3) на этой прямой?

7.Записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М(1; –5; 7) перпендикулярно плоскости π : x + 2y –2z – 3 = 0 .

8.Найти точку пересечения прямой L: x−−12 = y−−13 = z +4 1 и плоскости

π: x+2y+3z–14=0 и угол между ними.

9. Привести общее уравнение прямой к каноническому виду.

а) 3x + y = 3,	б) 2x + y −3z =0,
x − y +6 z =1;	x +5 y − z =1.

10.Даны вершины пирамиды: А1(6; 1; 1), А2(4; 6; 6), А3(4; 2; 0), А4(1; 2; 6).

Найти : а) уравнение ребра А1 А2; б) угол между ребрами А1 А2 и А1 А4; в) уравнение грани А1 А2 А4;

г) уравнение высоты, опущенной из вершины А3 на грань А1 А2 А4 и ее длину.

Замечание. Во всех задачах сделать чертежи.

ИрГУПС	Кафедра «Высшая математика»
	3.3.5. Плоскость и прямая в пространстве	Комплект № 1

_____________________________________________________________________________________

Вариант № 9

1.Записать уравнение плоскости с заданным вектором нормали n = {–2; –1; 4}, проходящей через точку М(1; 2; –3)

2.Записать уравнение плоскости, проходящей через три точки М1 (3; 0; –1),

М2 (7; –3; 1), М3(–1; –2; –4).

3. Построить плоскости:

π1: 4y + 8 = 0; π 2: 2y + 3z = 18; π3: 4x – 2y + 3z = 18.

Определить углы между плоскостями.

4.Построить линию пересечения плоскостей y= –2 и z = 3 .

5.Записать каноническое и параметрические уравнения прямой с известным направляющим вектором l = {5; –3; 2}, проходящей через точку М(–5; 9; –13).

6.Записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точки М1(–2; -3; -2), М2(1; 0; 5). Проверить, лежит ли точка М0(-1; 2; 5) на этой прямой?

7.Записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М(3; -3; 1) перпендикулярно плоскости π : 5x + y – 3z + 4 = 0.

8. Найти точку пересечения прямой L: x 1−1 = 0y = z +2 3 и плоскости π: 2x – y + 4z = 0

и угол между ними.

9.Привести общее уравнение прямой к каноническому виду .

а) x +4y −4z =0,	б) 2x + y − z = 2,
− x + y + 3z =5;	4 x − y − z = −1.

10.Даны вершины пирамиды: А1(7; 5; 3), А2(9; 4; 4), А3(4; 5; 7), А4(7; 9; 6).

Найти : а) уравнение ребра А1 А2; б) угол между ребрами А1 А2 и А1 А4; в) уравнение грани А1 А2 А4;

г) уравнение высоты, опущенной из вершины А3 на грань А1 А2 А4 и ее длину.

Замечание. Во всех задачах сделать чертежи.